AYT eşkenar dörtgen ve deltoid konu anlatımı kapsamında eş kenarlar, açı ve simetri özellikleri, dik köşegenler, köşegen uzunlukları ve alan bağıntıları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
EŞKENAR DÖRTGENİN TANIMI VE AYIRT EDİCİ ÖZELLİKLERİ
KENARLAR, AÇILAR VE PARALELKENAR İLİŞKİSİ
Dört kenarı birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. ABCD eşkenar dörtgeninde AB=BC=CD=DA; AB∥CD ve AD∥BC olur. Karşılıklı açılar eş, komşu açılar bütünlerdir. Çevre bir kenarın dört katıdır.
Örnek - 1
ABCD eşkenar dörtgeninde ∠A=4x+12° ve ∠B=2x+48° olduğuna göre C açısı kaç derecedir?
A) 88
B) 90
C) 92
D) 94
E) 96
Komşu açılar bütünlerdir: 4x+12+2x+48=180 eşitliğinden x=20 bulunur. ∠A=92° ve karşılıklı açılar eş olduğundan ∠C=92° olur.
EŞKENAR DÖRTGEN OLMA KOŞULLARI
Bir paralelkenarın komşu iki kenarı eşse, köşegenleri dikse veya bir köşegeni bir iç açıyı iki eş parçaya bölüyorsa şekil eşkenar dörtgendir. Ancak yalnız köşegenlerin dik olması, genel bir dörtgende tek başına yeterli değildir; deltoid de dik köşegenli olabilir.
Örnek - 2
ABCD eşkenar dörtgeninin bir kenarı 10, AC köşegeni 12 birimdir. Paralelkenarın çevresi ile BD köşegeninin uzunlukları toplamı kaçtır?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 56
E) 60
Köşegenler dik kesişip birbirini ortalar. Yarım köşegenlerle kurulan dik üçgende 62+(BD/2)2=102 olur; BD/2=8 ve BD=16 bulunur. Çevre 40 olduğundan toplam 56’dır.
Cevap: D
Örnek - 3
I. Bir paralelkenarın köşegenleri diktir. II. Bir dörtgenin köşegenleri diktir. III. Bir paralelkenarın bir köşegeni, bir iç açıyı ortalar. Bu bilgilerden hangileri şeklin eşkenar dörtgen olduğunu tek başına kanıtlar?
A) Yalnız I
B) I ve III
C) II ve III
D) Yalnız III
E) I, II ve III
I, paralelkenara eklenen dik köşegen koşuludur ve eşkenar dörtgeni verir. III de komşu kenar eşliğini doğurur. II ise deltoid gibi başka dörtgenlerde de sağlanabildiğinden yeterli değildir.
Cevap: B
KOORDİNAT VE VEKTÖR YORUMU
Koordinat düzleminde önce paralelkenar koşulu C=B+D−A ile tamamlanır. Sonra komşu kenar vektörlerinin uzunlukları karşılaştırılır. Eşitlik sağlanıyorsa dörtgen eşkenar dörtgendir; vektörlerin dik olması ayrıca kareye götüren daha güçlü bir koşuldur.
Örnek - 4
Koordinat düzleminde A(1,2), B(7,5) ve D(4,8) noktaları ABCD eşkenar dörtgeninin ardışık üç köşesidir. C noktasının koordinatları (m,n) olduğuna göre m+n kaçtır?
A) 15
B) 17
C) 18
D) 20
E) 21
Paralelkenarda C=B+D−A’dır. C=(7,5)+(4,8)−(1,2)=(10,11) ve m+n=21 bulunur. Ayrıca AB=(6,3), AD=(3,6) olduğundan iki komşu kenarın uzunlukları eşittir.
Cevap: E
KÖŞEGENLERİN AÇIORTAY ROLÜ
Eşkenar dörtgenin her köşegeni, geçtiği iki köşedeki iç açıları ortalar. Örneğin AC köşegeni A ve C açılarını; BD köşegeni B ve D açılarını iki eş parçaya ayırır. Bu özellik, 30°–60°–90° ve ikizkenar üçgen bağlarını sıkça ortaya çıkarır.
Örnek - 5
ABCD eşkenar dörtgeninde ∠A=120° ve AC köşegendir. BAC açısı kaç derecedir?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
AC köşegeni A açısını ortalar. Bu nedenle BAC=120°/2=60°’dir.
