AYT çemberde açılar ve yaylar konu anlatımı kapsamında merkez ve çevre açılar, teğet-kiriş açısı, çemberin iç ve dışındaki açılar, kirişler dörtgeni ve yay ilişkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÇEMBERİN DİLİ: KİRİŞ, ÇAP VE YAY
YAY ÖLÇÜSÜ, KİRİŞ VE MERKEZLE İLİŞKİ
Sabit bir O noktasına eşit uzaklıktaki noktaların kümesi çember, çemberle iç bölgesinin birleşimi ise dairedir. Merkezden çembere çizilen her doğru parçası yarıçap; uçları çember üzerinde olan parça kiriş; merkezden geçen kiriş çap; çemberi iki noktada kesen doğru kesen; tek noktada değen doğru teğettir. Değme noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. İki nokta arasındaki kısa parça küçük yay, geri kalan parça büyük yaydır; tam çemberin yay ölçüsü 360°’dir.
Bir yayın derece cinsinden ölçüsü, onu gören merkez açının ölçüsüne eşittir. Kiriş uzunluğu ile yay ölçüsü aynı şey değildir; fakat aynı çemberde büyük merkez açı daha uzun kiriş ve daha büyük küçük yay oluşturur. Bir yay iki harfle yazıldığında genellikle küçük yay, üç harfle yazıldığında aradaki harfin bulunduğu yay anlaşılır.
Örnek - 1
Çember üzerindeki A, B, C ve D noktaları sırasıyla yer almaktadır. Ardışık yayların ölçüleri görselde verilmiştir. Buna göre m(⌢BC) kaç derecedir?
A) 118
B) 120
C) 122
D) 124
E) 126
Tam çemberde yayların toplamı 360°’dir. (3x+20)+(4x+10)+(2x+30)+(x+20)=360 denkleminden 10x+80=360 ve x=28 bulunur. Dolayısıyla m(⌢BC)=4·28+10=122° olur.
Cevap: C
Örnek - 2
Bir çemberde ardışık AB, BC, CD ve DA yaylarının ölçüleri sırasıyla 2:3:4:6 oranındadır. O merkez olmak üzere, B noktasını içeren küçük AC yayını gören AOC merkez açısı kaç derecedir?
A) 96
B) 108
C) 120
D) 132
E) 144
Oranların toplamı 15’tir; bir oran birimi 360/15=24° olur. B noktasını içeren AC yayı AB+BC=2·24+3·24=120° olduğundan bu yayı gören merkez açı da 120°’dir.
Cevap: C
Örnek - 3
Aynı çemberde AB ve CD kirişleri eşittir. Küçük AB yayı 4x−10°, küçük CD yayı 3x+20°’dir. Geriye kalan iki yayın ölçüleri 1:4 oranında olduğuna göre bunlardan büyük olanı kaç derecedir?
A) 98
B) 104
C) 110
D) 112
E) 120
Eş kirişler eş yay görür: 4x−10=3x+20, dolayısıyla x=30 ve iki yay da 110°’dir. Kalan yayların toplamı 360−220=140° olur. 1:4 oranında toplam 5 pay bulunduğundan büyük yay 140·4/5=112°’dir.
Cevap: D
MERKEZ AÇI, EŞ KİRİŞLER VE PARALEL KİRİŞLER
Merkez açının köşesi merkezde, kolları iki yarıçap üzerindedir ve ölçüsü gördüğü yaya eşittir. Aynı çemberde veya eş çemberlerde eş kirişler eş küçük yaylar; eş yaylar da eş kirişler belirler. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ve ona karşılık gelen küçük yayı iki eş parçaya ayırır. Tersine, kirişi ortalayan yarıçap doğrusu kirişe diktir.
Paralel iki kiriş arasında, çemberin aynı tarafında kalan yan yaylar eşittir. Bu sonuç, paralellikten gelen yöndeş/ters açılar ile çevre açıların gördüğü yaylar karşılaştırılarak elde edilir. Soru çözerken önce çevrenin 360° olduğunu, sonra eş kiriş–eş yay veya paralel kiriş–eş yan yay bilgisini kullanmak işlem yükünü azaltır.
