AYT çemberin analitiği konu anlatımı kapsamında çember denklemleri, nokta ve doğruların çembere göre konumları, kiriş ve teğet bağıntıları, iki çemberin ilişkileri ile geometrik yer uygulamaları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ÇEMBER DENKLEMİ
MERKEZ VE YARIÇAPTAN DENKLEM
Düzlemde sabit bir M(a,b) noktasına r birim uzaklıktaki noktaların geometrik yeri çemberdir. N(x,y) çember üzerinde olduğunda MN=r eşitliğinden (x−a)²+(y−b)²=r² elde edilir. Merkez orijindeyse denklem x²+y²=r² biçimine iner.
Örnek - 1
Merkezi M(−3,2) olan bir çemberin x ekseni üzerinde ayırdığı kirişin uzunluğu 8 birimdir. Çemberin denklemi hangisidir?
A) (x−3)²+(y+2)²=20
B) (x+3)²+(y−2)²=20
C) (x+3)²+(y−2)²=16
D) (x−3)²+(y−2)²=20
E) (x+2)²+(y−3)²=20
Merkezin x eksenine uzaklığı 2, yarım kiriş 4’tür. r²=2²+4²=20 olduğundan denklem (x+3)²+(y−2)²=20 olur.
Cevap: B
Örnek - 2
A(−4,6) ve B(2,−2) noktaları bir çemberin çap uçlarıdır. Çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
AB=√(6²+(−8)²)=10’dur. Çap 10 olduğundan yarıçap 5 birimdir.
Cevap: C
Örnek - 3
Merkezi M(2,−1) olan çember P(8,7) noktasından geçmektedir. Çemberin y ekseni üzerinde ayırdığı kirişin uzunluğu kaçtır?
A) 4√5
B) 6√6
C) 8√6
D) 10√2
E) 12√3
r²=MP²=6²+8²=100’dür. Merkezin y eksenine uzaklığı 2 olduğundan yarım kiriş √(100−4)=4√6, bütün kiriş 8√6’dır.
Cevap: C
EKSENLERE TEĞET ÇEMBERLER
Bir çember x eksenine teğetse merkezinin ordinatının mutlak değeri, y eksenine teğetse apsisinin mutlak değeri yarıçapa eşittir. Her iki eksene teğet bir çemberin merkezi bulunduğu bölgeye göre (±r,±r) biçimindedir.
Örnek - 4
Dördüncü bölgede bulunan, her iki eksene teğet ve yarıçapı 4 olan çember x²+y²+Dx+Ey+F=0 biçiminde yazılıyor. D+E+F kaçtır?
A) −16
B) −8
C) 0
D) 8
E) 16
Merkez (4,−4)’tür. Denklem (x−4)²+(y+4)²=16, yani x²+y²−8x+8y+16=0 olur. D+E+F=−8+8+16=16’dır.
Cevap: E
Örnek - 5
Orijinden ve A(0,8), B(6,0) noktalarından geçen çemberin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
OA ve OB çemberin kirişleridir. Merkez, bu kirişlerin orta dikmelerinin kesişimidir: M(3,4). Koordinat toplamı 7’dir.
Cevap: C
GENEL ÇEMBER DENKLEMİ
Standart denklem açıldığında x²+y²+Dx+Ey+F=0 elde edilir. Bu denklemde merkez M(−D/2,−E/2), yarıçap ise r=½√(D²+E²−4F) bağıntısıyla bulunur. Kare tamamlama yöntemi aynı bilgiyi standart biçimde görünür kılar.
Örnek - 6
x²+y²−6x+8y−11=0 çemberinin yarıçapı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Denklem x²−6x+y²+8y−11=0 biçimindedir. x ve y terimleri ayrı ayrı kareye tamamlanır: (x−3)²−9+(y+4)²−16−11=0. Buradan (x−3)²+(y+4)²=36 elde edilir. Yarıçapın karesi 36 olduğuna göre r=6’dır.
Cevap: D
BİR DENKLEMİN ÇEMBER BELİRTME KOŞULU
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 denkleminin çember belirtebilmesi için A=C≠0 ve B=0 olmalıdır. Denklem x²+y²+Dx+Ey+F=0 biçimine getirildiğinde D²+E²−4F pozitifse reel çember, sıfırsa tek nokta, negatifse reel olmayan bir küme oluşur.
