AYT dikdörtgen ve kare konu anlatımı kapsamında kenar ve açı özellikleri, köşegenler, simetri, alan bağıntıları, katlama ve koordinat uygulamaları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
DİKDÖRTGENİN TANIMI VE TEMEL BAĞINTILARI
KENARLAR, AÇILAR, ÇEVRE VE ALAN
İç açılarının her biri 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. ABCD dikdörtgeninde AB∥CD, AD∥BC, AB=CD ve AD=BC’dir. Uzun kenar a, kısa kenar b ise çevre 2(a+b), alan a·b olur. Dört dik açı bulunduğundan her köşede Pisagor ve dik üçgen bağıntıları kullanılabilir.
Örnek - 1
Bir dikdörtgenin çevresi 34, köşegen uzunluğu 13 birimdir. Dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 64
E) 72
Kenarlar a ve b olsun. a+b=17 ve a2+b2=169’dur. (a+b)2=a2+b2+2ab eşitliğinden 289=169+2ab, dolayısıyla ab=60 bulunur.
Örnek - 2
ABCD dikdörtgeninin içindeki P noktası için PA=5, PB=10 ve PC=13 birimdir. PD kaç birimdir?
A) √82
B) √88
C) √90
D) √94
E) 10
Dikdörtgende karşılıklı köşelere uzaklık kareleri toplamı eşittir: PA2+PC2=PB2+PD2. 25+169=100+PD2 olduğundan PD=√94’tür.
Cevap: D
Örnek - 3
Bir dikdörtgenin çevresi 46, köşegeni 17 birimdir. Alanı kaç birimkaredir?
A) 96
B) 108
C) 112
D) 120
E) 128
a+b=23 ve a2+b2=289’dur. 232=289+2ab eşitliği 2ab=240, dolayısıyla alan=ab=120 verir.
Cevap: D
KÖŞEGENLER VE AĞIRLIK MERKEZİ
Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar. AC ile BD, O noktasında kesişiyorsa AC=BD ve OA=OB=OC=OD olur. Bu nedenle O hem dörtgenin ağırlık merkezi hem de köşelerden geçen çemberin merkezidir. Köşegenler genel olarak dik veya açıortay değildir; bu iki ek özellik kareyi ayırt eder.
Örnek - 4
Köşegen uzunlukları 12 birim olan bir dikdörtgende köşegenler arasındaki dar açı 60°’dir. Dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 24√3
B) 30√3
C) 32√3
D) 36√3
E) 48√3
Bir dörtgenin alanı, köşegenler ve aralarındaki açıyla A=(d1·d2·sinθ)/2 biçiminde hesaplanır. A=12·12·sin60°/2=36√3’tür.
Cevap: D
Örnek - 5
ABCD dikdörtgeninin içindeki P noktası için PA=3, PB=5 ve PC=7 birimdir. PD kaç birimdir?
A) √29
B) √31
C) √33
D) √35
E) 6
PA2+PC2=PB2+PD2 olduğundan 9+49=25+PD2; buradan PD=√33 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 6
ABCD dikdörtgeninde AB=18, AD=8’dir. Köşegenlerin kesişim noktası O, AB üzerinde AE=5 olacak biçimde E noktası seçiliyor. EO kaç birimdir?
A) 2√5
B) 4√2
C) 3√5
D) 2√10
E) 6
O, kenarlara göre (9,4); E ise (5,0) konumundadır. Yatay ve düşey farklar 4’er birim olduğundan EO=√(42+42)=4√2’dir.
Cevap: B
Dikkat
Dikdörtgende köşegenlerin eş ve birbirini ortalayan olması zorunludur; fakat dik kesişmeleri veya köşe açılarını ortalamaları zorunlu değildir. Bu ek özelliklerden biri dikdörtgende sağlanıyorsa şekil karedir.
DİKDÖRTGENDE ALAN, DİKME VE DÖNÜŞÜM MODELLERİ
ALAN PARÇALAMA VE EŞ DİKMELER
Karşılıklı A ve C köşelerinden aynı BD köşegenine indirilen dikmeler eşittir; çünkü ABD ve CBD üçgenleri eş tabanlı ve eş alanlıdır. Bir iç noktanın köşelere birleştirilmesiyle oluşan karşılıklı üçgen alanlarının toplamları da eşittir. Bu iki fikir, uzunluk verilmeden alan bulmayı sağlar.
Örnek - 7
Alanı 48, çevresi 28 birim olan bir dikdörtgenin köşegeni kaç birimdir?