Örnek - 4
Merkezi O olan çemberde A, B, C ve D noktaları sırasıyla yer almaktadır. Ardışık merkez açıların ölçüleri görselde verildiğine göre, C noktasını içeren küçük BD yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) 144
B) 150
C) 154
D) 158
E) 162
Merkez çevresindeki açılar toplamı 360°’dir: (2x+10)+(3x−20)+(x+30)+(4x−20)=360. Buradan 10x=360 ve x=36 bulunur. C’yi içeren BD yayı, BOC ve COD merkez açılarının toplamıdır: (3·36−20)+(36+30)=88+66=154°.
Cevap: C
KİRİŞ UZUNLUĞU VE MERKEZ AÇI
Merkezden kirişin iki ucuna yarıçap çizilince kenarları r olan ikizkenar üçgen oluşur. Merkezden kirişe indirilen dikme, kiriş uzunluğunu ve merkez açıyı iki eş parçaya böler. Küçük merkez açının ölçüsü θ ve kiriş uzunluğu k ise oluşan dik üçgende sin(θ/2)=(k/2)/r olur. Buradan k=2r·sin(θ/2) bağıntısı elde edilir. Bu ilişkiyle kiriş uzunluğundan küçük merkez açıyı ve ona karşılık gelen küçük yay ölçüsünü bulabiliriz.
Örnek - 5
Yarıçapı r olan bir çemberde AB=r√2 ve CD=r uzunluklu iki ayrık kiriş vardır. Küçük AB ve CD yayları çıkarıldığında çember üzerinde kalan yayların toplam ölçüsü kaç derecedir?
A) 180
B) 195
C) 210
D) 225
E) 240
Kiriş formülü k=2r·sin(θ/2)’dir. AB=r√2 için sin(θ/2)=√2/2 ve küçük AB yayı 90°; CD=r için sin(θ/2)=1/2 ve küçük CD yayı 60° olur. Ayrık iki küçük yay çıkarılınca kalan toplam 360−90−60=210°’dir.
Cevap: C
Örnek - 6
AB ve CD paralel kirişleri, çember üzerinde A–B–C–D sırasını oluşturmaktadır. m(⌢AB)=100° ve m(⌢CD)=140° olduğuna göre ∠ACD kaç derecedir?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Paralel kirişlerin arasında kalan yan yaylar eşittir; dolayısıyla m(⌢AD)=m(⌢BC) olur. Bu iki yayın toplamı 360−100−140=120° olduğundan her biri 60°’dir. ∠ACD, C’yi içermeyen AD yayını gördüğü için 60/2=30°’dir.
Cevap: B
Dikkat
Bir açının gördüğü yay, açının köşesini içermeyen yaydır. Özellikle büyük yay–küçük yay ayrımı yapılmadan yazılan yarım açı bağıntısı, doğru hesapla bile yanlış sonuca götürebilir.
ÇEVRE AÇININ YAY OKUMA MANTIĞI
ÇEVRE AÇI VE AYNI YAYI GÖREN AÇILAR
Köşesi çember üzerinde, kolları çemberin iki kirişini taşıyan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, köşesini içermeyen yayın ölçüsünün yarısıdır. Bu nedenle aynı yayı gören bütün çevre açılar eşittir. Bir merkez açı ile çevre açı aynı yayı görüyorsa merkez açı çevre açının iki katıdır.
Çevre açı sorularında şeklin görünüşüne göre karar verilmez. Açının kollarının çemberi kestiği iki uç belirlenir, bu uçlar arasındaki ve açı köşesini içermeyen yay seçilir. Köşe küçük yay üzerindeyse açı büyük yayı görebilir; bu durumda çevre açı 90°’den büyük olabilir.
Örnek - 7
B ve D noktaları, çemberde AC kirişinin aynı tarafındadır. ∠ABC=3x+4° ve ∠ADC=5x−36° olduğuna göre B ile D’yi içermeyen AC yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) 112
B) 120
C) 124
D) 128
E) 136
İki açı aynı AC yayını gördüğünden eşittir: 3x+4=5x−36. Buradan x=20 ve her açı 64° bulunur. Çevre açının gördüğü yay iki katı olduğundan istenen AC yayı 128°’dir.
