AYT doğrunun analitik incelenmesi konu anlatımı kapsamında eğim, doğru denklemleri, iki doğrunun birbirine göre durumu, doğrular arasındaki açı, uzaklık, doğrusal eşitsizlikler ve grafiklerle doğrusal model kurma işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
EĞİM AÇISI VE DOĞRUNUN EĞİMİ
EĞİM AÇISI
Bir doğrunun pozitif yönlü x ekseniyle saat yönünün tersine yaptığı ve 0°≤α<180° aralığında alınan açıya eğim açısı denir. Doğrunun eğimi m=tanα bağıntısıyla bulunur. Sağa doğru yükselen doğruların eğimi pozitif, sağa doğru alçalan doğruların eğimi negatiftir. Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi ise tanımsızdır.
EĞİMİ BULMA VE YORUMLAMA
A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi, düşey değişimin yatay değişime oranıdır: m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Pay ve paydadaki çıkarma sırası birlikte değiştirilebilir. x₁=x₂ olduğunda payda sıfır olur ve doğru düşeydir.
Örnek - 1
A(−4, 1) ve B(2, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 1/2
D) 1
E) 2
m=(7−1)/(2−(−4))=6/6=1 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 2
Pozitif yönlü x ekseniyle 150° açı yapan bir doğrunun eğimi kaçtır?
A(−2, 5), B(4, −1) ve C(t, 2) noktaları doğrusal olduğuna göre t kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
AB doğrusunun eğimi −1’dir ve denklemi y=−x+3 olur. C(t,2) için 2=−t+3 olduğundan t=1’dir.
Cevap: C
Dikkat
Eğim açısı negatif alınmaz. Eğimi negatif olan bir doğrunun eğim açısı 90° ile 180° arasındadır.
DOĞRU DENKLEMİ YAZMA BİÇİMLERİ
EĞİM-KESİM VE NOKTA-EĞİM BİÇİMİ
Eğimi m, y eksenini kestiği ordinat n olan doğrunun denklemi y=mx+n biçimindedir. Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen doğru için y−y₁=m(x−x₁) yazılır. Genel denklem ax+by+c=0 biçimindeyse b≠0 için eğim m=−a/b olur.
İKİ NOKTA VE EKSENLERİ KESME BİÇİMİ
İki farklı noktası bilinen doğrunun önce eğimi bulunabilir; ardından nokta-eğim biçimi kullanılabilir. Doğru x eksenini (a, 0), y eksenini (0, b) noktalarında kesiyor ve a ≠ 0, b ≠ 0 ise denklemi x/a+y/b=1 biçiminde yazılır.
DOĞRU DENKLEMLERİ VE ÖZEL DOĞRULAR
x eksenine paralel doğrular y=k, y eksenine paralel doğrular x=a biçimindedir. Orijinden geçen doğrularda sabit terim yoktur. Birinci ve üçüncü bölge açıortayı y=x, ikinci ve dördüncü bölge açıortayı y=−x doğrusudur.
Örnek - 6
A(2, −3) noktasından geçen ve eğimi −4 olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) −5
B) −1
C) 3
D) 5
E) 11
y+3=−4(x−2) yazılır. y=−4x+5 olduğundan y eksenini (0,5) noktasında keser.
Cevap: D
Örnek - 7
A(−1, 4) ve B(3, −2) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x−2y+5=0
B) 3x+2y−5=0
C) 2x+3y−10=0
D) 2x−3y+14=0
E) x+2y−7=0
Eğim (−2−4)/(3+1)=−3/2’dir. y−4=−3(x+1)/2 eşitliği düzenlenirse 3x+2y−5=0 elde edilir.
Cevap: B
Örnek - 8
x eksenini 6, y eksenini −3 noktasında kesen doğrunun denklemi hangisidir?
A) x+2y=6
B) x−2y=6
C) 2x−y=12
D) x−3y=6
E) 3x−2y=18
Kesim noktaları formunda x/6+y/(−3)=1 yazılır. Paydalar kaldırıldığında x−2y=6 olur.
Cevap: B
Örnek - 9
P(−7, 5) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan doğrunun denklemi hangisidir?
