AYT çemberde uzunluk konu anlatımı kapsamında kirişin merkeze uzaklığı, teğet parçaları, iki çemberin ortak teğetleri ve noktanın çembere göre kuvveti işlenecektir.
AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
KİRİŞ UZUNLUĞU VE MERKEZE UZAKLIK
MERKEZDEN KİRİŞE İNDİRİLEN DİKME
Merkezden bir kirişe indirilen dikme kirişi iki eş parçaya ayırır. Yarıçapı r, kirişin merkeze uzaklığı d ve kiriş uzunluğu k ise oluşan dik üçgenden (k/2)²+d²=r² elde edilir. Bu nedenle kiriş uzunluğu k=2√(r²−d²) biçiminde bulunur.
Bu bağıntı yalnız uzunluk hesabı değildir. Aynı çemberde merkeze yakın kiriş daha uzun, merkeze uzak kiriş daha kısadır. Kirişler merkezin farklı taraflarındaysa aralarındaki uzaklık merkez uzaklıklarının toplamı; aynı tarafındaysa farkıdır.
Örnek - 1
Yarıçapı 13 birim olan çemberde uzunlukları 24 ve 10 birim olan paralel iki kiriş, merkezin farklı taraflarındadır. Buna göre kirişler arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 13
B) 15
C) 17
D) 19
E) 21
24 birimlik kirişin yarısı 12 olduğundan merkeze uzaklığı √(13²−12²)=5’tir. 10 birimlik kirişin yarısı 5 ve merkeze uzaklığı √(13²−5²)=12 olur. Kirişler merkezin farklı taraflarında bulunduğu için uzaklık 5+12=17 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 2
Yarıçapı 17 birim olan bir çemberde uzunlukları 30 ve 16 birim olan paralel iki kiriş merkezin aynı tarafındadır. Kirişler arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Yarım kirişler 15 ve 8’dir. Merkez uzaklıkları sırasıyla √(17²−15²)=8 ve √(17²−8²)=15 olur. Aynı taraftaki kirişler arasındaki uzaklık 15−8=7 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 3
Yarıçapı 25 birim olan bir çemberde merkeze uzaklıkları 7 ve 15 birim olan iki kirişin uzunlukları arasındaki fark kaç birimdir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Kiriş uzunlukları 2√(25²−7²)=2√576=48 ve 2√(25²−15²)=2√400=40 birimdir. Fark 48−40=8 birim bulunur.
Cevap: C
EŞ KİRİŞLER, PARALEL KİRİŞLER VE SIRALAMA
Aynı çemberde eş kirişlerin merkeze uzaklıkları eşittir; merkeze eşit uzaklıktaki kirişler de eş uzunluktadır. Bu çift yönlü sonuç, cebirsel uzaklıkların eşitlenmesini sağlar. Kiriş uzunluklarını karşılaştırırken karekök hesabı yapmak gerekmeyebilir: merkezden uzaklık küçüldükçe kiriş büyür.
Bir çap kirişe dikse onu ortalar; kirişi ortalayan merkez doğrusu da kirişe diktir. Bu ters bağıntılar, şekilde diklik işareti verilmemiş olsa bile orta nokta bilgisinden dik üçgen kurabilmeyi sağlar.
Örnek - 4
Yarıçapı 10 birim olan bir çemberde merkeze uzaklıkları 6 ve 8 birim olan iki kirişin uzunlukları oranı, uzun olanın kısa olana oranı biçiminde kaçtır?
A) 3/2
B) 4/3
C) 5/4
D) 6/5
E) 7/6
Kiriş uzunlukları 2√(100−36)=16 ve 2√(100−64)=12’dir. İstenen oran 16/12=4/3 olur.
Cevap: B
Örnek - 5
Yarıçapı 13 birim olan bir çemberde eş AB ve CD kirişlerinin merkeze uzaklıkları sırasıyla 2x−3 ve x+4 birimdir. Buna göre kirişlerden birinin uzunluğu kaç birimdir?
