AYT dönüşüm geometrisi konu anlatımı kapsamında öteleme, dönme, yansıma, doğru ve şekillerin dönüşümü ile ardışık dönüşümlerin koordinat düzlemindeki etkileri işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİNİN TEMEL İLKELERİ
EŞLİK, UZAKLIK VE YÖN
Bir nokta ya da şeklin belirli bir kurala göre yeni konuma taşınmasına geometrik dönüşüm denir. Öteleme, dönme ve yansıma uzaklıkları, açı ölçülerini, çevreyi ve alanı korur; bu nedenle ilk şekil ile görüntüsü eştir. Öteleme ve dönme yönü korurken yansıma şeklin yönünü tersine çevirir.
GÖRÜNTÜ VE BİLEŞKE DÖNÜŞÜM
A noktasının görüntüsü A′ ile gösterilir. Birden fazla dönüşüm art arda uygulanıyorsa sağdaki işlem önce uygulanır ve dönüşüm sırası sonuç üzerinde belirleyici olabilir.
ÖTELEME DÖNÜŞÜMÜ
NOKTA VE ŞEKİL ÖTELEME
Bir şeklin bütün noktalarının aynı yön ve miktarda yer değiştirmesine öteleme denir. (a,b) vektörüyle ötelemede (x,y)→(x+a,y+b) olur. Her AA′ bağlantısı öteleme vektörüne paralel ve eşit uzunluktadır.
Örnek - 1
A(−5,−2), B(−2,2), C(−1,−2) üçgeni 6 birim sağa ve 3 birim yukarı öteleniyor. A′B′C′ üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 16/3
D) 17/3
E) 6
Öteleme sonunda köşeler A′(1,1), B′(4,5), C′(5,1) olur. Ağırlık merkezi (10/3,7/3) olduğundan koordinatları toplamı 17/3’tür.
Cevap: D
Örnek - 2
A(−3,4) noktası (5,−6) vektörüyle ötelenerek A′ noktasına taşınıyor. A′ noktasının orijine uzaklığı kaçtır?
A) √5
B) 2√2
C) √10
D) 2√5
E) 5
A′=(−3+5,4−6)=(2,−2) olur. Orijine uzaklık √(2²+(−2)²)=2√2’dir.
Cevap: B
Örnek - 3
A(−4,5) noktası (a,−3) vektörüyle öteleniyor. Görüntü noktası y=2x doğrusu üzerinde ve a>0 olduğuna göre a kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Görüntü A′=(a−4,2) olur. A′ noktası y=2x üzerinde olduğundan 2=2(a−4), buradan a−4=1 ve a=5 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 4
ABC üçgeni (5,2) vektörüyle öteleniyor. A′(0,0), B′(3,5), C′(5,0) olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 10
B) 12
C) 15/2
D) 25/2
E) 15
Öteleme alanı değiştirmez. Görüntü üçgeninin tabanı 5, yüksekliği 5 olduğundan alan 25/2’dir.
Cevap: D
Örnek - 5
Bir üçgen 4 birim sağa ötelenince kendisiyle kesişen bölgenin alanı 6 birimkare oluyor. Üçgenin tabanı 6 ve yüksekliği 5 olduğuna göre iki üçgenin birleşiminin alanı kaçtır?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 27
E) 30
Her üçgenin alanı 6·5/2=15’tir. Birleşim alanı 15+15−6=24 bulunur.
Cevap: C
DOĞRU, FONKSİYON VE BAĞINTI ÖTELEME
y=f(x) grafiğinin a birim sağa ve b birim yukarı ötelenmiş hâli y=f(x−a)+b olur. Kapalı bir bağıntıda sağa öteleme için x yerine x−a, yukarı öteleme için y yerine y−b yazılır. Bir doğru ötelenince eğimi değişmez; görüntü doğru ilk doğruya paraleldir.
Örnek - 6
g(x) grafiği y=f(x) grafiğinin 3 birim sağa ve 1 birim yukarı ötelenmiş hâlidir. f(2)=−1 ve f(5)=4 olduğuna göre g(5)+g(8) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
g(x)=f(x−3)+1 olur. g(5)=f(2)+1=0, g(8)=f(5)+1=5; toplam 5’tir.
Cevap: C
Örnek - 7
d: 3x+2y−6=0 doğrusu (4,−1) vektörüyle öteleniyor. Görüntü doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Sağa 4 ve aşağı 1 ötelemede denklemde x yerine x−4, y yerine y+1 yazılır: 3(x−4)+2(y+1)−6=0. Buradan 3x+2y−16=0; x=0 için y=8 bulunur.