Cevap: D
Örnek - 8
A, B, C ve D noktaları bir çember üzerinde ve B ile D, AC kirişinin farklı taraflarındadır. ∠ABC=72° olduğuna göre ∠ADC kaç derecedir?
A) 72
B) 90
C) 96
D) 108
E) 144
B ve D farklı tarafta olduğundan ∠ABC ile ∠ADC, AC’nin tamamlayıcı iki farklı yayını görür. Bu nedenle ABCD bir kirişler dörtgeni gibi düşünülür ve karşılıklı açılar toplamı 180°’dir. ∠ADC=180−72=108° bulunur.
Cevap: D
Örnek - 9
AB çaplı çemberin üst yarısında noktalar A–C–D–B sırasındadır. ∠CAB=28° ve ∠CBD=17° olduğuna göre ∠DAB kaç derecedir?
A) 9
B) 11
C) 14
D) 17
E) 22
∠CAB, A’yı içermeyen CB yayının tamamını görür; bu nedenle m(⌢CB)=56°’dir. ∠CBD ise B’yi içermeyen CD yayını gördüğünden m(⌢CD)=34° olur. C–D–B sıralamasından m(⌢DB)=56−34=22°; bu yayı gören ∠DAB=22/2=11°’dir.
Cevap: B
ÇAPI GÖREN AÇI VE ÇEMBER ÇİZİLEBİLME İPUÇLARI
Çapın gördüğü yay bir yarım çember, yani 180° olduğundan çapı gören çevre açı 90°’dir. Tersine bir üçgende bir açı 90° ise o üçgenin çevrel çemberinde karşı kenar çaptır ve çember merkezi hipotenüsün orta noktasıdır. Bu sonuç, dik üçgen ile çember arasında hızlı bir geçiş sağlar.
Üç noktadan, doğrusal olmadıkları sürece, tek bir çember geçer. Dört noktanın aynı çember üzerinde bulunması için karşılıklı açıların toplamının 180° olması veya aynı doğru parçasını aynı taraftan gören açıların eşit olması yeterlidir. Bu koşullar, şekil üzerinde çember çizilmemiş olsa bile gizli çemberi ortaya çıkarır.
Örnek - 10
ABC üçgeninin çevrel çemberinde küçük AB yayının ölçüsü 4x+20°’dir. ∠BAC=2x+5° ve ∠ABC=3x−10° olduğuna göre B noktasını içeren büyük AC yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) 210
B) 220
C) 230
D) 240
E) 250
∠ACB küçük AB yayını gördüğünden ∠ACB=(4x+20)/2=2x+10 olur. Üçgenin açıları toplamından (2x+5)+(3x−10)+(2x+10)=180; 7x+5=180 ve x=25’tir. ∠ABC=65° olduğundan B’yi içermeyen küçük AC yayı 130°; B’yi içeren büyük AC yayı 360−130=230°’dir.
Cevap: C
Örnek - 11
AB bir çaptır. C ve D noktaları aynı yarım çemberde, A–D–C–B sırasındadır. ∠CAB=32° ve m(⌢DC)=40° olduğuna göre ∠ABD kaç derecedir?
A) 34
B) 36
C) 38
D) 40
E) 42
AB çap olduğundan ∠ACB=90° ve ∠ABC=58°’dir. ∠CAB=32° olduğuna göre CB yayı 64°, üst yarım çemberde AC yayı 116°’dir. AC yayı AD+DC olduğundan AD yayı 116−40=76°; ∠ABD bu yayı gördüğü için 38°’dir.
Cevap: C
Örnek - 12
AB ve CD paralel kirişleri çember üzerinde A–B–C–D sırasındadır. m(⌢AB)=104° ve m(⌢AD)=56° olduğuna göre ∠CAD kaç derecedir?
A) 64
B) 68
C) 70
D) 72
E) 76
Paralel kirişlerden m(⌢AD)=m(⌢BC)=56° olur. Böylece m(⌢CD)=360−104−56−56=144° bulunur. ∠CAD, A’yı içermeyen CD yayını gördüğünden 144/2=72°’dir.