A) 6√3
B) 8√2
C) 8√3
D) 10√2
E) 12
Eş kirişlerin merkeze uzaklıkları eşittir: 2x−3=x+4 ve x=7. Ortak uzaklık 11 olduğundan kiriş uzunluğu 2√(13²−11²)=2√48=8√3 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 6
Çapı 34 birim olan bir çemberde uzunlukları 16 ve 30 birim olan paralel iki kiriş merkezin farklı taraflarındadır. Kirişler arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 19
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
Yarıçap 17’dir. 16 birimlik kirişin merkeze uzaklığı √(17²−8²)=15; 30 birimlik kirişinki √(17²−15²)=8 olur. Farklı taraflarda oldukları için toplam uzaklık 15+8=23 birimdir.
Cevap: C
Dikkat
Kirişler arasındaki uzaklık yalnız sayısal değerlerin toplamına bağlı değildir. Kirişler merkezin aynı tarafındaysa uzaklık farkla, farklı taraflarındaysa toplamla bulunur.
TEĞET UZUNLUĞU VE TEĞETSEL ÇOKGENLER
TEĞET–YARIÇAP DİKLİĞİ VE DIŞ NOKTADAN TEĞETLER
Çembere değme noktasında çizilen yarıçap teğete diktir. Dışarıdaki P noktasından çembere PT teğeti çizilmişse PT²=PO²−r² olur. P’den çizilen iki teğetin uzunlukları eşittir; PA=PB eşitliği, çevre ve cebir sorularında teğet parçalarını tek bilinmeyene indirger.
P noktasının çembere en yakın ve en uzak noktalarına uzaklıkları sırasıyla PO−r ve PO+r’dir. Bu iki değer biliniyorsa toplamlarından PO, farklarından yarıçap bulunabilir; ardından teğet uzunluğuna geçilir.
Örnek - 7
P noktasından bir çembere çizilen PA ve PB teğetlerinin uzunlukları 3x−2 ve x+8 birimdir. Çemberin yarıçapı 84 birim olduğuna göre PO kaç birimdir?
A) 75
B) 80
C) 85
D) 90
E) 97
Aynı dış noktadan çizilen teğetler eşittir: 3x−2=x+8, buradan x=5 ve teğet uzunluğu 13 bulunur. OA⊥PA olduğundan PO²=84²+13²=7225 ve PO=85 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 8
P noktasının bir çembere olan en kısa uzaklığı 6, en büyük uzaklığı 26 birimdir. P’den çembere çizilen teğetin uzunluğu kaç birimdir?
A) 2√30
B) 4√7
C) 2√39
D) 5√6
E) 4√10
PO−r=6 ve PO+r=26 eşitliklerinden PO=16, r=10 bulunur. Teğet uzunluğu √(PO²−r²)=√(256−100)=2√39 birimdir.
Cevap: C
İÇ TEĞET ÇEMBER, DIŞ TEĞET ÇEMBER VE TEĞETLER DÖRTGENİ
Bir çokgenin aynı köşesinden bir çembere çizilen teğet parçaları eşittir. Üçgende bu parçalar yarı çevre yardımıyla s−a, s−b, s−c biçiminde bulunur. İç teğet çemberin yarıçapı r ise üçgenin alanı A=r·s olur. Dış teğet çember sorularında da aynı teğet eşitliği kullanılır; yalnız bazı parçalar kenarların uzantısında bulunduğu için toplam–fark yönü dikkatle seçilir.
Dört kenarı bir çembere teğet olan dışbükey dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşittir: a+c=b+d. Teğetler dörtgeninin alanı da iç yarıçap ile yarı çevrenin çarpımıdır.
Örnek - 9
Kenar uzunlukları 13, 14 ve 15 birim olan bir üçgene içten teğet çember çiziliyor. Üç köşeden çıkan teğet parçalarının farklı uzunluklarının çarpımı kaçtır?
A) 280
B) 300
C) 320
D) 336
E) 360
Yarı çevre s=21’dir. Köşelerden çıkan teğet uzunlukları s−15=6, s−13=8 ve s−14=7 olur. Çarpımları 6·8·7=336’dır.
