AYT katı cisimler konu anlatımı kapsamında prizma, küp, silindir, piramit, koni ve kürede alan-hacim bağıntıları; açınım, kesit, benzerlik, sıvı ve en kısa yol uygulamaları işlenecektir. AYT geometri konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
PRİZMALAR
DİK PRİZMA, ALAN VE HACİM
Birbirine paralel ve eş iki çokgensel tabanı birleştiren yan ayrıtları tabana dik olan cisim dik prizmadır. Taban alanı B, taban çevresi Ç ve yükseklik h ise hacim V=B·h, yanal alan Ç·h, toplam alan Ç·h+2B olur. Üçgen, dörtgen veya düzgün çokgen tabanlı bütün dik prizmalarda aynı yapı kullanılır.
Örnek - 1
Tabanı 6×8 olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 26 birimdir. Yüzey alanı kaç birimkaredir?
A) 624
B) 648
C) 672
D) 696
E) 720
Yükseklik h için 6²+8²+h²=26² yazılır ve h=24 bulunur. Yüzey alanı 2(6·8+6·24+8·24)=672’dir.
Cevap: C
Örnek - 2
Ayrıtları 4, 6 ve 9 birim olan kapalı dikdörtgenler prizmasının dışı boyanıyor. Boya miktarı yüzey alanıyla orantılıysa 2 birimlik boya kaç birimkareye yeter?
A) 216
B) 228
C) 240
D) 252
E) 264
Yüzey alanı 2(4·6+4·9+6·9)=228 birimkaredir.
Cevap: B
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI VE KÜP
Ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasında yüzey alanı 2(ab+ac+bc), hacim abc, cisim köşegeni √(a²+b²+c²) olur. Bir yüzün köşegeni yalnız o yüzün iki ayrıtına bağlıdır. Küpte bütün ayrıtlar a olduğundan alan 6a², hacim a³, yüzey köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3’tür.
Örnek - 3
Ayrıtı 6 olan küpün bir köşesinden ayrıtı 2 olan küp çıkarılıyor. Yeni cismin yüzey alanı kaç birimkaredir?
A) 208
B) 212
C) 216
D) 220
E) 224
Köşeden çıkarılan üç 2×2 yüz gider, kesitte üç yeni 2×2 yüz oluşur; toplam alan değişmez. 6·6²=216’dır.
Cevap: C
Örnek - 4
İç ayrıtları 8, 10 ve 12 olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kap, 8×10 tabanı üzerindeyken su yüksekliği 6 birimdir. Ayrıtı 4 olan katı küp suya tamamen batırılıp tabana bırakılıyor. Kap, küp içinde kalacak biçimde 8×12 tabanı üzerine çevriliyor. Su taşmadığına göre son su yüksekliği kaç birimdir?
A) 5
B) 16/3
C) 17/3
D) 6
E) 20/3
Başlangıçtaki su hacmi 8·10·6=480, küp hacmi 4³=64 birimküptür. Kap 8×12 tabanı üzerine çevrildiğinde taban alanı 96 olur. Küp tamamen suya battığı için su ile küpün kapladığı toplam hacim 480+64=544’tür. 96x=544 denkleminden x=17/3 bulunur. Ayrıca 17/3>4 olduğundan küp tamamen su altında kalır.
Cevap: C
AÇINIM, PARÇA ÇIKARMA VE EN KISA YOL
Prizmanın yüzeyi bir düzleme açıldığında komşu yüzler ortak ayrıtları boyunca yan yana gelir. Yüzey üzerinde iki nokta arasındaki en kısa yol, uygun yüzler açıldıktan sonra çizilen doğru parçasıdır. Bir köşeden parça çıkarıldığında kaybolan yüzlerle oluşan yeni kesit yüzleri ayrı ayrı sayılır; yüzey alanı her zaman azalmak zorunda değildir.