A) x=−7
B) x=5
C) y=−7
D) y=5
E) y=x+12
x eksenine paralel doğrularda ordinat sabittir. P’nin ordinatı 5 olduğundan doğru y=5’tir.
Cevap: D
DİK DOĞRULARIN EĞİMLERİ
Düşey olmayan iki doğrunun doğrultu açıları α₁ ve α₂, eğimleri m₁=tanα₁ ve m₂=tanα₂ olsun. Doğrular dik olduğunda cos(α₂−α₁)=0 olur. cos(α₂−α₁)=cosα₁cosα₂+sinα₁sinα₂=cosα₁cosα₂(1+m₁m₂) eşitliğinde cosα₁ ve cosα₂ sıfır olmadığı için 1+m₁m₂=0, yani m₁·m₂=−1 bulunur. Bu kural yalnız iki eğimin de tanımlı olduğu doğrular için geçerlidir; yatay ve düşey doğrular ayrıca birbirine diktir. Örnek 10’da verilen doğrunun eğimi 2 olduğundan, ona dik doğrunun eğimi −1/2’dir.
Örnek - 10
y=2x−1 doğrusuna dik olup P(4, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi hangisidir?
A) x+2y−10=0
B) 2x+y−11=0
C) x−2y+2=0
D) 2x−y−5=0
E) x+2y+10=0
Dik doğrunun eğimi −1/2’dir. y−3=−(x−4)/2 eşitliği x+2y−10=0 biçimine gelir.
Cevap: A
Örnek - 11
(a−2)x+(a+1)y+3=0 doğrusu y eksenine paralel olduğuna göre a kaçtır?
A) −3
B) −2
C) −1
D) 1
E) 2
y eksenine paralel bir doğru düşeydir; y’nin katsayısı sıfır olmalıdır. a+1=0 olduğundan a=−1 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 12
Orijinden ve P(6, −9) noktasından geçen doğru x=4 doğrusu ile Q noktasında kesişiyor. Q’nun ordinatı kaçtır?
A) −8
B) −7
C) −6
D) −5
E) −4
OP doğrusunun eğimi −9/6=−3/2 ve denklemi y=−3x/2’dir. x=4 için y=−6 olur.
Cevap: C
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU
PARALELLİK VE ÇAKIŞMA
Eğimleri tanımlı iki doğru paralelse m₁=m₂ olur. Genel denklemlerde katsayı oranları aynı ve sabit terim oranı da bunlara eşitse doğrular çakışıktır. Yalnız x ve y katsayılarının oranları aynıysa doğrular farklı paralel doğrulardır.
PARALELLİK, DİKLİK, ÇAKIŞMA VE KESİŞİM
İki doğrunun kesişim noktası denklemlerinin ortak çözümüdür. Düşey olmayan doğruların doğrultu açıları α₁ ve α₂, eğimleri m₁=tanα₁ ve m₂=tanα₂ olsun. Aralarındaki küçük açı θ için, doğrular dik değilse tanθ=|tan(α₂−α₁)| olur. Tanjant farkı özdeşliği tan(α₂−α₁)=(tanα₂−tanα₁)/(1+tanα₁tanα₂) olduğundan, tanθ=|(m₂−m₁)/(1+m₁m₂)|
bağıntısı elde edilir. 1+m₁m₂=0 ise doğrular diktir ve θ=90° olduğundan tanθ bağıntısı kullanılmaz. Doğrulardan biri düşeyse eğim formülü uygulanmaz; diğer doğrunun 0°≤α<180° aralığındaki doğrultu açısı biliniyorsa düşeyle arasındaki küçük açı |90°−α| olur.
Örnek - 13
3x−2y+5=0 ve (k+1)x−4y−7=0 doğruları paralel olduğuna göre k kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
İlk doğrunun eğimi 3/2, ikinci doğrunun eğimi (k+1)/4’tür. Eğimler eşitlenirse k+1=6 ve k=5 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 14
2x+3y−4=0 ve kx−6y+1=0 doğruları birbirine dik olduğuna göre k kaçtır?
A) −9
B) −6
C) 3
D) 6
E) 9
Eğimler −2/3 ve k/6’dır. Çarpımları −1 olduğundan (−2/3)(k/6)=−1 ve k=9 olur.