Cevap: A
EŞKENAR DÖRTGENDE KÖŞEGENLER VE UZUNLUK
DİK KESİŞME, ORTA NOKTA VE AÇIORTAY
AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişiyorsa AC⊥BD, AO=OC ve BO=OD olur. Böylece eşkenar dörtgen, hipotenüsü kenar olan dört eş dik üçgene ayrılır. Köşegenlerin eş olması zorunlu değildir; eş olmaları durumunda şekil aynı zamanda karedir.
Örnek - 6
Bir eşkenar dörtgenin bir kenarı 13, köşegenlerinden biri 10 birimdir. İki köşegenin uzunlukları toplamı kaçtır?
A) 30
B) 31
C) 32
D) 34
E) 36
Yarım köşegen, kenarı hipotenüs olan dik üçgen kurar. 52+(d/2)2=132 eşitliğinden d/2=12 ve d=24 bulunur. Toplam 10+24=34’tür.
Cevap: D
Örnek - 7
Köşegen uzunlukları 16 ve 30 birim olan bir eşkenar dörtgenin çevresi kaçtır?
A) 68
B) 64
C) 60
D) 56
E) 52
Yarım köşegenler 8 ve 15’tir. Kenar √(82+152)=17 olduğundan çevre 4·17=68 birimdir.
Cevap: A
KENAR–KÖŞEGEN BAĞINTISI
Kenar uzunluğu a, köşegenler e ve f ise yarım köşegen dik üçgeninden e2+f2=4a2 elde edilir. Bu, paralelkenar kanununun eşkenar dörtgene özel biçimidir.
Örnek - 8
Bir kenarı 10 ve dar açısı 60° olan eşkenar dörtgende köşegenler O’da kesişiyor. AO2+BO2 kaçtır?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
Uzun köşegen 10√3, kısa köşegen 10’dur. AO=5√3 ve BO=5 olduğundan AO2+BO2=75+25=100 bulunur. Aynı sonuç, yarım köşegen dik üçgeninde AB2=AO2+BO2 eşitliğinden de doğrudan gelir.
Cevap: C
Örnek - 9
ABCD eşkenar dörtgeninde AB=15, AC=18 ve köşegenlerin kesişim noktası O’dur. AOB üçgeninin çevresi kaçtır?
A) 33
B) 36
C) 39
D) 42
E) 45
AO=9’dur. AOB dik üçgeninde BO=√(152−92)=12 bulunur. Üçgenin çevresi 9+12+15=36’dır.
Cevap: B
KÖŞEGEN ORANI VE ÖLÇEKLEME
Köşegen oranı sabit olduğunda bütün eşkenar dörtgenler benzerdir. e:f oranı, yarım köşegen dik üçgeninin dik kenar oranıdır; ölçek değişse bile açı yapısı ve alanın kenar karesine oranı değişmez.
Örnek - 10
Bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları 1:2 oranındadır. Alanı 80 birimkare olduğuna göre çevresi kaç birimdir?
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
Köşegenler t ve 2t olsun. Alan=t·2t/2=t2=80’dir. Kenar bağıntısından 4a2=t2+4t2=5t2=400, dolayısıyla a=10 ve çevre 40 bulunur.
Cevap: E
Dikkat
Eşkenar dörtgende iki köşegen de birbirini ortalar ve iki köşegen de açıortaydır. Deltoidde ise genel olarak yalnız simetri köşegeni diğer köşegeni ortalar ve yalnız simetri eksenindeki iki tepe açısını ortalar. “Köşegenler dik” bilgisi bu iki şekli tek başına ayırmaz.
EŞKENAR DÖRTGENDE ALAN VE MODELLEME
TABAN–YÜKSEKLİK VE SİNÜS BAĞINTISI
Kenar a, bu kenara ait yükseklik h ve iç açı α ise alan a·h=a2·sinα olur. Karşılıklı kenarlara ait yükseklikler eşittir; bir kenar seçildiğinde alanın değişmemesi, yüksekliğin de aynı tabana göre ölçülmesini gerektirir.
Örnek - 11
Bir eşkenar dörtgenin bir kenarı 12, bu kenara ait yüksekliği 9 birimdir. Köşegen uzunlukları çarpımının kenar uzunluğuna oranı kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
Alan=12·9=108’dir. Dik köşegenli dörtgende alan=e·f/2 olduğundan e·f=216 olur. İstenen oran 216/12=18’dir.