Örnek - 5
Ayrıtı 4 olan küpün yüzeyinde karşıt iki köşe arasında yalnız yüzeyden gidilen en kısa yol kaç birimdir?
A) 4√2
B) 4√3
C) 4√5
D) 8
E) 6√2
Uygun iki yüz açıldığında 8×4 dikdörtgen oluşur. Köşegen √(8²+4²)=4√5’tir.
Cevap: C
ÇOKGEN TABANLI DİK PRİZMALAR
Dik prizmanın tabanı üçgen veya düzgün çokgen olduğunda önce taban alanı bulunur. Hacim taban alanı ile dik yüksekliğin çarpımıdır; yanal alan hesabında ise taban çevresi kullanılır.
Örnek - 6
Tabanı düzgün altıgen olan dik prizmanın taban ayrıtı 4, yüksekliği 10’dur. Hacmi kaç birimküptür?
A) 120√3
B) 180√3
C) 200√3
D) 240√3
E) 300√3
Düzgün altıgen taban alanı 6·(4²√3/4)=24√3’tür. Hacim 24√3·10=240√3’tür.
Cevap: D
Dikkat
Bir katıdan parça çıkarılması hacmi azaltır; yüzey alanını ise azaltabilir, artırabilir veya değiştirmeyebilir. Sonuç, kaybolan dış yüzlerle açığa çıkan kesit yüzlerinin karşılaştırılmasıyla belirlenir.
SİLİNDİR
DİK DAİRESEL SİLİNDİR
Dik dairesel silindirin tabanları yarıçapı r olan eş dairelerdir. Yan yüz açıldığında kenarları 2πr ve h olan bir dikdörtgen elde edilir. Buna göre yanal alan 2πrh, toplam alan 2πr(r+h), hacim πr²h olur.
Örnek - 7
Yarıçapı 5, yüksekliği 12 olan kapalı silindirin toplam yüzey alanı kaç π birimkaredir?
A) 150
B) 160
C) 170
D) 180
E) 190
Toplam alan 2πr(r+h)=2π·5·17=170π’dir.
Cevap: C
İÇİ BOŞ SİLİNDİR, SIVI VE EN KISA YOL
İçi boş silindirde kesit bir halkadır; dış ve iç taban alanlarının farkı yükseklikle çarpılır. Sıvı aktarma sorularında kap değişse de sıvı hacmi korunur. Silindirin yan yüzündeki en kısa yol, yan yüz dikdörtgene açıldıktan sonra bulunur; karşılıklı ana doğrular arasındaki yatay uzaklık yarım çevredir.
Örnek - 8
Dış yarıçapı 6, iç yarıçapı 4 ve yüksekliği 10 olan borunun hacmi kaç π birimküptür?
A) 160
B) 180
C) 200
D) 220
E) 240
Hacim π(6²−4²)·10=200π’dir.
Cevap: C
Örnek - 9
Yarıçapı 4, yüksekliği 9 olan silindir tamamen su doludur. Su, yarıçapı 6 olan başka silindire aktarılırsa yüksekliği kaç olur?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Hacimler eşittir: π·4²·9=π·6²·h. Buradan h=4 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 10
Yarıçapı 3, yüksekliği 8 olan silindirin yan yüzünde; alt ve üst taban çemberleri üzerinde bulunan, çevre doğrultusunda yarım tur karşılıklı P ve Q noktaları arasındaki en kısa yol kaçtır?
A) √(64+4π²)
B) √(64+9π²)
C) √(64+36π²)
D) 8+3π
E) 8+6π
Silindirin yan yüzü açıldığında P ile Q arasındaki yatay uzaklık yarım çevre, yani 3π; düşey uzaklık 8 olur. Açınımdaki en kısa yol bu dikdörtgenin köşegeni olduğundan √(8²+(3π)²)=√(64+9π²) bulunur.
Cevap: B
Örnek - 11
Kenarları 5 ve 12 olan dikdörtgen, 12 birimlik kenarı etrafında döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç π birimküptür?