Örnek - 7
(m−1)x²+2xy+(m−1)y²−4x+6y−3=0 denkleminin bir çember belirtmesi mümkün müdür?
A) Yalnız m=0
B) Yalnız m=1
C) Yalnız m=2
D) Her m
E) Hiçbir m
Bir çember denkleminde xy teriminin katsayısı sıfır olmalıdır. Burada xy katsayısı 2 olduğundan hiçbir m değeri denklemi çembere dönüştüremez.
Cevap: E
Örnek - 8
x²+y²−4x+6y+k=0 denkleminin reel çember belirtmesi için k’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Genel denklemde D=−4, E=6 ve F=k’dır. Reel bir çember için D²+E²−4F>0 olmalıdır. Bu nedenle 16+36−4k>0, yani 52−4k>0 ve k<13 bulunur. 13’ten küçük en büyük tam sayı 12 olur.
Cevap: B
Dikkat
D²+E²−4F koşulu, denklem x²+y²+Dx+Ey+F=0 biçimine getirildikten sonra anlam kazanır. x² ve y² katsayılarının eşit olmaması ya da xy teriminin bulunması durumunda denklem çember belirtmez.
NOKTA, UZAKLIK VE KİRİŞ
NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KONUMU
P noktası ile merkez arasındaki MP uzaklığı yarıçapla karşılaştırılır. MP<r ise nokta içeride, MP=r ise çember üzerinde, MP>r ise dışarıdadır. Standart denklemde P koordinatları sol tarafa yazılarak elde edilen değer doğrudan r² ile de karşılaştırılabilir.
Örnek - 9
P(7,1) noktasının (x−2)²+(y+3)²=41 çemberine göre konumu nedir?
A) İçinde
B) Üzerinde
C) Dışında
D) Merkezinde
E) Belirlenemez
Merkez M(2,−3)’tür. MP²=5²+4²=41=r² olduğundan P çember üzerindedir.
Cevap: B
Örnek - 10
A(10,10) noktasının (x−2)²+(y−4)²=25 çemberi üzerindeki bir noktaya uzaklığının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 22
E) 25
AM=√(8²+6²)=10 ve r=5’tir. Uzaklıklar 10−5=5 ile 10+5=15 arasında değişir; toplam 20’dir.
Cevap: C
KİRİŞ VE KİRİŞİN ORTA NOKTASI
Merkezden bir kirişe indirilen dikme kirişi iki eş parçaya ayırır. Merkezin kirişe uzaklığı d, yarıçap r ise kiriş uzunluğu 2√(r²−d²) olur. Uzunlukları eşit kirişlerin merkeze uzaklıkları da eşittir.
Örnek - 11
Yarıçapı 10 olan bir çemberde merkezin bir kirişe uzaklığı 6 birimdir. Kirişin uzunluğu kaçtır?
A) 8
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
Merkezden kirişe inen dikme kirişi ikiye böler. Yarım kiriş √(10²−6²)=8, bütün kiriş 16’dır.
Cevap: C
DOĞRU VE ÇEMBER
DOĞRUNUN ÇEMBERE GÖRE KONUMU
Merkezin doğruya uzaklığı L ile yarıçap r karşılaştırılır. L<r olduğunda doğru çemberi iki noktada keser, L=r olduğunda teğettir, L>r olduğunda kesişmez. Denklem sistemi ortak çözüldüğünde aynı ayrım ikinci dereceden denklemin diskriminantıyla yapılır.
Örnek - 12
(x−1)²+(y+2)²=20 çemberi ile 2x−y−8=0 doğrusunun konumu nedir?
A) İki noktada kesişir
B) Teğettir
C) Kesişmez
D) Doğru merkezden geçer
E) Belirlenemez
Çemberin merkezi M(1,−2), yarıçapı r=√20=2√5’tir. M noktasının 2x−y−8=0 doğrusuna uzaklığı |2·1−(−2)−8|/√(2²+(−1)²)=4/√5’tir. r=10/√5 olduğundan merkezin doğruya uzaklığı yarıçaptan küçüktür. Bu durumda doğru çemberi iki farklı noktada keser.