Cevap: D
Örnek - 10
ABCD teğetler dörtgeninde AB=10, BC=13, CD=15 ve DA=x birimdir. Dörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 46
B) 48
C) 50
D) 52
E) 54
Karşılıklı kenar toplamları eşittir: 10+15=13+x, dolayısıyla x=12. Çevre 10+13+15+12=50 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 11
Çevresi 56 birim olan bir teğetler dörtgeninin iç teğet çember yarıçapı 4 birimdir. Dörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 104
C) 112
D) 120
E) 128
Yarı çevre s=28’dir. Teğetler dörtgeni dört üçgene ayrıldığında yüksekliklerin tümü r olur; alan A=r·s=4·28=112 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 12
Dik kenarları 9 ve 12 birim olan dik üçgenin iç teğet çemberi hipotenüse iki parçaya ayırıyor. Uzun parçanın kısa parçaya oranı kaçtır?
A) 4/3
B) 3/2
C) 5/3
D) 7/4
E) 2
Hipotenüs 15 ve yarı çevre 18’dir. Hipotenüs üzerindeki teğet parçaları, uç köşelerden çıkan teğet uzunlukları olarak 18−12=6 ve 18−9=9’dur. Oran 9/6=3/2 olur.
Cevap: B
İKİ ÇEMBERİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU
MERKEZ UZAKLIĞI, ORTAK TEĞET VE KONUM SINIFLANDIRMASI
Yarıçapları R ve r, merkezler arası uzaklık d olsun. Çemberler d>R+r ise ayrık; d=R+r ise dıştan teğet; |R−r|<d<R+r ise iki noktada kesişen; d=|R−r| ise içten teğet; d<|R−r| ise biri diğerinin içinde ve kesişmeyen durumdadır. Eş merkezli çemberlerde d=0’dır.
Teğet çemberlerde merkezler ile değme noktası doğrusaldır. Dıştan teğette merkez uzaklığı yarıçapların toplamı, içten teğette farkıdır. Kesişen çemberlerin ortak kirişini birleştiren doğru parçası merkezler doğrusuna diktir.
Örnek - 13
Yarıçapları 8 ve 3 birim, merkezleri arasındaki uzaklık 13 birim olan iki çemberin ortak dış teğet parçası ile çemberler arasındaki en kısa uzaklığın toplamı kaç birimdir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Ortak dış teğet L için L²=13²−(8−3)²=144, yani L=12’dir. Çemberler arasındaki en kısa uzaklık 13−8−3=2 olur. Toplam 14 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 14
Yarıçapları 5 ve 2 birim, merkez uzaklığı 13 birim olan iki çemberin ortak iç teğet parçası kaç birimdir?
A) 2√21
B) 4√6
C) 2√30
D) 5√5
E) 8√2
Ortak iç teğette yarıçapların toplamı kullanılır: L²=13²−(5+2)²=169−49=120. Bu nedenle L=2√30 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 15
Yarıçapları 10 ve 3 birim olan ayrık iki çemberin ortak dış teğet parçası 24 birimdir. Çemberler arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Merkez uzaklığı d için 24²=d²−(10−3)² yazılır. d²=625 ve d=25 olur. Çemberler arasındaki boşluk 25−10−3=12 birimdir.
Cevap: C
ORTAK TEĞETLER, ORTAK KİRİŞ VE DİK KESİŞME
Ortak dış teğette yarıçap farkı, ortak iç teğette yarıçap toplamı bir dik üçgenin dik kenarını oluşturur. Merkez uzaklığı hipotenüs olduğundan Ldış²=d²−(R−r)² ve Liç²=d²−(R+r)² bağıntıları kullanılır.
Kesişen iki çemberin ortak kirişi merkezler doğrusuna diktir. Merkezlerden ortak kirişe olan yönlü uzaklıklar, iki yarıçaplı dik üçgen kurar. Çemberler dik kesişiyorsa kesişim noktasına giden iki yarıçap birbirine diktir ve d²=R²+r² olur.
Örnek - 16
Yarıçapları 10 ve 4 birim olan iki çember içten teğettir. Merkezleri O₁ ve O₂, değme noktası T olduğuna göre O₁T/O₂T oranı kaçtır?
A) 3/2
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 7/2
İçten teğette T, iki merkezle aynı doğru üzerindedir. O₁T büyük çemberin yarıçapı 10, O₂T küçük çemberin yarıçapı 4 olduğundan oran 10/4=5/2’dir.