Cevap: C
KÖŞEGENLERLE ALAN
Köşegenler dik olduğundan alan, köşegen uzunlukları çarpımının yarısıdır: Alan=e·f/2. Bu bağıntı hem eşkenar dörtgende hem deltoidde geçerlidir; fakat eşkenar dörtgende iki köşegen birbirini de ortalar.
Örnek - 12
Köşegenleri 14 ve 48 birim olan eşkenar dörtgenin alanı ile çevresi arasındaki fark kaçtır?
A) 216
B) 224
C) 228
D) 236
E) 240
Alan=14·48/2=336’dır. Yarım köşegenler 7 ve 24 olduğundan kenar 25, çevre 100’dür. Fark 336−100=236 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 13
A(−6,0), B(0,8), C(6,0) ve D(0,−8) noktaları bir eşkenar dörtgenin köşeleridir. Dörtgenin alanı ile çevresinin toplamı kaçtır?
A) 128
B) 136
C) 144
D) 152
E) 160
Köşegen uzunlukları AC=12 ve BD=16 olduğundan alan 12·16/2=96’dır. Kenar √(62+82)=10, çevre 40’tır. Toplam 136 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 14
Bir eşkenar dörtgenin kenarı 13, köşegenlerinden biri 10 birimdir. Bu kenara ait yükseklik kaç birimdir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 120/13
Diğer köşegen 24’tür. Alan=10·24/2=120 olduğundan yükseklik=alan/kenar=120/13 bulunur.
Cevap: E
KESME, ÖRTÜŞME VE DÖŞEME
Eşkenar dörtgenler kesildiğinde veya örtüştürüldüğünde alan korunumu ile birleşim–kesişim ilkesi birlikte kullanılır. Birleşim alanında ortak bölgeler yalnız bir kez sayılır; döşemede ise aynı doğrultudaki küçük kenarlar toplanır.
Örnek - 15
Alanları 72’şer birimkare olan üç eş eşkenar dörtgen yatay diziliyor. Birinci ile ikinci ve ikinci ile üçüncü şeklin ortak alanı 18’er birimkaredir; birinci ile üçüncü kesişmemekte ve üçlü ortak bölge bulunmamaktadır. Birleşimin alanı kaçtır?
A) 180
B) 186
C) 198
D) 204
E) 216
Üç alanın toplamı 3·72=216’dır. İki ayrı ortak bölge birer kez çıkarılır: 216−18−18=180.
Cevap: A
DELTOİDİN TANIMI VE SİMETRİ YAPISI
KOMŞU EŞ KENAR ÇİFTLERİ VE AÇILAR
İkişer ikişer eş olan iki komşu kenar çifti taşıyan dörtgene deltoid denir. ABCD deltoidinde AB=AD ve CB=CD seçildiğinde AC simetri köşegenidir. Eş olmayan kenarların birleştiği B ve D köşelerinin açıları eşittir.
Örnek - 16
AB=AD ve CB=CD olan ABCD deltoidinde ∠A=80° ve ∠C=40°’dir. D açısı kaç derecedir?
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
B ve D açıları eşittir. İç açı toplamından ∠B+∠D=360−80−40=240 ve ∠D=120° bulunur.
Cevap: C
SİMETRİ KÖŞEGENİ VE DİK ÜÇGENLER
AC simetri köşegeni BD’yi dik keser ve ortalar. AC aynı zamanda A ve C tepe açılarını ortalar. Ancak BD’nin AC’yi ortalaması gerekmez; bu asimetri, deltoidi eşkenar dörtgenden ayıran temel noktadır.
Örnek - 17
AB=AD=13, CB=CD=15 ve BD=24 olan ABCD deltoidinin alanı ile çevresinin toplamı kaçtır?
A) 196
B) 208
C) 216
D) 224
E) 232
BD’nin yarısı 12’dir. Üst dik üçgende AO=√(132−122)=5, altta CO=√(152−122)=9; AC=14 olur. Alan=14·24/2=168, çevre=2(13+15)=56 ve toplam 224’tür.