Cevap: D
TEĞETİN AÇI GEOMETRİSİ
YARIÇAP–TEĞET DİKLİĞİ VE TEĞET–KİRİŞ AÇISI
Bir çembere A noktasında teğet olan doğru, OA yarıçapına diktir. Teğet ile A’dan geçen bir kirişin oluşturduğu açının ölçüsü, kirişin karşısındaki yayın yarısıdır; başka bir deyişle aynı yayı gören çevre açıya eşittir. Bu, teğetin bir çevre açı kolu gibi kullanılmasını sağlar.
Teğet–kiriş açısında hangi yayın seçileceği açının açıklığına bağlıdır. Dar açı küçük yayı, geniş açı büyük yayı görür. Soruda teğetin yönü değiştiğinde 180°’lik doğrusal açıdan yararlanmak gerekebilir; yarıçap–teğet dikliği ise çoğu kez ek bir dik üçgen kurar.
Örnek - 13
A noktasındaki teğet ile AB kirişi arasındaki dar açı 38°’dir. Küçük BC yayı 124° olduğuna göre teğet ile AC kirişi arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 62
B) 68
C) 72
D) 76
E) 80
Teğet–AB açısı küçük AB yayının yarısıdır; dolayısıyla m(⌢AB)=76° olur. Çemberin kalan AC yayı 360−76−124=160°’dir. Teğet ile AC kirişi arasındaki dar açı bu küçük yayı gördüğünden 160/2=80°’dir.
Cevap: E
Örnek - 14
A noktasındaki teğet ile AB kirişi arasındaki açı 5x−45°; AB yayını gören ∠ACB ise 3x−5°’dir. Küçük AB yayının ölçüsü kaç derecedir?
A) 96
B) 100
C) 104
D) 110
E) 120
Teğet–kiriş açısı aynı yayı gören çevre açıya eşittir. 5x−45=3x−5 denkleminden x=20 ve açı 55° bulunur. Küçük AB yayı bunun iki katı, 110°’dir.
Cevap: D
Örnek - 15
P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor. O merkez ve ∠AOB=128° olduğuna göre ∠AOP kaç derecedir?
A) 52
B) 58
C) 60
D) 64
E) 68
İki teğet arasındaki açı ∠APB=180−128=52°’dir. OP, eş teğetlerden dolayı ∠APB’yi ortalar; ∠APO=26° olur. OA teğete dik olduğundan AOP dik üçgeninde ∠AOP=180−90−26=64°’dir.
Cevap: D
İKİ TEĞET VE TEĞET ÇEMBERLERDE AÇI
Aynı dış noktadan çizilen teğet parçaları eşittir. PA ve PB teğet, O merkez ise PA=PB; OA=OB ve OP ortak olduğundan OAP ile OBP dik üçgenleri eştir. Böylece OP hem merkez açının hem de iki teğet arasındaki açının açıortayıdır. Ayrıca iki teğet arasındaki açı ile teğet noktaları arasındaki küçük yayın toplamı 180°’dir.
Dıştan teğet iki çemberde merkezler ve değme noktası aynı doğru üzerindedir. Ortak teğet ile her iki çemberin değme yarıçapı diktir. Çemberlerden gelen teğet–kiriş açıları, ortak teğetin iki tarafında taşınarak üçgen açılarına veya bir toplam/fark ilişkisine dönüştürülebilir.
TEĞET–KESEN DIŞ AÇISI
P dış noktasından PA teğeti ve P–C–B sıralı kesen çizildiğinde, uzak AB yayı ile yakın AC yayını ayıralım. Teğet–kiriş teoreminden ∠PAC=m(⌢AC)/2; çevre açı teoreminden ∠ACB=m(⌢AB)/2. P, C ve B doğrusal olduğundan ∠ACP=180°−∠ACB. P-A-C üçgeninin açı toplamı kullanılır:
m(∠APC)=180°−m(∠PAC)−m(∠ACP)=(m(⌢AB)−m(⌢AC))/2.
Yani teğet-kesen dış açısı, uzak yaydan yakın yay çıkarıldıktan sonra ikiye bölünür.
Örnek - 16
P dış noktasından çembere PA teğeti ve P–C–B doğrusu boyunca bir kesen çiziliyor. ∠APC=30° ve uzak AB yayı 160° olduğuna göre ∠PAC kaç derecedir?