Cevap: C
Örnek - 17
Yarıçapları 9 ve 4 birim olan iki çemberin merkez uzaklığı başlangıçta 5 birimdir. Merkez uzaklığı 5+x yapıldığında çemberlerin iki noktada kesişmesini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı x vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
İki noktada kesişme koşulu |9−4|<5+x<9+4’tür. 5<5+x<13 eşitsizliğinden 0<x<8 elde edilir. Pozitif tam sayılar 1,2,…,7 olduğundan 7 değer vardır.
Cevap: C
Örnek - 18
Yarıçapları 7 ve 11 birim olan iki çemberin iki noktada kesişmesi için merkezler arası uzaklık d bir tam sayı olacaktır. d’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Kesişme koşulu |11−7|<d<11+7, yani 4<d<18’dir. d=5,6,…,17 olmak üzere 13 tam sayı değer alır.
Cevap: C
Örnek - 19
Yarıçapları 5 ve 12 birim olan iki çember dik kesişmektedir. Ortak kiriş AB’nin uzunluğu kaç birimdir?
A) 60/13
B) 90/13
C) 120/13
D) 144/13
E) 5√3
Dik kesişmeden merkez uzaklığı d=13’tür. Küçük çember merkezinden ortak kirişe uzaklık a=(5²−12²+13²)/(2·13)=25/13 olur. Yarım kiriş √(5²−(25/13)²)=60/13; dolayısıyla AB=120/13 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 20
Yarıçapları 10 ve 17 birim, merkezleri arasındaki uzaklık 21 birim olan iki çemberin ortak kiriş uzunluğu kaç birimdir?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Birinci merkezden ortak kirişe uzaklık a=(10²−17²+21²)/(2·21)=6’dır. Yarım ortak kiriş √(10²−6²)=8 olduğundan kirişin tamamı 16 birimdir.
Cevap: C
Dikkat
Ortak dış teğette yarıçapların farkı, ortak iç teğette toplamı kullanılır. Çemberlerin kesişme türü belirlenmeden ezbere teğet formülü yazmak, gerçek olmayan bir uzunluğun karekökünü almaya yol açabilir.
NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ
İÇ KUVVET: KESİŞEN KİRİŞLER
AB ve CD kirişleri çember içinde E noktasında kesişiyorsa EA·EB=EC·ED olur. Bu eşitlik, karşılıklı iki üçgenin benzerliğinden gelir. Uzunluklar E’den ilgili çember noktasına kadar alınır; kirişlerin tamamı birbirine çarpılmaz.
Örnek - 21
AB ve CD kirişleri çember içinde E noktasında kesişiyor. EA=6, EB=14, EC=7 ve ED=x olduğuna göre x kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
Kesişen kirişler bağıntısından 6·14=7·x yazılır. Buradan x=12 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 22
AB ve CD kirişleri E noktasında kesişiyor. EA=x−1, EB=x+1, EC=4 ve ED=6 olduğuna göre x kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
(x−1)(x+1)=4·6 olduğundan x²−1=24 ve x²=25 olur. Uzunluklar pozitif olduğundan x=5 alınır.
Cevap: B
DIŞ KUVVET: İKİ KESEN VE TEĞET–KESEN
P dış noktasından çıkan P–A–B ve P–C–D kesenlerinde PA·PB=PC·PD olur. İlk çarpan dış parça, ikinci çarpan aynı kesenin P’den uzak çember noktasına kadar olan bütün uzunluğudur. P’den PT teğeti de çizilmişse PT²=PA·PB bağıntısı kullanılır.
Örnek - 23
P dış noktasından çizilen iki kesenin birinde dış parça 4, bütün kesen 18; diğerinde dış parça 6 ve bütün kesen x birimdir. x kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
Dış noktadaki kuvvet iki kesen için aynıdır: 4·18=6·x. Buradan x=12 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 24
P noktasından çembere PT teğeti ve P–A–B keseni çiziliyor. PA=8, PB=18 ve PT=12 olduğuna göre çember içindeki AB parçası kaç birimdir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Kuvvet kontrolü PT²=12²=144 ve PA·PB=8·18=144 ile sağlanır. Çember içindeki parça AB=PB−PA=18−8=10 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 25
P noktasından çembere çizilen teğetin uzunluğu 12 birimdir. Aynı noktadan çıkan kesenin dış parçası x, bütün uzunluğu x+7 birim olduğuna göre x kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Teğet–kesen bağıntısından 12²=x(x+7) yazılır. x²+7x−144=0 denklemi (x−9)(x+16)=0 biçiminde ayrılır. Pozitif kök x=9’dur.