Cevap: A
Örnek - 13
(x−3)²+(y−1)²=25 çemberine y=mx+9 doğrusu teğet olduğuna göre m’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) −6
B) −3
C) 0
D) 3
E) 6
Çemberin merkezi M(3,1), yarıçapı 5’tir. y=mx+9 doğrusu mx−y+9=0 biçiminde yazılır. Teğetlik için merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır: |3m−1+9|/√(m²+1)=5. Karesi alındığında (3m+8)²=25(m²+1), buradan 16m²−48m−39=0 elde edilir. Vieta bağıntısına göre m değerlerinin toplamı −(−48)/16=3’tür.
Cevap: D
Örnek - 14
x²+y²=25 çemberini y=3 doğrusu A ve B noktalarında kesiyor. |AB| kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Merkezin doğruya uzaklığı 3’tür. Yarım kiriş √(25−9)=4 olduğundan AB=8’dir.
y=x−1 yazıldığında 2x²−8x−17=0 olur. İki noktanın x değerleri toplamı 4’tür. Her noktada x+y=2x−1 olduğundan iki toplamın toplamı 2·4−2=6’dır.
Cevap: B
TEĞET DOĞRUSU VE TEĞET UZUNLUĞU
Çemberin T noktasındaki teğeti MT yarıçapına diktir. Dışarıdaki P noktasından çizilen teğette MTP dik üçgeni oluştuğundan PT²=PM²−r² bağıntısı kullanılır. Aynı dış noktadan çizilen iki teğetin uzunlukları eşittir.
MA yarıçapının eğimi (2+2)/(4−1)=4/3’tür. Teğet yarıçapa dik olduğundan eğimi −3/4 olur.
Cevap: B
Örnek - 17
P(9,5) noktasından (x−1)²+(y−1)²=16 çemberine çizilen teğetin uzunluğu kaçtır?
A) 4√2
B) 4√3
C) 8
D) 8√2
E) 12
PM²=8²+4²=80 ve r²=16’dır. PT²=PM²−r²=64 olduğundan PT=8’dir.
Cevap: C
Dikkat
Teğetlikte doğru ile çemberin tek ortak noktası bulunur; ancak cebirsel çözümde bu durum çift katlı kök olarak görünür. Merkezin doğruya uzaklığının yarıçapa eşit olması ile diskriminantın sıfır olması aynı geometrik koşulu ifade eder.
İKİ ÇEMBERİN ANALİTİĞİ
MERKEZLER ARASI UZAKLIK
Merkezler arası uzaklık d olsun. d>r₁+r₂ ise çemberler dıştan ayrıktır; d=r₁+r₂ ise dıştan teğettir; |r₁−r₂|<d<r₁+r₂ ise iki noktada kesişir. 0<d=|r₁−r₂| ise içten teğettir; 0≤d<|r₁−r₂| ise biri diğerinin içinde ve ayrıdır. d=0 ve r₁=r₂ ise çemberler çakışıktır.
Örnek - 18
Merkezleri M₁(−2,1), M₂(8,1) ve yarıçapları sırasıyla 3 ile 5 olan iki çember üzerindeki noktalar arasındaki en küçük uzaklık kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Merkezler arası uzaklık 10’dur. Çemberler dıştan ayrık olduğundan en küçük uzaklık 10−3−5=2’dir.
Cevap: C
Örnek - 19
(x+2)²+y²=16 ve (x−3)²+y²=9 çemberlerinin birbirine göre konumu nedir?
A) Dıştan teğet
B) İçten teğet
C) İki noktada kesişir
D) Ayrıktır
E) Eş merkezlidir
Birinci çemberin merkezi M₁(−2,0), yarıçapı 4; ikinci çemberin merkezi M₂(3,0), yarıçapı 3’tür. Merkezler arası uzaklık d=5 olur. |4−3|=1<5<4+3=7 olduğundan çemberler ne teğettir ne de ayrıktır; iki farklı noktada kesişir.