Bir çokgensel tabanın köşelerinin taban düzlemi dışındaki ortak bir tepe noktasına birleştirilmesiyle piramit oluşur. Piramidin yüksekliği tepeden taban düzlemine indirilen dikmedir; yan yüz yüksekliği ise bir yan üçgende tepeden taban ayrıtına inen dikmedir. Hacim V=B·h/3 bağıntısıyla hesaplanır.
Örnek - 12
Taban ayrıtı 10, yüksekliği 12 olan düzgün kare piramidin yan yüz yüksekliği kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Tepe, taban merkezi ve taban ayrıtının orta noktası dik üçgen oluşturur. l²=12²+5²=169, l=13’tür.
Cevap: C
Örnek - 13
Taban alanı 96, yüksekliği 15 olan piramidin hacmi kaçtır?
A) 360
B) 420
C) 480
D) 520
E) 540
V=B·h/3=96·15/3=480’dir.
Cevap: C
DÜZGÜN PİRAMİT VE DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
Düzgün piramitte taban düzgün çokgendir ve yüksekliğin ayağı tabanın merkezidir. Yan yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir; yanal alan taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısıdır. Düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri ve bütün ayrıtları eşkenar üçgendir.
Örnek - 14
Ayrıtı 6 olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaçtır?
A) 2√3
B) 2√6
C) 3√2
D) 3√3
E) 4√2
Taban eşkenar üçgeninin ağırlık merkezinden köşeye uzaklık 2√3’tür. h²+12=36 olduğundan h=2√6’dır.
Cevap: B
TABANA PARALEL KESİT VE KESİK PİRAMİT
Tabana paralel kesit, tepede kalan küçük piramitle büyük piramidi benzer yapar. Benzerlik oranı k ise karşılıklı uzunlukların oranı k, alanların oranı k², hacimlerin oranı k³’tür. Kesik piramidin hacmi büyük piramit hacminden tepede kalan küçük piramit hacmi çıkarılarak bulunabilir.
Örnek - 15
Bir piramit tabana paralel düzlemle, tepeden yüksekliğin 2/5’i uzaklıkta kesiliyor. Küçük piramidin hacmi büyük piramidin hacminin kaçta kaçıdır?
A) 4/25
B) 8/125
C) 2/5
D) 3/25
E) 16/125
Benzerlik oranı 2/5 olduğundan hacim oranı (2/5)³=8/125’tir.
Cevap: B
Örnek - 16
Kesik kare piramidin alt taban ayrıtı 12, üst taban ayrıtı 6 ve yüksekliği 8’dir. Tamamlandığında oluşan büyük piramidin yüksekliği kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Benzer küçük ve büyük piramitlerde ayrıt oranı 1/2’dir; küçük yükseklik H/2, kesik bölüm H/2=8 olduğundan H=16’dır.
Cevap: C
PİRAMİTTE UZUNLUK UYGULAMALARI
Düzgün piramitte tepe, taban merkezi, taban köşesi ve taban ayrıtının orta noktası farklı dik üçgenler oluşturur. Yan ayrıt verildiğinde taban merkezinden köşeye uzaklık; yan yüz yüksekliği verildiğinde taban merkezinden ayrıt ortasına uzaklık kullanılır.
Örnek - 17
Taban ayrıtı 8 ve yan yüz yüksekliği 10 olan düzgün kare piramidin toplam alanı kaçtır?
A) 192
B) 208
C) 224
D) 240
E) 256
Taban alanı 64, yanal alan 4·(8·10/2)=160’tır. Toplam 224’tür.
Cevap: C
Örnek - 18
Taban ayrıtı 12, yan ayrıtı 10 olan düzgün kare piramidin hacmi kaç birimküptür?
A) 48√7
B) 72√7
C) 84√7
D) 96√7
E) 108√7
Taban merkezinden köşeye uzaklık 6√2’dir. Piramit yüksekliği h için h²+(6√2)²=10² yazılır ve h=2√7 bulunur. Hacim 12²·2√7/3=96√7’dir.