A) 8
B) 2√21
C) 10
D) 4√7
E) 12
a+b=14 ve ab=48’dir. d2=a2+b2=(a+b)2−2ab=196−96=100 olduğundan d=10’dur.
Cevap: C
Örnek - 8
ABCD dikdörtgeninde AB=14 ve AD=8’dir. E, BC’nin; F, CD’nin orta noktasıdır. AEF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 42
Koordinatlar A(0,0), E(14,4), F(7,8) alınabilir. Üçgen alanı |14·8−4·7|/2=|112−28|/2=42’dir.
Cevap: E
Örnek - 9
Bir dikdörtgenin çevresi 52, köşegeni 20 birimdir. Alanı kaç birimkaredir?
A) 128
B) 132
C) 136
D) 138
E) 144
a+b=26 ve a2+b2=400’dür. 262=400+2ab olduğundan ab=(676−400)/2=138 bulunur.
Cevap: D
KATLAMA, YANSIMA VE DÖNDÜRME
Katlama doğrusu, çakışan iki noktanın birleştirme parçasının orta dikmesidir. Bu nedenle kat izi üzerindeki her noktanın eski ve yeni konuma uzaklıkları eşittir. Döndürmede merkeze uzaklık korunur; bir köşe etrafındaki dönmede ilgili kenarlar aynı yarıçaplı çember yayları üzerinde hareket eder.
Örnek - 10
ABCD dikdörtgeninde AB=15 ve BC=10’dur. A köşesi, AB üzerindeki F noktasından geçen bir kat iziyle BC üzerindeki E noktasına katlanıyor. AF=10 olduğuna göre AE kaç birimdir?
A) 5√10
B) 10√2
C) 5√11
D) 10√3
E) 5√13
F kat izi üzerinde olduğundan FA=FE=10’dur. FB=5 ve FBE dik üçgeninde BE=√(102−52)=5√3 olur. ABE dik üçgeninde AE=√(152+(5√3)2)=10√3 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 11
Alanı 240, köşegeni 26 birim olan bir dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 56
B) 60
C) 64
D) 68
E) 72
a2+b2=676 ve ab=240’tır. (a+b)2=676+480=1156 olduğundan a+b=34, çevre=68 bulunur. Nitekim kenarlar 10 ve 24’tür.
Cevap: D
Örnek - 12
P noktası ABCD dikdörtgeninin dışındadır. PA=13, PB=15 ve PC=9 birim olduğuna göre PD kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Dört köşeye uzaklık kareleri bağıntısı dış nokta için de geçerlidir: PA2+PC2=PB2+PD2. 169+81=225+PD2 olduğundan PD=5’tir.
Cevap: C
Örnek - 13
AB=20 ve AD=12 olan ABCD dikdörtgeninde A’dan BD köşegenine indirilen dikmenin uzunluğu kaç birimdir?
A) 30/√34
B) 40/√34
C) 50/√34
D) 60/√34
E) 120/√34
BD=√(202+122)=4√34’tür. ABD üçgeninin alanı 20·12/2=120 olduğundan 120=(4√34·h)/2 ve h=60/√34 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 14
AB=12 ve AD=5 olan ABCD dikdörtgeninde C’den BD köşegenine indirilen dikmenin ayağı E’dir. CE kaç birimdir?
A) 48/13
B) 50/13
C) 60/13
D) 65/13
E) 72/13
BD=13’tür. BCD üçgeninin alanı 12·5/2=30 olduğundan 30=13·CE/2; buradan CE=60/13 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 15
Alanı 96 ve köşegeni 20 birim olan bir dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 2√145
B) 4√33
C) 4√35
D) 8√37
E) 8√10
a2+b2=400 ve ab=96’dır. (a+b)2=400+192=592=16·37 olduğundan a+b=4√37; çevre=2(a+b)=8√37 olur.
Cevap: D
KARENİN TANIMI, KÖŞEGENLERİ VE ALANI
DİKDÖRTGEN VE EŞKENAR DÖRTGENİN BİRLEŞİMİ
Bütün kenarları eş ve bütün iç açıları 90° olan dörtgene kare denir. Kare hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini taşır. Bu nedenle karşılıklı kenarlar paralel, tüm kenarlar eş, köşegenler eş, dik ve birbirini ortalayan yapıdadır.
Örnek - 16
ABCD karesinin DC kenarı üzerine, karenin içine doğru DCE eşkenar üçgeni kuruluyor. EAB açısı kaç derecedir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Karenin kenarı s olsun. E noktası yatayda s/2, düşeyde s−s√3/2 konumundadır. AE doğrusunun eğimi 2−√3=tan15° olduğundan EAB=15°’dir.