Cevap: E
Örnek - 15
(a+1)x−2y+3=0 doğrusu 4x−4y+6=0 doğrusu ile çakıştığına göre a kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
İkinci denklem 2’ye bölünürse 2x−2y+3=0 olur. Katsayılar eşleştiğinden a+1=2 ve a=1’dir.
Cevap: C
Örnek - 16
2x+y=7 ve x−2y=−4 doğrularının kesişim noktası K olduğuna göre K’nın koordinatları toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Denklemlerden y=7−2x yazılır. Bu ifade ikinci denklemde yerine konursa x−2(7−2x)=−4, yani 5x−14=−4 olur. Buradan x=2; y=7−2·2=3 bulunur. K=(2,3) olduğuna göre koordinatları toplamı 2+3=5’tir.
Cevap: C
Örnek - 17
Eğimleri 1/3 ve 2 olan iki doğrunun arasındaki dar açı kaç derecedir?
A) 30
B) 37
C) 45
D) 53
E) 60
tanθ=|(2−1/3)/(1+2/3)|=(5/3)/(5/3)=1 olur. Dar açı θ=45°’dir.
Cevap: C
Örnek - 18
x+y=6 doğrusu ile x=1 ve y=1 doğrularının sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
Köşeler (1,1), (1,5) ve (5,1)’dir. Dik kenarların her biri 4 olduğundan alan 4·4/2=8’dir.
Cevap: B
DOĞRUYA UZAKLIK VE GEOMETRİK UYGULAMALAR
NOKTADAN DOĞRUYA UZAKLIK
ax+by+c=0 doğrusunda (a,b)≠(0,0) olmalıdır. b≠0 ise doğru y=mx+n biçiminde yazılır; m=−a/b ve n=−c/b. P(x₀,y₀) noktasından aynı apsisli Q(x₀,mx₀+n) noktasına çizilen düşey PQ parçasının uzunluğu |y₀−mx₀−n| olur. H dikmenin ayağı, β ise doğrunun x ekseniyle yaptığı küçük açı (0°≤β<90°) olsun. PHQ dik üçgeninde Q açısı 90°−β olduğundan PH=PQ·cosβ. |m|=tanβ eşitliğinden cosβ=1/√(1+m²) bulunur. m ve n yerine yazıp sadeleştirince d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
bulunur. b=0 ise doğru düşeydir; d=|ax₀+c|/|a| elde edilir ve bu da aynı formüldür.
PARALEL DOĞRULAR ARASINDAKİ UZAKLIK
ax+by+c₁=0 ve ax+by+c₂=0 paralel doğruları arasındaki uzaklık |c₂−c₁|/√(a²+b²) olur. Formül uygulanmadan önce x ve y katsayıları eşitlenmelidir.
UZAKLIK, DİKME AYAĞI, SİMETRİ VE GEOMETRİK YER
Dikme ayağı bulunurken verilen doğruyla dik doğrunun kesişimi alınır. Bir noktanın doğruya göre simetriğinde, doğru parçasının orta noktası simetri ekseni üzerinde bulunur ve bağlantı doğruya diktir. İki farklı doğru kesişiyorsa, bu doğrulara eşit uzaklıktaki noktalar iki açıortay üzerinde yer alır. Farklı paralel doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu doğrular arasındaki orta paralel doğrudur. Doğrular çakışıyorsa düzlemdeki her nokta iki doğruya eşit uzaklıktadır.
Örnek - 19
3x+4y−5=0 ve 3x+4y+15=0 paralel doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Paralel doğrular arasındaki uzaklık |15−(−5)|/√(3²+4²)=20/5=4 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 20
A(2, −1) noktasının 3x−4y+5=0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
Dik doğrunun eğimi −1 olduğundan P’den geçen dik y=−x+6’dır. y=x−1 ile kesişim H=(7/2,5/2) olur; toplam 6’dır.
Cevap: C
Örnek - 22
A(5, 1) noktasının x+y−4=0 doğrusuna göre simetriği B(x, y) olduğuna göre x+y kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A’dan doğruya dik doğrultuda yapılan yansımada B=(3,−1) elde edilir. Bu nedenle x+y=2’dir.