A) 45
B) 48
C) 50
D) 52
E) 55
Teğet–kesen dış açısı için 30=(160−m(⌢AC))/2 yazılır; buradan küçük AC yayı 100° bulunur. ∠PAC, A noktasındaki teğet ile AC kirişi arasındaki açı olduğundan bu yayın yarısına eşittir: ∠PAC=100/2=50°.
Cevap: C
Örnek - 17
P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor ve ∠APB=46° oluyor. C noktası küçük AB yayı üzerindedir. Buna göre ∠ACB kaç derecedir?
A) 107
B) 110
C) 113
D) 116
E) 117
Küçük AB yayı 180−46=134°’dir. C küçük yay üzerinde olduğundan ∠ACB, C’yi içermeyen büyük AB yayını görür. Büyük yay 360−134=226° ve çevre açı 226/2=113°’dir.
Cevap: C
Örnek - 18
Dıştan teğet iki çemberin ortak değme noktası T’dir. Merkezlerin oluşturduğu doğru üzerinde T’den sola yönelen ışın ile TA kirişi arasındaki açı 34°, sağa yönelen ışın ile TB kirişi arasındaki açı 27°’dir. A ve B merkez doğrusunun aynı tarafında olduğuna göre ∠ATB kaç derecedir?
A) 113
B) 116
C) 119
D) 122
E) 126
T noktasından geçen merkez doğrusu bir doğru açı, yani 180° oluşturur. Aynı yarı düzlemde bu doğru açı 34°, ∠ATB ve 27° olarak üç parçaya ayrılır. Bu nedenle ∠ATB=180−34−27=119° bulunur.
Cevap: C
Dikkat
İki teğet arasındaki dış açı için küçük yayla toplam 180° ilişkisi vardır. Teğet–kesen veya iki kesen açısında ise yayların farkının yarısı alınır; bu iki kural birbirine karıştırılmamalıdır.
ÇEMBERDE İÇ VE DIŞ AÇILAR
KESİŞEN KİRİŞLERDE İÇ AÇI
İki kiriş çemberin içinde E noktasında kesişirse oluşan açının ölçüsü, açının ve ters açısının gördüğü iki yayın ölçüleri toplamının yarısıdır. Örneğin AC ve BD kirişleri E’de kesişiyorsa m(∠AEB)=(m(⌢AB)+m(⌢CD))/2 olur. Burada yalnız bir yay değil, karşılıklı iki yay hesaba katılır.
Komşu iç açılar bütünlerdir. Bir iç açı bulunduktan sonra yanındaki açı için yeniden yay hesabı yapmak yerine 180°’den çıkarma yapılabilir. Cebirsel yay sorularında önce “iki yay toplamı = açının iki katı” biçiminde denklem kurmak, yanlışlıkla fark alma riskini azaltır.
Örnek - 19
AC ve BD kirişleri çember içinde E noktasında kesişiyor. m(⌢AD)=96° ve m(⌢BC)=44° olduğuna göre ∠AEB kaç derecedir?
A) 100
B) 105
C) 108
D) 110
E) 112
∠AED, AD ve BC yaylarını gördüğünden ∠AED=(96+44)/2=70°’dir. ∠AED ile ∠AEB doğrusal çift olduğundan ∠AEB=180−70=110° bulunur.
Cevap: D
Örnek - 20
AC ve BD kirişleri çember içinde E’de kesişmektedir. ∠AEB=74°, m(⌢AB)=4x+10° ve m(⌢CD)=2x+6° olduğuna göre m(⌢AB) kaç derecedir?
A) 90
B) 94
C) 98
D) 102
E) 106
İç açı bağıntısından (4x+10)+(2x+6)=2·74 yazılır. 6x+16=148, x=22’dir. Böylece m(⌢AB)=4·22+10=98° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 21
AD ve BC kirişleri E noktasında kesişiyor. ∠CED=68°; bu açının ve ters açısının gördüğü AB ile CD yayları 3x+6° ve 5x−14° olduğuna göre büyük olan yay kaç derecedir?