Cevap: C
Örnek - 17
Çevresi 48 birim olan bir karenin içteğet ve çevrel çember yarıçapları toplamı kaçtır?
A) 6+3√2
B) 6+6√2
C) 8+4√2
D) 12+3√2
E) 12+6√2
Kenar 12’dir. İçteğet çember yarıçapı 6, çevrel çember yarıçapı köşegenin yarısı olan 6√2’dir. Toplam 6+6√2 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 18
Kenar uzunluğu 12 olan ABCD karesinde E, BC’nin; F, CD’nin orta noktasıdır. AEF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 48
B) 50
C) 54
D) 60
E) 72
A(0,0), E(12,6), F(6,12) alınır. Alan=|12·12−6·6|/2=(144−36)/2=54’tür.
Cevap: C
45° AÇIORTAYLAR VE KÖŞEGEN BAĞINTISI
Karenin her köşegeni geçtiği iki köşedeki 90° açıyı 45°+45° olarak böler. Kenar a ise köşegen d=a√2, alan a2=d2/2 ve çevre 4a’dır. Köşegenlerin kesişiminden köşelere uzaklık a/√2’dir.
Örnek - 19
Kenar uzunluğu 10 olan bir karenin merkezi O, düzlemde bir P noktasıdır. PO=5 olduğuna göre PA2+PB2+PC2+PD2 kaçtır?
A) 200
B) 225
C) 250
D) 300
E) 400
Merkezi O olan karede dört köşeye uzaklık kareleri toplamı 4PO2+2a2’dir. 4·25+2·100=300 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 20
Kenar uzunluğu 10 olan ABCD karesinde E, BC üzerinde ve BE=4; F, CD üzerinde ve CF=3’tür. AEF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 40
A(0,0), E(10,4), F(7,10) seçilir. Alan=|10·10−4·7|/2=(100−28)/2=36’dır.
Cevap: D
Örnek - 21
Alanı 512 birimkare olan bir karenin kenar orta noktaları birleştirilerek yeni kare, aynı işlem toplam dört kez uygulanarak dördüncü kare oluşturuluyor. Dördüncü karenin alanı kaçtır?
A) 16
B) 24
C) 32
D) 48
E) 64
Kenar orta noktalarının oluşturduğu karenin alanı bir öncekinin yarısıdır. Dört uygulama sonunda alan 512·(1/2)4=32 olur.
Cevap: C
Örnek - 22
Kenar uzunluğu 14 olan ABCD karesinin içindeki P noktası için PA=5, PB=√137 ve PC=√221’dir. PD kaç birimdir?
A) √101
B) √105
C) √109
D) √113
E) √117
Kare de bir dikdörtgendir. PA2+PC2=PB2+PD2 bağıntısından 25+221=137+PD2; PD=√109 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 23
Bir karenin alanı, çevresinden 32 fazladır. Kenar uzunluğu 4’ten büyük olduğuna göre köşegeni kaç birimdir?
A) 6√2
B) 8√2
C) 10√2
D) 12√2
E) 16
a2−4a=32, yani (a−8)(a+4)=0’dır. a>4 olduğundan a=8 ve köşegen=8√2 bulunur.
Cevap: B
KAREDE BİLEŞİK ŞEKİLLER VE İLERİ AYT MODELLERİ
İÇ İÇE KARELER VE ALAN ORANLARI
Kare kenarları üzerindeki eş oranlı noktalar birleştirildiğinde dönük bir iç kare oluşabilir. İç karenin bir kenarı, yatay ve düşey farkların oluşturduğu dik üçgenle bulunur. Yinelemeli yapılarda her adımın alan çarpanı belirlenip geometrik dizi gibi uygulanır.
Örnek - 24
Kenar uzunluğu 18 olan bir karenin her kenarı üç eş parçaya ayrılıyor. Her kenarda bir köşeye 6 birim uzaklıktaki noktalar aynı yön izlenerek birleştiriliyor. Oluşan iç karenin alanının dış karenin alanına oranı kaçtır?
A) 4/9
B) 1/2
C) 5/9
D) 2/3
E) 7/9
İç karenin bir kenarı, dik kenarları 6 ve 12 olan üçgenin hipotenüsüdür: 6√5. İç alan 180, dış alan 324 olduğundan oran 180/324=5/9’dur.