Cevap: C
Örnek - 23
2x+3y=12 doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 24
x ekseni kesimi için y=0 yazılır: 2x=12 olduğundan x=6 ve A=(6,0) bulunur. y ekseni kesimi için x=0 yazılır: 3y=12 olduğundan y=4 ve B=(0,4) olur. Eksenlerle oluşan dik üçgenin dik kenarları 6 ve 4 birimdir; alanı (6·4)/2=12 birimkaredir.
Cevap: C
Örnek - 24
Bir P(x,y) noktası y=2 ve x=−1 doğrularına eşit uzaklıktadır. P’nin geometrik yerini oluşturan iki doğrunun y eksenini kestiği ordinatların toplamı kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
|y−2|=|x+1| eşitliğinden y=x+3 veya y=−x+1 elde edilir. y ekseni kesimleri 3 ve 1 olduğundan toplam 4’tür.
Cevap: D
DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER VE BÖLGE ANALİZİ
YARI DÜZLEMİN BELİRLENMESİ
ax+by+c>0 veya ax+by+c<0 eşitsizliği, ax+by+c=0 sınır doğrusunun ayırdığı iki yarı düzlemden birini belirtir. Sınır doğru eşitsizlikte yer almıyorsa kesikli, yer alıyorsa sürekli çizilir. Sınır üzerinde olmayan uygun bir test noktası, taranacak tarafı belirler.
YARI DÜZLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
Birden fazla doğrusal eşitsizliğin çözümü, ilgili yarı düzlemlerin ortak bölgesidir. Sınırlı bölgenin alanı; köşeler bulunarak, bölge uygun üçgen ve dörtgenlere ayrılarak ya da büyük alandan küçük alanlar çıkarılarak hesaplanabilir.
Örnek - 25
Aşağıdaki noktalardan hangisi 2x−y+4>0 eşitsizliğini sağlar?
A) (−3,0)
B) (−2,1)
C) (0,5)
D) (1,5)
E) (−1,3)
Eşitsizlik y<2x+4 biçimindedir. Yalnız (1,5) için 5<6 sağlanır.
Cevap: D
Örnek - 26
x≥0, y≥0 ve x+y≤6 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 24
E) 36
Bölge eksenler ve x+y=6 doğrusu arasında kalan, dik kenarları 6 olan üçgendir. Alan 6·6/2=18’dir.
Cevap: C
Örnek - 27
x≥1, y≥2 ve x+y≤8 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 15/2
B) 10
C) 25/2
D) 15
E) 25
Köşeler (1,2), (1,7) ve (6,2)’dir. Dik kenarlar 5 ve 5 olduğundan alan 25/2’dir.
Cevap: C
Örnek - 28
|x|+|y|≤4 eşitsizliğinin koordinat düzleminde belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 16
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
Köşeler (±4,0) ve (0,±4)’tür. Köşegenleri 8 ve 8 olan eşkenar dörtgenin alanı 8·8/2=32’dir.
Cevap: D
GRAFİKLERLE DOĞRUSAL MODELLER
DEĞİŞİM ORANI VE BAŞLANGIÇ DEĞERİ
Doğrusal bir modelde eğim, bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkende oluşturduğu değişimi gösterir. y eksenini kesme noktası ise bağımsız değişken sıfırken modelin başlangıç değeridir. İki veri noktası biliniyorsa önce değişim oranı, ardından y=mx+n denklemindeki n bulunur.
Örnek - 29
Bir doğrusal modelin grafiği (2,7) ve (8,25) noktalarından geçiyor. Bağımsız değişken 12 olduğunda modelin değeri kaçtır?
A) 31
B) 34
C) 37
D) 40
E) 43
Değişim oranı (25−7)/(8−2)=3’tür. Model y=3x+1 olur; x=12 için y=37 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 30
2x−y=1 ve x+y=8 doğrularının kesişiminden geçen y=mx+6 doğrusu koordinat eksenleriyle bir üçgen oluşturuyor. Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 36
B) 45
C) 48
D) 54
E) 60
İlk iki doğrunun kesişimi (3,5)’tir. 5=3m+6 eşitliğinden m=−1/3 olur. Doğru eksenleri (0,6) ve (18,0)’da kestiği için alan 18·6/2=54’tür.