A) 68
B) 72
C) 74
D) 76
E) 80
İç açı, karşılıklı iki yayın toplamının yarısıdır: (3x+6)+(5x−14)=136. Buradan 8x−8=136 ve x=18 olur. Yaylar 60° ve 76° olduğundan büyük olan 76°’dir.
Cevap: D
KESEN VE TEĞETLERLE DIŞ AÇI
Köşesi çember dışında olan iki kesen, bir teğet–bir kesen veya iki teğetin oluşturduğu açılar yay farkıyla çözülür. İki kesen ya da teğet–kesen için dış açı, uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır. “Uzak eksi yakın” sırası, açının pozitif ve şekille uyumlu çıkmasını sağlar.
İki teğet özel durumunda uzak yay büyük, yakın yay küçük yaydır. Bu nedenle farkın yarısı aynı zamanda 180°−küçük yaydır. Teğet noktalarını merkeze birleştirerek oluşan dörtgende iki dik açı bulunduğu için dış açı ile küçük merkez açının toplamının 180° olduğu da görülebilir.
Örnek - 22
AC ve BD kirişleri çember içinde E noktasında kesişiyor. ∠AEB açısının gördüğü yaylar 120° ve 50° olduğuna göre ∠AEB kaç derecedir?
A) 80
B) 82
C) 85
D) 88
E) 90
Köşe çemberin içinde olduğundan yayların farkı değil toplamı alınır: ∠AEB=(120+50)/2=85°.
Cevap: C
Örnek - 23
P dış noktasından P–A–C ve P–B–D sıralı iki kesen çiziliyor. Uzak uçlar arasındaki CD yayı 174°, yakın uçlar arasındaki AB yayı 54° olduğuna göre kesenler arasındaki açı kaç derecedir?
A) 50
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
İki kesenin oluşturduğu dış açı, uzak yay ile yakın yayın farkının yarısıdır: ∠P=(174−54)/2=120/2=60°.
Cevap: C
Örnek - 24
P dış noktasından PA teğeti ve P–C–B sıralı bir kesen çiziliyor. Dış açı 42°; uzak AB yayı 7x+6°, yakın AC yayı 3x+2° olduğuna göre uzak AB yayı kaç derecedir?
A) 132
B) 138
C) 142
D) 146
E) 150
Teğet–kesen dış açısında ((7x+6)−(3x+2))/2=42 olur. 4x+4=84 ve x=20’dir. Uzak AB yayı 7·20+6=146° bulunur.
Cevap: D
Dikkat
Köşe çemberin içindeyse karşılıklı yayların toplamının, dışındaysa uzak ve yakın yayların farkının yarısı alınır. Önce köşenin konumunu sınıflandırmak, formülü ezberlemekten daha güvenlidir.
KİRİŞLER DÖRTGENİ VE ÇOKLU ÇEMBER UYGULAMALARI
KİRİŞLER DÖRTGENİNDE KARŞILIKLI AÇILAR
Dört köşesi aynı çember üzerinde bulunan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşılıklı iki açının gördüğü yaylar birlikte tam çemberi oluşturduğu için bu açıların toplamı 180°’dir. Bir dış açı ise kendisine komşu olmayan iç açıya eşittir. Bu iki sonuç, uzun yay hesaplarını kısa açı eşitliklerine dönüştürür.
Kirişler dörtgeninde aynı kirişi gören açılar, kirişin aynı tarafındaysa eş; farklı tarafındaysa bütünlerdir. Sorularda dörtgenin çembersel olduğu açıkça yazılmasa bile karşılıklı açıların 180° olması, iki açının aynı parçayı görmesi ya da dik üçgenlerde ortak hipotenüs bulunması bu yapıyı gösterebilir.
Örnek - 25
P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor ve ∠APB=68° oluyor. C, büyük AB yayı üzerindedir. Buna göre ∠PAB+∠ACB kaç derecedir?
A) 96
B) 102
C) 108
D) 112
E) 116
Küçük AB yayı 180−68=112°’dir. C büyük yay üzerinde olduğundan ∠ACB küçük AB yayını görür ve 56°’dir. PA=PB olduğundan APB ikizkenar üçgeninde taban açısı ∠PAB=(180−68)/2=56° olur. Toplam 112°’dir.