Cevap: D
İÇBÜKEY DELTOİD
Deltoidin bir tepe açısı 180°’den büyükse şekil içbükeydir. Simetri ve eş kenar çiftleri korunur; dörtgenin iç açıları toplamı yine 360°’dir. Refleks açı kullanılırken küçük dış açıyla karıştırılmamalıdır.
Örnek - 18
AB=AD ve CB=CD olan içbükey ABCD deltoidinde ∠A=40°, ∠C=220°’dir. B açısı kaç derecedir?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
∠B=∠D olduğundan 40+220+2B=360 eşitliği yazılır. 2B=100 ve ∠B=50° bulunur.
Cevap: B
DELTOİDİ TANIMA KOŞULLARI
Deltoid için iki komşu eş kenar çifti tanımsal koşuldur. Bundan simetri köşegeni, dik köşegenler ve bir çift eş karşı açı elde edilir. Köşegenlerin ikisinin de birbirini ortalaması ise genel deltoidde doğru değildir.
Örnek - 19
AB=AD ve CB=CD olan bir deltoid için I. iki komşu eş kenar çifti vardır, II. köşegenler diktir, III. iki köşegen de birbirini ortalar ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) I ve II
B) Yalnız II
C) II ve III
D) I ve III
E) I, II ve III
I tanımdır. Simetri köşegeni diğer köşegeni dik ortaladığı için II de doğrudur. Genel deltoidde yalnız bir köşegen diğerini ortalar; III zorunlu değildir.
Cevap: A
KOORDİNAT DÜZLEMİNDE DELTOİD
Simetri ekseni bir koordinat ekseni üzerine yerleştirildiğinde diğer iki köşe bu eksene göre yansıktır. Köşegenlerden biri eksen üzerinde, diğeri ona dik olur. Alan yine köşegen çarpımının yarısıyla bulunur.
Örnek - 20
A(0,6), B(3,0), C(0,−4) ve D(−3,0) noktaları ABCD deltoidini oluşturuyor. Deltoidin alanı ile BD köşegeninin uzunlukları toplamı kaçtır?
A) 30
B) 32
C) 33
D) 34
E) 36
AC=10 ve BD=6’dır. Alan=10·6/2=30 olduğundan istenen toplam 30+6=36’dır.
Cevap: E
DELTOİDDE UZUNLUK VE ALAN
DİK ÜÇGENLERE AYIRMA
Simetri köşegeni AC ile diğer köşegen BD, O’da dik kesişir. BO=OD olduğundan AB ve AD aynı dik üçgen çiftinden, CB ve CD başka bir dik üçgen çiftinden hesaplanır. AO ile CO’nun eş olması gerekmez.
Örnek - 21
Bir deltoidde AO=5, CO=12 ve BO=DO=9’dur. Deltoidin farklı iki kenar uzunluğunun kareleri toplamı kaçtır?
A) 315
B) 320
C) 331
D) 340
E) 350
AB2=52+92=106; CB2=122+92=225’tir. Toplam 331 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 22
AB=AD=10, CB=CD=17 ve BD=16 olan ABCD deltoidinde 2AC+BD kaçtır?
Deltoidin köşegenleri dik olduğundan Alan=AC·BD/2 bağıntısı geçerlidir. Koordinat düzleminde bu bağıntı doğrudan kullanılabildiği gibi, determinant veya iki üçgenin alanları toplamıyla da doğrulanabilir.
Örnek - 23
Alanı 36 birimkare ve BD köşegeni 8 birim olan bir deltoidde 3AC+BD kaçtır?
A) 31
B) 32
C) 33
D) 35
E) 36
36=AC·8/2 eşitliğinden AC=9’dur. 3AC+BD=27+8=35 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 24
A(0,10), B(8,0), C(0,−6) ve D(−8,0) noktaları bir deltoidin köşeleridir. Farklı iki kenar uzunluğunun kareleri toplamı kaçtır?
A) 248
B) 264
C) 280
D) 296
E) 312
AB2=82+102=164, CB2=82+62=100’dür. Toplam 264 bulunur.
Cevap: B
ORTA NOKTA DÖRTGENİ
Her dörtgende kenar orta noktalarını birleştiren EFGH dörtgeni bir paralelkenardır ve alanı ana dörtgenin yarısıdır. Deltoidde bu paralelkenarın kenarları köşegenlere paraleldir; köşegenler dik olduğundan EFGH bir dikdörtgendir.