Cevap: C
Örnek - 26
P dış noktasından çizilen iki kesenin birinde dış parça 3 ve bütün uzunluk 15; diğerinde dış parça 5 ve bütün uzunluk x birimdir. x kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
İki kesenin kuvvetleri eşittir: 3·15=5·x. Buradan x=9 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 27
P noktasından çembere çizilen teğet 15 birimdir. P–A–B keseninde dış parça PA=5 olduğuna göre çember içindeki AB parçası kaç birimdir?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
15²=5·PB eşitliğinden PB=45 bulunur. İstenen iç parça AB=PB−PA=45−5=40 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 28
P–A–B doğrusu çemberin merkezinden geçiyor. PA=5, PB=13 ve PT=√65 olacak biçimde PT teğeti çiziliyor. OPT dik üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) √65
B) 3√65/2
C) 2√65
D) 5√65/2
E) 4√65
AB=13−5=8 çaptır; yarıçap OT=4 olur. OT⊥PT olduğundan OPT üçgeninin alanı (4·√65)/2=2√65 birimkaredir.
Cevap: C
BENZERLİK VE BİRLEŞİK UZUNLUK SORULARI
KUVVET BAĞINTILARININ BENZERLİKTEN GELİŞİ
Kesişen kirişlerde oluşan ters açılar ile aynı yayları gören çevre açılar iki üçgeni benzer yapar. Benzerlik oranı çapraz yazıldığında EA·EB=EC·ED çarpımı ortaya çıkar. Dış noktadaki iki kesende ve teğet–kesende de aynı mantık geçerlidir; bu nedenle üç bağıntı birbirinden kopuk formüller değil, tek bir kuvvet düşüncesinin farklı şekilleridir.
Bir P noktası için elde edilen ortak çarpım, P’nin çembere göre kuvvetidir. P çemberin dışındaysa kuvvet pozitif; çember üzerindeyse sıfırdır. İki çembere göre kuvveti eşit noktaların geometrik yeri radikal eksendir; kesişen iki çemberde bu doğru ortak kiriş doğrusudur.
Örnek - 29
P dış noktasından çıkan iki kesenin birinde dış parça 4 ve bütün kesen 18; diğerinde dış parça 6 ve bütün kesen x birimdir. İkinci kesenin çember içinde kalan parçası kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4·18=6·x eşitliğinden x=12 bulunur. İkinci kesenin dış parçası 6 olduğuna göre çember içindeki parça 12−6=6 birimdir.
Cevap: C
BİRLEŞİK TEĞET–KİRİŞ–ÇEMBER PROBLEMLERİ
Birleşik sorularda doğru sıra, şekli tek bir kurala zorlamaktan daha önemlidir. Teğet noktasında dik üçgen, çember içinde çarpım, iki çember arasında merkez uzaklığı ve ortak teğet bağıntısı ayrı aşamalardır. Ara uzunluk bulunduğunda yeni şeklin yarıçapı, merkez uzaklığı veya bütün keseni olarak kullanılabilir.
Özellikle ortak teğet sorularında yardımcı dikdörtgen kurmak, iki yarıçapın farkını ya da toplamını görünür hâle getirir. Kuvvet sorularında ise dış parça ile bütün keseni işaretlemek, iç parçayı yanlışlıkla çarpma hatasını önler.
Örnek - 30
Yarıçapları 6 ve 2 birim, merkezleri arasındaki uzaklık 10 birim olan iki çemberin ortak dış teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir?
A) 2√15
B) 4√5
C) 2√21
D) 3√10
E) 4√6
Ortak dış teğette yarıçap farkı kullanılır: L²=10²−(6−2)²=100−16=84. Bu nedenle L=2√21 birimdir.
Cevap: C
Dikkat
Kuvvet bağıntısında çarpılan uzunluklar dış parça ile çember içindeki parça değil, dış parça ile bütün kesendir. Teğet uzunluğu ise aynı kuvvetin kareköküdür.