Cevap: E
Dikkat
Grafiğin sağa a birim ötelenmesi denklemde x yerine x−a yazılmasıyla gösterilir; koordinattaki artış ile denklem içindeki işaret birbirine terstir.
DÖNME DÖNÜŞÜMÜ
ORİJİN ETRAFINDA ÖZEL AÇILARLA DÖNME
Pozitif dönme yönü saat yönünün tersidir. Orijin etrafında 90° için (x,y)→(−y,x), 180° için (x,y)→(−x,−y), 270° için (x,y)→(y,−x) kuralları geçerlidir.
Örnek - 8
A(1,1), B(5,1), C(3,4) üçgeni orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülüyor. B′C′ doğrusunun eğimi kaçtır?
A(3,−5) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülerek A′ elde ediliyor. A′ ile P(−1,1) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) −3
B) −1/3
C) 0
D) 1/3
E) 3
Dönüşüm kuralı (x,y)→(−y,x) olduğundan A′=(5,3) olur. A′P doğrusunun eğimi (3−1)/(5−(−1))=2/6=1/3’tür.
Cevap: D
Örnek - 10
Bir şekil orijin etrafında 180° döndürülüyor. Görüntüdeki P′(−4,−4) noktasının ilk konumu P olduğuna göre P’nin koordinatları çarpımı kaçtır?
A) −16
B) −8
C) 0
D) 8
E) 16
180° dönüşümünde (x,y)→(−x,−y). Bu nedenle P=(4,4) ve koordinat çarpımı 16’dır.
Cevap: E
GENEL AÇILI DÖNME
Orijin etrafında α açılı dönmede x′=x·cosα−y·sinα ve y′=x·sinα+y·cosα bağıntıları kullanılır. Dönme merkezi O ise OA=OA′ ve ∠AOA′=α olur.
ORİJİN DIŞINDAKİ BİR MERKEZ ETRAFINDA DÖNME
C(h,k) merkezli dönüşümde önce C başlangıç noktası kabul edilerek A−C vektörü döndürülür, sonra C yeniden eklenir. Böylece merkez dışındaki dönüşüm üç adımda düşünülür: merkeze taşıma, döndürme ve geri taşıma.
Örnek - 11
A(5,2) noktası C(2,1) etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülüyor. A′ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
CA=(3,1) vektörü 90° dönüşümle (−1,3) olur. C eklenince A′=(1,4); toplam 5’tir.
Cevap: C
Örnek - 12
ABC üçgeni önce orijin etrafında 90° saat yönünün tersine, sonra (2,−3) vektörüyle öteleniyor. A(2,1) noktasının son görüntüsü nedir?
A) (1,−1)
B) (1,−5)
C) (3,−1)
D) (3,−5)
E) (−1,−1)
A önce (−1,2) olur. Ardından (2,−3) eklenince (1,−1) elde edilir.
Cevap: A
YANSIMA DÖNÜŞÜMÜ
EKSENLERE VE ORİJİNE GÖRE YANSIMA
x eksenine göre (x,y)→(x,−y), y eksenine göre (x,y)→(−x,y), orijine göre (x,y)→(−x,−y) olur. Orijine göre yansıma, orijin etrafında 180° dönmeyle aynı görüntüyü verir.
Örnek - 13
A(4,3) noktasının x eksenine göre simetriği A′dir. AA′ çaplı çemberin alanı kaç birimkaredir?
A) 6π
B) 9π
C) 12π
D) 18π
E) 36π
x eksenine yansımada A′=(4,−3). AA′=6 olduğundan çemberin yarıçapı 3, alanı 9π birimkaredir.
Cevap: B
Örnek - 14
A(−5,2) noktasının y eksenine göre simetriği A′dir. O merkezli ve A ile A′ noktalarından geçen çemberin alanı kaç birimkaredir?
A) 21π
B) 25π
C) 27π
D) 29π
E) 31π
Yansıma A′=(5,2)’dir. OA²=(−5)²+2²=29 olduğundan yarıçapın karesi 29, çemberin alanı 29π’dir.
Cevap: D
Örnek - 15
A(3,−4) noktası orijine göre yansıtılıyor. A′ noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun y eksenini kestiği ordinat kaçtır?
A) −10
B) −2
C) 2
D) 4
E) 10
A′=(−3,4). y−4=2(x+3) denklemi y=2x+10 olur; y ekseni kesimi 10’dur.