Cevap: C
DİKLİK, KATLAMA VE KENAR NOKTALARI
Örnek - 25
Kenar uzunluğu 10 olan ABCD karesinde E, BC üzerinde ve BE=4’tür. E’den AE’ye dik çizilen doğru CD’yi F’de kesiyor. CF kaç birimdir?
A) 2
B) 12/5
C) 5/2
D) 14/5
E) 3
A(0,0), E(10,4) olsun. AE’nin eğimi 2/5, ona dik doğrunun eğimi −5/2’dir. y=10 için 10−4=(−5/2)(x−10) eşitliğinden x=38/5 olur. C(10,10) olduğundan CF=10−38/5=12/5’tir.
Cevap: B
Örnek - 26
Kenar uzunluğu 12 olan ABCD karesinde A köşesi, BC üzerinde EC=3 olacak biçimde E noktasına katlanıyor. Kat izi AB’yi F’de kestiğine göre BF kaç birimdir?
A) 2
B) 9/4
C) 5/2
D) 21/8
E) 3
E, B’den 9 birim yukarıdadır. F kat izi üzerinde olduğundan FA=FE’dir. AF=x ise x2=(12−x)2+92; 24x=225 ve x=75/8 bulunur. BF=12−75/8=21/8’dir.
Cevap: D
Örnek - 27
Kenar uzunluğu 12 olan ABCD karesinde P, AC köşegeni üzerinde ve AP=4√2’dir. P’den kare kenarlarına paralel doğrular çizildiğinde A ve C köşelerinde iki kare oluşuyor. Bu iki karenin alanları toplamı kaçtır?
A) 64
B) 72
C) 80
D) 88
E) 96
AP=4√2 olduğundan P’nin A’ya yatay ve düşey uzaklıkları 4’tür. A köşesindeki kare 42=16, C köşesindeki kare (12−4)2=64 alana sahiptir. Toplam 80’dir.
Cevap: C
DÖNDÜRME, ÖRTÜŞME VE YİNELEME
Örnek - 28
Kenar uzunluğu 10 olan ABCD karesinin DC kenarı üzerine, karenin dışına doğru DCE eşkenar üçgeni kuruluyor. AE kaç birimdir?
A) 5(√3+1)
B) 5(√6+√2)
C) 10√3
D) 5√10
E) 10+5√3
E, karenin üst kenarının orta noktasından 5√3 birim yukarıdadır. A’ya yatay uzaklık 5, düşey uzaklık 10+5√3’tür. AE2=25+(10+5√3)2=200+100√3=25(8+4√3). Bu ifade [5(√6+√2)]2 olduğundan AE=5(√6+√2)’dir.
Cevap: B
Örnek - 29
Kenar uzunlukları 10 olan iki eş kare, merkezleri çakışacak ve aralarındaki dönme açısı 45° olacak biçimde üst üste getiriliyor. Ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 100(√2−1)
B) 150−50√2
C) 100√2−50
D) 200(√2−1)
E) 50√2
Dönük karenin her kenarı, sabit karenin bir köşesinden dik ikizkenar üçgen keser. Bu üçgenlerin dik kenarı 10 − 5√2’dir. Ortak alan = 100 − 4 · (10 − 5√2)2 / 2 = 100 − 2(150 − 100√2) = 200(√2 − 1)’dir.
Cevap: D
Örnek - 30
Alanı 324 birimkare olan bir karede, her kenarın 1/3 noktasını aynı yönde izleyerek birleştirme işlemiyle dönük bir iç kare oluşturuluyor. Aynı işlem iç kareye bir kez daha uygulanıyor. İkinci iç karenin alanı kaç birimkaredir?
A) 80
B) 90
C) 96
D) 100
E) 108
Bu inşada her adımın alan oranı 5/9’dur. İki adım sonunda alan 324·(5/9)2=324·25/81=100 olur.
Cevap: D
DİKDÖRTGEN Mİ, KARE Mİ?
KAREYİ BELİRLEYEN EK KOŞULLAR
Bir dikdörtgenin kare olması için komşu kenarlarının eş olması yeterlidir. Dikdörtgende köşegenlerin dik kesişmesi veya bir köşe açısını ortalaması da şekli kareye dönüştüren eş değer ek koşullardır.
Dikkat
Şeklin kare gibi çizilmesi, kenarların eş olduğunu kanıtlamaz. Dikdörtgende eş köşegen bilgisi zaten vardır; kare sonucuna ulaşmak için komşu kenar eşliği, dik köşegen veya köşegenin açıortay olması gibi ek bir koşul gerekir.