Cevap: D
Dikkat
Piramidin h yüksekliği taban düzlemine diktir; yan yüz yüksekliği l ise bir yan yüzde bulunur. Düzgün kare piramitte l²=h²+(a/2)² bağıntısı kullanılır, h ile l aynı uzunluk değildir.
KONİ
DİK DAİRESEL KONİ
Dik dairesel konide tepe ile taban merkezi arasındaki doğru parçası h, taban yarıçapı r, ana doğru l’dir. Merkez kesitte l²=h²+r² bağıntısı kurulur. Hacim πr²h/3, yanal alan πrl, toplam alan πr(l+r) olur.
Örnek - 19
Yarıçapı 6, yüksekliği 8 olan dik koninin tabanı dâhil toplam yüzey alanı kaç π birimkaredir?
A) 84
B) 90
C) 96
D) 102
E) 108
Önce ana doğru l=√(6²+8²)=10 bulunur. Toplam alan πr(l+r)=π·6·(10+6)=96π’dir.
Cevap: C
Örnek - 20
Yarıçapı 6, ana doğrusu 10 olan dik koniyle aynı tabanı ve yüksekliği paylaşan silindirin, koni dışında kalan hacmi kaç π birimküptür?
A) 144
B) 168
C) 192
D) 216
E) 240
Koninin yüksekliği √(10²−6²)=8’dir. Silindir ile koninin hacim farkı π·6²·8−π·6²·8/3=192π’dir.
Cevap: C
KONİ AÇINIMI VE EN KISA YOL
Koninin yan yüzü açıldığında yarıçapı l olan bir daire dilimi oluşur. Bu dilimin yay uzunluğu taban çevresine eşittir: 2πr=(α/360°)·2πl. Koni yüzeyindeki en kısa yol, yan yüz açınımında iki nokta arasındaki doğru parçası olarak incelenir.
Örnek - 21
Ana doğrusu 12, taban yarıçapı 4 olan koninin açınımındaki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
A) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 150
Yay uzunluğu 2πr, sektör yarıçapı l’dir. α/360=r/l=1/3, α=120°’dir.
Cevap: D
KESİK KONİ
Tabana paralel kesilen konide küçük ve büyük koniler benzerdir; yarıçap, yükseklik ve ana doğru oranları aynıdır. Üçgen veya yamuk bir doğru etrafında döndürüldüğünde oluşan hacim, ortaya çıkan koni ve kesik konilerin toplamı ya da farkı üzerinden hesaplanır.
Örnek - 22
Bir koni yüksekliğinin yarısında tabana paralel kesiliyor. Kesik kısmın hacmi bütün koninin hacminin kaçta kaçıdır?
A) 1/8
B) 3/8
C) 5/8
D) 7/8
E) 3/4
Üstteki küçük koninin benzerlik oranı 1/2, hacim oranı 1/8’dir. Kesik kısmın oranı 1−1/8=7/8’dir.
Cevap: D
KONİ YÜZEYİNDE EN KISA YOL
Koninin tepe noktasıyla taban çevresindeki bir nokta arasındaki yüzey yolu bir ana doğrudur. Taban çevresindeki iki nokta arasında yüzey yolu sorulduğunda ise yan yüz açınımındaki doğru parçası kullanılır.
Örnek - 23
Yarıçapı 3, yüksekliği 4 olan koninin taban çevresindeki bir noktayla tepe arasında yüzey üzerindeki en kısa yol kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 3π
E) 5π/2
Tepe ile taban çevresindeki herhangi bir nokta arasındaki yüzey yolu ana doğrudur. l=√(3²+4²)=5’tir.
Cevap: B
DÖNEL CİSİMLER
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri çevresinde döndürülmesiyle dik dairesel koni oluşur. Dönme ekseni yüksekliği, eksene dik kalan kenar taban yarıçapını belirler.