Cevap: C
Örnek - 20
(x−1)²+(y−2)²=36 çemberine içten teğet ve yarıçapı 2 olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemi hangisidir?
A) (x−1)²+(y−2)²=4
B) (x−1)²+(y−2)²=16
C) (x−1)²+(y−2)²=36
D) (x−1)²+(y−2)²=64
E) x²+y²=16
Büyük çemberin merkezi M(1,2), yarıçapı 6’dır. Yarıçapı 2 olan küçük bir çember büyük çembere içten teğet olduğunda merkezler arası uzaklık 6−2=4 olur. Küçük çemberin merkezi, sabit M(1,2) noktasına daima 4 birim uzaklıktadır. Bu nedenle geometrik yer (x−1)²+(y−2)²=16 çemberidir.
Cevap: B
Örnek - 21
Birinci bölgede eksenlere teğet iki çember A(4,2) noktasından geçmektedir. Bu çemberlerin yarıçapları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Her iki eksene birinci bölgede teğet olan çemberin merkezi (r,r)’dir. A(4,2) çember üzerinde olduğundan (4−r)²+(2−r)²=r² yazılır. Denklem açıldığında r²−12r+20=0 elde edilir. Bu ikinci dereceden denklemin iki pozitif kökü iki çemberin yarıçaplarını verir. Vieta bağıntısına göre kökler toplamı 12’dir.
Cevap: E
ORTAK KİRİŞ VE RADİKAL EKSEN
Kesişen iki çemberin ortak noktalarını birleştiren doğru ortak kiriş doğrusudur. İki çember denklemi taraf tarafa çıkarıldığında x² ve y² terimleri yok olur; kalan birinci dereceden denklem ortak kirişi taşıyan radikal ekseni verir. Ortak iki noktadan geçen diğer çemberler ise C₁+λC₂=0 ailesiyle ifade edilir. Genel çember denklemine geçerken bütün katsayılar x²+y² teriminin katsayısına bölünür; ardından merkez veya yarıçap koşulu kullanılarak λ belirlenir.
Örnek - 22
x²+y²−6x+2y−6=0 ve x²+y²+2x−4y−14=0 çemberlerinin ortak kirişini taşıyan doğrunun denklemi hangisidir?
A) 4x−3y−4=0
B) 4x−3y+4=0
C) 8x−6y−4=0
D) 2x+y−5=0
E) x−y−1=0
İki çember denklemi taraf tarafa çıkarılır. (−6x+2y−6)−(2x−4y−14)=0, yani −8x+6y+8=0; sadeleşince 4x−3y−4=0 olur.
Cevap: A
Örnek - 23
x²+y²−4x+2y−11=0 ve x²+y²+2x−6y−3=0 çemberlerinin ortak noktalarından geçen ve merkezi y=x doğrusu üzerinde olan çemberin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) −10/7
B) −5/7
C) 0
D) 5/7
E) 10/7
İki çemberin ortak noktalarından geçen bütün çemberler C₁+λC₂=0 ailesiyle gösterilir. Denklemler toplandığında x²+y² katsayısı 1+λ olur; 1+λ’ya bölünerek standart genel biçime geçilir. Yeni çemberin merkezi ((2−λ)/(1+λ), (−1+3λ)/(1+λ)) olur. Merkez y=x doğrusu üzerinde bulunduğu için iki koordinat eşitlenir: 2−λ=−1+3λ. Buradan λ=3/4 ve merkez (5/7,5/7) bulunur. Koordinatlar toplamı 10/7’dir.
Cevap: E
GEOMETRİK YER VE UYGULAMALAR
ÇEMBERİN DÖNÜŞÜMÜ VE ÜÇGENLER
Bir çember ötelenir veya bir doğruya göre yansıtılırsa merkezi aynı dönüşüme uğrar, yarıçapı değişmez. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır; koordinat eksenleriyle oluşan dik üçgenlerde içteğet çemberin yarıçapı kenar uzunluklarından hesaplanabilir.
Örnek - 24
(x−4)²+(y+1)²=9 çemberi 3 birim sola ve 5 birim yukarı öteleniyor. Yeni çemberin denklemi hangisidir?