Cevap: E
x=a VE y=b DOĞRULARINA GÖRE YANSIMA
x=a doğrusuna yansımada (x,y)→(2a−x,y), y=b doğrusuna yansımada (x,y)→(x,2b−y) olur. Simetri doğrusu, nokta ile görüntüsünü birleştiren parçanın orta dikmesidir.
Örnek - 16
A(6,1) noktasının x=2 doğrusuna göre simetriği A′dir. OAA′ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
x=2 orta doğru olduğundan A′=(−2,1) olur. AA′ yatay tabanının uzunluğu 8, O’nun bu tabana uzaklığı 1 olduğundan alan 8·1/2=4’tür.
Cevap: B
Örnek - 17
A(−3,5) noktasının y=2 doğrusuna göre simetriği A′dir. O ve A′ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) −3
B) −1/3
C) 0
D) 1/3
E) 3
y=2 orta doğru olduğundan A′=(−3,−1) olur. OA′ doğrusunun eğimi (−1−0)/(−3−0)=1/3’tür.
Cevap: D
y=x VE y=−x DOĞRULARINA GÖRE YANSIMA
y=x doğrusuna göre koordinatlar yer değiştirir: (x,y)→(y,x). y=−x doğrusuna göre yer değiştirip işaret değiştirir: (x,y)→(−y,−x).
y=x’e göre yansımada A′=(−2,5) olur. AA′ doğrusunun eğimi (5+2)/(−2−5)=−1’dir. A noktasından geçen doğru y+2=−(x−5), yani y=−x+3’tür.
Cevap: B
Örnek - 19
A(4,1) noktasının y=−x doğrusuna göre simetriği A′dir. AA′ çaplı çemberin alanı kaç birimkaredir?
A) 5π
B) 10π
C) 25π/2
D) 15π
E) 25π
Yansıma kuralıyla A′=(−1,−4) bulunur. AA′²=(5)²+(5)²=50 olduğundan yarıçapın karesi 50/4=25/2, alan 25π/2’dir.
Cevap: C
HERHANGİ BİR DOĞRUYA GÖRE YANSIMA
A ile görüntüsü A′ arasındaki doğru parçası yansıma eksenine diktir ve AA′ parçasının orta noktası eksen üzerindedir. Bu iki koşul, görüntü koordinatlarının veya yansıma doğrusunun bulunmasında birlikte kullanılır.
Örnek - 20
A(1,5) noktasının x−2y+4=0 doğrusuna göre simetriği A′(3,1) olduğuna göre AA′ uzunluğu kaçtır?
A) 2
B) 2√2
C) √10
D) 2√5
E) 5
AA′=√((3−1)²+(1−5)²)=√20=2√5’tir. Simetri doğrusu ayrıca AA′ parçasının orta dikmesidir.
Cevap: D
DOĞRU VE ŞEKİLLERİN YANSIMASI
Bir doğrunun görüntüsünü bulmak için doğru üzerindeki iki noktanın görüntüsü yeterlidir. Kesişen bir doğru ile görüntüsü arasındaki açı, yansıma ekseni tarafından iki eş parçaya ayrılır. Şekillerde her köşe ayrı ayrı yansıtılır ve görüntü köşeleri aynı sırayla birleştirilir.
Örnek - 21
Bir üçgen y=x doğrusuna göre yansıtılıyor. İlk üçgenin alanı 18 birimkare, iki şeklin ortak bölgesi 5 birimkare olduğuna göre birleşim alanı kaçtır?
A) 23
B) 26
C) 29
D) 31
E) 36
Yansıma alanı korur; görüntünün alanı da 18’dir. Birleşim alanı 18+18−5=31’dir.
Cevap: D
Örnek - 22
d: 2x−y+3=0 doğrusunun (1,−2) noktasına göre simetriği d′ olduğuna göre d′ doğrusunun denklemi hangisidir?
A) 2x−y−1=0
B) 2x−y−3=0
C) 2x−y−7=0
D) 2x−y−11=0
E) 2x+y−7=0
Noktaya göre yansımada (x,y) yerine (2−x,−4−y) yazılır: 2(2−x)−(−4−y)+3=0. Düzenlenince 2x−y−11=0 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 23
d₁ doğrusu bir eksene göre yansıtıldığında görüntüsü d₂ doğrusu oluyor. d₁ ile d₂ arasındaki dar açı 40° olduğuna göre yansıma ekseni ile d₁ arasındaki açı kaç derecedir?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 80
Yansıma ekseni, bir doğru ile görüntüsü arasındaki açının açıortayıdır. Bu nedenle istenen açı 40°/2=20°’dir.