Cevap: D
Örnek - 26
P dış noktasından çizilen iki kesenin uzak uçları arasındaki yay 5x+30°, yakın uçları arasındaki yay 3x−10° ve dış açı 35°’dir. Uzak yay kaç derecedir?
A) 95
B) 100
C) 105
D) 110
E) 115
Dış açı bağıntısından ((5x+30)−(3x−10))/2=35 yazılır. 2x+40=70 olduğundan x=15; uzak yay 5·15+30=105°’dir.
Cevap: C
Örnek - 27
P dış noktasından PA teğeti ve P–C–B sıralı keseni çiziliyor. Uzak AB yayı 154°, yakın AC yayı 46°’dir. Buna göre ∠PBA kaç derecedir?
A) 45
B) 47
C) 23
D) 51
E) 54
P, C, B sıralı doğrusal olduğundan ∠PBA=∠CBA’dır. ∠CBA, B noktasını içermeyen 46°’lik küçük AC yayını gören çevre açıdır; dolayısıyla ∠PBA=46°/2=23° olur. Denetim için ∠APB=(154°−46°)/2=54°; PAB üçgeninden ∠PAB=180°−54°−23°=103° çıkar.
Cevap: C
ÇEMBER ÇİZİLEBİLME KOŞULLARI VE BİRLEŞİK SORULAR
Bir dörtgenin çembersel olduğunu göstermek için en sık kullanılan ölçüt karşılıklı açıların toplamının 180° olmasıdır. Eşdeğer biçimde bir dış açının karşı iç açıya eşitliği veya iki noktanın aynı doğru parçasını eş açılarla görmesi de yeterlidir. İki dik üçgen ortak bir hipotenüse sahipse dik köşeler, hipotenüsün çap olduğu aynı çember üzerinde bulunur.
Birleşik AYT sorularında çemberin tamamı tek formülle çözülmez. Önce çevre/merkez açıyla yay bulunur; sonra teğet ya da iç–dış açı bağıntısı uygulanır; en sonda üçgen veya kirişler dörtgeni açı toplamı kullanılır. Her adımda hesaplanan yayın küçük mü büyük mü olduğunu yazmak, zincirin yönünü korur.
Örnek - 28
P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor. ∠APB=3x+10° ve küçük AB yayı 5x+10° olduğuna göre ∠APB kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
İki teğet arasındaki açı ile küçük yayın toplamı 180°’dir: (3x+10)+(5x+10)=180. 8x+20=180 ve x=20 bulunur. Böylece ∠APB=3·20+10=70°’dir.
Cevap: C
Örnek - 29
ABCD bir kirişler dörtgenidir. ∠BAD=3x+15°, ∠BCD=5x−11°, ∠ABD=34° ve ∠CBD=27° olduğuna göre ∠BAC kaç derecedir?
A) 48
B) 51
C) 54
D) 57
E) 60
Karşılıklı açılar bütünlerdir: (3x+15)+(5x−11)=180. 8x+4=180 ve x=22; dolayısıyla ∠BAD=81°’dir. ∠CAD ile ∠CBD aynı CD yayını gördüğünden ∠CAD=27° olur. ∠BAC=∠BAD−∠CAD=81−27=54° bulunur.
Cevap: C
Örnek - 30
A, B, C ve D noktaları için ∠BAC=∠BDC=44°’dir ve A ile D, BC doğrusunun aynı tarafındadır. Bu eşitlikten dört noktanın çembersel olduğu sonucuna varılıyor. ∠ABC=68° olduğuna göre ∠ADC kaç derecedir?
A) 104
B) 108
C) 110
D) 112
E) 116
∠BAC ve ∠BDC aynı BC doğru parçasını aynı taraftan eş açılarla gördüğünden A, B, C ve D aynı çember üzerindedir. Böylece ABCD kirişler dörtgeninde karşılıklı ∠ABC ve ∠ADC açıları bütünlerdir. ∠ADC=180−68=112° olur.
Cevap: D
İç ve dış açı sorularında açının köşesi ile gördüğü yayın doğru belirlenmesi, büyük–küçük yay ve toplam–fark seçimindeki işaret hatalarını önler.