A) (x−1)²+(y−4)²=9
B) (x−7)²+(y+6)²=9
C) (x−1)²+(y+6)²=9
D) (x−7)²+(y−4)²=9
E) (x+1)²+(y−4)²=9
Başlangıç çemberinin merkezi M(4,−1), yarıçapı 3’tür. Üç birim sola öteleme merkezin x koordinatını 4−3=1; beş birim yukarı öteleme y koordinatını −1+5=4 yapar. Öteleme yarıçapı değiştirmez. Yeni merkez (1,4) ve yarıçap 3 olduğundan denklem (x−1)²+(y−4)²=9 olur.
Üçgen A köşesinde diktir. Dik üçgende çevrel çember yarıçapı hipotenüsün yarısıdır. BC=10 olduğundan R=5’tir.
Cevap: B
Örnek - 26
Eksenler ve 3x+4y−24=0 doğrusu arasında kalan üçgensel bölgeye içten teğet çemberin yarıçapı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğru eksenleri (8,0) ve (0,6)’da keser; dik üçgenin kenarları 6,8,10’dur. İçyarıçap (6+8−10)/2=2’dir.
Cevap: B
ÇEMBERSEL BÖLGELER VE GEOMETRİK YER
Çember denklemi eşitsizlik biçiminde verildiğinde ≤ işareti iç bölgeyi, ≥ işareti dış bölgeyi belirtir. Sabit uzunluktaki kirişlerin orta noktaları ve sabit yarıçaplı teğet çemberlerin merkezleri de bir çember üzerinde hareket ederek yeni bir geometrik yer oluşturabilir.
Örnek - 27
x²+y²≤16, y≥x ve y≥−x eşitsizliklerini sağlayan bölgenin alanı kaçtır?
A) 2π
B) 4π
C) 6π
D) 8π
E) 12π
x²+y²≤16 eşitsizliği merkezî O ve yarıçapı 4 olan dairenin içini belirtir. y≥x, y=x doğrusunun üstünü; y≥−x ise y=−x doğrusunun üstünü seçer. İki koşul birlikte, 45° ile 135° doğrultuları arasındaki 90°’lik üst daire dilimini bırakır. Alan (90/360)·π·4²=4π olur.
Cevap: B
Örnek - 28
Birinci bölgede, eksenler ile 3x+4y=60 doğrusu arasında kalan bölgede bu üç doğruya teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çember her iki eksene teğet ve birinci bölgede olduğundan merkezi (r,r)’dir. Bölge doğrunun orijini içeren tarafında kaldığı için merkezin doğruya uzaklığı (60−3r−4r)/5 olur. Teğetlikte bu uzaklık yarıçapa eşittir: (60−7r)/5=r. Buradan 60=12r ve r=5 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 29
(x+2)²+(y−1)²=100 çemberinin 12 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik yeri hangisidir?
A) (x+2)²+(y−1)²=36
B) (x+2)²+(y−1)²=64
C) (x−2)²+(y+1)²=64
D) x²+y²=64
E) (x+2)²+(y−1)²=100
Verilen çemberin merkezi M(−2,1), yarıçapı 10’dur. Uzunluğu 12 olan bir kirişin yarısı 6’dır. Merkezden kirişin orta noktasına indirilen dikme için d²+6²=10² yazılır ve d=8 bulunur. Her böyle kirişin orta noktası M merkezine 8 birim uzaklıkta olduğundan geometrik yer, merkezi (−2,1) ve yarıçapı 8 olan (x+2)²+(y−1)²=64 çemberidir.
Cevap: B
Örnek - 30
x²+y²−10x+4y−20=0 çemberine içten teğet ve yarıçapı 3 olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin yarıçapı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Büyük çemberin denklemi kareye tamamlanır: (x−5)²+(y+2)²=49. Buna göre merkez M(5,−2), yarıçap 7’dir. Yarıçapı 3 olan bir çember buna içten teğetse iki merkez arasındaki uzaklık 7−3=4’tür. Küçük çemberlerin merkezleri M noktasına sürekli 4 birim uzaklıkta dolaştığından istenen geometrik yerin yarıçapı 4’tür.