Cevap: B
ARDIŞIK DÖNÜŞÜMLER
DÖNÜŞÜM SIRASI
Öteleme, dönme ve yansıma farklı sırayla uygulandığında çoğu zaman farklı görüntüler oluşur. Bu nedenle her adımın görüntüsü bulunur ve sonraki dönüşüm bu yeni noktaya uygulanır.
Örnek - 24
Bir şekil önce 6 birim sağa, ardından 4 birim sola ve 3 birim yukarı öteleniyor. Bileşke öteleme vektörü hangisidir?
Bir nokta orijin etrafında önce 90°, sonra 180° saat yönünün tersine döndürülüyor. Tek dönüşümle aynı sonucu veren dönüşüm hangisidir?
A) 90° saat yönünün tersi
B) 180° saat yönü
C) 270° saat yönünün tersi
D) 360°
E) Yansıma
Aynı merkezli dönüş açıları toplanır: 90°+180°=270° saat yönünün tersidir.
Cevap: C
Örnek - 26
A(4,1) noktası önce y=x doğrusuna göre, sonra x eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü hangisidir?
A) (−4,−1)
B) (−1,−4)
C) (1,−4)
D) (1,4)
E) (4,−1)
İlk yansıma (4,1)→(1,4), ikinci yansıma (1,4)→(1,−4) verir. Sıra değiştirilirse aynı sonuç çıkmaz.
Cevap: C
Örnek - 27
A(1,4) noktası önce orijine göre yansıtılıyor, sonra (−4,2) vektörüyle öteleniyor. Son noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
A) −9
B) −7
C) −5
D) −3
E) 1
Orijine göre görüntü (−1,−4)’tür. Öteleme sonrası (−5,−2) olur; toplam −7’dir.
Cevap: B
Örnek - 28
Bir üçgen önce y=x doğrusuna göre yansıtılıyor, sonra orijin etrafında 180° döndürülüyor. A(−5,−2) noktasının son görüntüsü hangisidir?
A) (−5,−2)
B) (−2,−5)
C) (2,5)
D) (5,2)
E) (5,−2)
y=x’e göre yansıma A→(−2,−5) verir. 180° dönme ile (2,5) elde edilir.
Cevap: C
Dikkat
Ardışık dönüşümlerde işlemlerin yer değiştirmesi genel olarak aynı sonucu vermez. Özellikle bir yansıma ile öteleme ya da farklı merkezli dönmelerin sırası korunmalıdır.
İKİ YANSIMANIN BİLEŞKESİ
Paralel iki doğruya art arda yansıma, doğrulara dik yönde ve doğrular arasındaki uzaklığın iki katı kadar ötelemeye eşdeğerdir. Kesişen iki doğruya art arda yansıma ise kesişim noktası etrafında doğrular arasındaki yönlü açının iki katı kadar dönmeye eşdeğerdir.
Örnek - 29
Bir şekil önce d₁, sonra d₂ doğrusuna göre yansıtılıyor. d₁’den d₂’ye yönlü açı saat yönünün tersine 45° olduğuna göre bileşke dönüşüm nedir?
A) 45° saat yönünün tersine dönme
B) 90° saat yönünün tersine dönme
C) 90° saat yönünde dönme
D) 90° öteleme
E) Orijine göre yansıma
Kesişen iki doğruya ardışık yansımanın bileşkesi, kesişim noktası etrafında birinci doğrudan ikinciye yönlü açının iki katı kadar dönmedir. Bu nedenle bileşke 2·45°=90° saat yönünün tersine dönmedir.
Cevap: B
YANSIMA VE GEOMETRİK YER BAĞLANTISI
İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bu noktaları birleştiren parçanın orta dikmesi üzerinde; kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktalar açıortaylar üzerinde bulunur. Bu yapılar, yansımada nokta ile görüntüsünün eş uzaklık koşulunun geometrik yer karşılığıdır.
Örnek - 30
A(−4,1) ve A′(4,1) birbirinin bir doğruya göre simetriğidir. Simetri ekseninin denklemi hangisidir?
A) x=−4
B) x=0
C) x=1
D) y=0
E) y=1
Simetri ekseni AA′ parçasının orta dikmesidir. Orta nokta (0,1), parça yatay olduğundan orta dikme x=0’dır.