Örnek - 24
Dik üçgenin dik kenarları 6 ve 8’dir. Üçgen 8 birimlik kenarı çevresinde döndürülüyor. Oluşan koninin hacmi kaç π birimküptür?
A) 72
B) 84
C) 96
D) 108
E) 144
Yarıçap 6, yükseklik 8’dir. V=π·6²·8/3=96π’dir.
Cevap: C
KÜRE
KÜRE, YARIM KÜRE VE DÜZLEMSEL KESİT
Uzayda sabit bir merkeze R uzaklıktaki noktalar küre yüzeyini oluşturur. Kürenin yüzey alanı 4πR², hacmi 4πR³/3’tür. Merkezden d uzaklıktaki bir düzlemin oluşturduğu dairesel kesitin yarıçapı ρ ise ρ²=R²−d² bağıntısı kullanılır. Yarım kürede düz taban alanının toplam alana dâhil edilip edilmediği ayrıca belirlenir.
Örnek - 25
Yarıçapı 6 olan kürenin yüzey alanına eşit toplam alana sahip 9 eş dairenin her birinin yarıçapı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Kürenin yüzey alanı 4π·6²=144π’dir. Bir dairenin alanı 144π/9=16π olduğundan yarıçapı 4’tür.
Cevap: C
Örnek - 26
Yarıçapı 5 olan küre merkezden 3 birim uzaktaki düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin alanı kaç π birimkaredir?
A) 9
B) 12
C) 16
D) 20
E) 25
Kesit yarıçapı ρ için ρ²=5²−3²=16’dır. Kesit alanı 16π’dir.
Cevap: C
KÜRENİN DİĞER KATILARLA İLİŞKİSİ
Küre bir küpe içten teğetse çap küpün ayrıtına, bir silindire içten teğetse çap silindirin hem yüksekliğine hem taban çapına eşittir. Sıvıya batırılan bir cismin yer değiştirdiği sıvı hacmi, batan hacme eşittir. İç içe katılarda istenen bölge toplam veya fark hacmiyle bulunur.
Örnek - 27
Yarıçapı 3 olan küre, yüksekliği ve çapı 6 olan silindire içten teğettir. Silindirin küre dışında kalan hacmi kaç π birimküptür?
A) 9
B) 12
C) 18
D) 24
E) 27
Silindir hacmi 54π, küre hacmi 36π’dir. Fark 18π’dir.
Cevap: C
Örnek - 28
Ayrıtı 6 olan küpün içine teğet kürenin hacminin küpün hacmine oranı kaçtır?
A) π/8
B) π/6
C) π/4
D) 2π/9
E) π/3
Kürenin yarıçapı 3’tür. Hacim oranı (4π·27/3)/216=36π/216=π/6’dır.
Cevap: B
Örnek - 29
Yarıçapı 4 olan kürenin yarısı suya batırılıyor. Yer değiştiren suyun hacmi kaç π birimküptür?
A) 64/3
B) 96/3
C) 128/3
D) 160/3
E) 256/3
Batan hacim yarım küre hacmidir: (1/2)·4π·4³/3=128π/3’tür.
Cevap: C
Örnek - 30
Taban yarıçapı 6, yüksekliği 8 olan dik dairesel koninin içine tabana ve yanal yüzeye teğet bir küre yerleştiriliyor. Koninin küre dışında kalan hacmi kaç π birimküptür?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 64
E) 72
Koninin eksenel kesiti, tabanı 12, yüksekliği 8 ve eş kenarları 10 olan ikizkenar üçgendir. Kesit alanı 48, yarı çevresi (12+10+10)/2=16 olduğundan içteğet çemberin ve dolayısıyla kürenin yarıçapı 48/16=3’tür. Koni hacmi (1/3)π·6²·8=96π, küre hacmi (4/3)π·3³=36π olur. Koninin küre dışında kalan hacmi 96π−36π=60π’dir.