Örnek - 25
Alanı 150 birimkare olan ABCD deltoidinin kenar orta noktaları E, F, G ve H’dir. ABCD ile EFGH’nin alanları toplamı kaçtır?
A) 180
B) 195
C) 210
D) 220
E) 225
Orta nokta paralelkenarının alanı ana dörtgenin yarısıdır: 75. Toplam 150+75=225’tir.
Cevap: E
AYT DÜZEYİ KARŞILAŞTIRMA, KATLAMA VE BİRLEŞİK MODELLER
EŞKENAR DÖRTGEN–DELTOİD AYRIMI VE KATLAMA
Eşkenar dörtgen, dört kenarı eş olan özel bir deltoid gibi düşünülebilir; fakat soruda kullanılan özelliklerin yönü önemlidir. İki köşegenin birbirini ortalaması eşkenar dörtgene, yalnız simetri köşegeninin diğerini ortalaması genel deltoide işaret eder.
ÖRTÜŞEN EŞKENAR DÖRTGENLER
İki şeklin birleşim alanı, alanlar toplamından ortak alanın çıkarılmasıyla bulunur. Oran sorularında önce hangi bölgenin kaç kez sayıldığı belirlenir; çizimdeki göreli büyüklük kesin ölçek olarak kullanılmaz.
Örnek - 27
Alanları 84’er birimkare olan iki eş eşkenar dörtgenin ortak bölgesi 21 birimkaredir. Birleşim alanının ortak alanına oranı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Birleşim alanı 84+84−21=147’dir. 147/21=7 bulunur.
Cevap: B
BİRLEŞİK DELTOİD HESABI
Deltoidde çevre ve alan aynı köşegen verilerinden üretilebilir. Önce yarım köşegenlerle kenarlar, ardından tam köşegenlerle alan bulunur; iki sonuç birlikte istendiğinde parça–tam ayrımı korunmalıdır.
Örnek - 28
Bir deltoidde AO=5, CO=9 ve BO=DO=12’dir. Deltoidin alanı ile çevresinin toplamı kaçtır?
A) 196
B) 208
C) 216
D) 224
E) 232
AC=14 ve BD=24 olduğundan alan 14·24/2=168’dir. Üst kenarlar √(52+122)=13, alt kenarlar √(92+122)=15; çevre 56’dır. Toplam 224’tür.
Cevap: D
VEKTÖR VE ALAN MODELİ
Bir eşkenar dörtgende komşu kenar vektörlerinin uzunlukları eşittir. Alan, bu iki vektörün determinantının mutlak değeridir; köşegenler ise vektörlerin toplamı ve farkıdır. Böylece koordinat, alan ve köşegen bağıntıları aynı modelde birleşir.
Örnek - 29
A(0,0), B(6,2), D(2,6) ve C(8,8) noktaları bir eşkenar dörtgen oluşturuyor. Alan ile iki köşegen uzunluğunun kareleri toplamı kaçtır?
A) 176
B) 184
C) 192
D) 200
E) 208
AB=(6,2), AD=(2,6) ve uzunlukları eşittir. Alan=|6·6−2·2|=32’dir. AC=(8,8) olduğundan AC2=128; BD=(−4,4) olduğundan BD2=32’dir. Toplam 32+128+32=192 bulunur.
Cevap: C
ÇOK PARÇALI DÖŞEME
Özdeş eşkenar dörtgenler aynı doğrultuda yan yana getirildiğinde büyük şeklin kenarları, küçük kenarların o yöndeki adetle çarpımıdır. İç çizgiler çevreye katılmaz; yalnız dış sınır sayılır.
Örnek - 30
Bir kenarı 5 birim olan altı özdeş eşkenar dörtgen, iki satır ve üç sütun halinde büyük bir paralelkenar oluşturuyor. Büyük paralelkenarın çevresi kaç birimdir?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 48
E) 50
Büyük paralelkenarın yatay doğrultudaki kenarı 3·5=15, diğer kenarı 2·5=10’dur. Çevre 2(15+10)=50 birimdir.
Cevap: E
Eşkenar dörtgende iki köşegen dik kesişip birbirini ortalar; deltoidde ise yalnız simetri köşegeni diğer köşegeni dik ortalar. Uzunluk ve alan bağıntıları bu ayrım üzerinden kurulmalıdır.
