AYT fonksiyonlar, uygulamalar ve grafik yorumlama konu anlatımı kapsamında tanım ve görüntü kümeleri, bire bir ve örten fonksiyonlar, bileşke, ters fonksiyon, grafik dönüşümleri, değişim hızı ve modelleme işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
FONKSİYONUN TEMEL YAPISI
Fonksiyon Olma Koşulu, Tanım ve Görüntü Kümeleri
A kümesinden B kümesine tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için A’nın her elemanı B’de tam bir elemana gönderilmelidir. B’de eşleşmeyen eleman kalabilir; fakat A’daki bir elemanın görüntüsüz kalması veya iki farklı görüntüye gitmesi fonksiyon olma koşulunu bozar. Grafikte bu durum, dikey doğru testinin her x değeri için grafiği en fazla bir noktada kesmesiyle denetlenir.
Tanım kümesiGirdilerin tamamıdır.
Değer kümesiÇıktıların seçildiği kümedir.
Görüntü kümesiGerçekte elde edilen çıktılardır.
Fonksiyon kuralıHer girdiye tek çıktı verir.
Örnek - 1
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} olduğuna göre A’dan B’ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
A) 12
B) 24
C) 48
D) 64
E) 81
A’nın üç elemanının her biri B’deki dört elemandan herhangi birine gönderilebilir. Seçimler bağımsız olduğundan fonksiyon sayısı 43 = 64’tür.
Cevap: D
Örnek - 2
f(x) = √(2x − 1)x − 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?
A) [12, ∞)
B) (12, 3)
C) [12, 3) ∪ (3, ∞)
D) (−∞, 3)
E) R \ {3}
Karekök içi için 2x − 1 ≥ 0, yani x ≥ 1/2 olmalıdır. Payda nedeniyle x = 3 alınamaz. Tanım kümesi [1/2, 3) ∪ (3, ∞) olur.
Cevap: C
Örnek - 3
f(x) = x2 + 4x + 1 fonksiyonu [−1, 3] aralığında tanımlıdır. Buna göre f’nin görüntü kümesi hangisidir?
A) [−3, 22]
B) [−2, 22]
C) [−2, 13]
D) [1, 22]
E) [−3, 13]
Parabolün tepe noktasının apsisi −2’dir ve bu değer verilen aralığın dışındadır. Fonksiyon [−1, 3] boyunca artar. f(−1) = −2 ve f(3) = 22 olduğundan görüntü kümesi [−2, 22]’dir.
Cevap: B
Bire Bir, Örten ve Bijektif Fonksiyonlar
Bire bir fonksiyonda farklı girdiler farklı çıktılara gider. Örten fonksiyonda görüntü kümesi değer kümesine eşittir. Bu iki özellik birlikte sağlanıyorsa fonksiyon bijektiftir ve ters fonksiyon tanımlanabilir. Grafikte bire birlik yatay doğru testiyle; örtenlik ise hedef değer kümesindeki her y değerinin karşılanmasıyla değerlendirilir.
Örnek - 4
Dört elemanlı A kümesinden altı elemanlı B kümesine kaç farklı bire bir fonksiyon tanımlanabilir?
A) 120
B) 240
C) 360
D) 480
E) 720
İlk eleman için 6, ikinci için 5, üçüncü için 4 ve dördüncü için 3 seçenek vardır. Bire bir fonksiyon sayısı 6*5*4*3 = 360’tır.
Cevap: C
Örnek - 5
m, −2 ile 4 arasında bir tam sayıdır. f: R → R, f(x) = (m − 2)x + 5 fonksiyonu bijektif olduğuna göre m’nin kaç farklı değeri vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Doğrusal fonksiyonun R’den R’ye bijektif olması için eğimi sıfır olmamalıdır. m − 2 ≠ 0, yani m ≠ 2’dir. −2, −1, 0, 1, 3 ve 4 olmak üzere 6 değer vardır.
Cevap: C
Bileşke ve Ters Fonksiyon
(f∘g)(x) = f(g(x)) ifadesinde önce içteki g, sonra dıştaki f uygulanır. Ters fonksiyon ise çıktıyı yeniden girdiye götürür: f−1(f(x)) = x. Bileşke sırası genel olarak değiştirilemez; f∘g ile g∘f aynı olmak zorunda değildir.
Örnek - 6
f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x2 + 3 olduğuna göre (g∘f)(2) kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
Önce f(2) = 3 bulunur. Ardından g(3) = 32 + 3 = 12 olur.
Cevap: D
Örnek - 7
f(x) = 3x − 2x + 1
olduğuna göre f−1(1) kaçtır?
A) −2
B) −12
C) 1
D) 32
E) 2
f−1(1), f(x) = 1 eşitliğini sağlayan x değeridir. (3x − 2)/(x + 1) = 1 eşitliğinden 3x − 2 = x + 1 ve x = 3/2 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 8
f(x + 1) = 2x − 3 olduğuna göre f(5) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
x + 1 = 5 için x = 4 alınır. f(5) = 2*4 − 3 = 5’tir.
Cevap: C
Dikkat
Ters fonksiyondaki “−1” bir üs işlemi değildir. f−1(x), 1/f(x) anlamına gelmez; fonksiyonun giriş ve çıkış rollerini tersine çevirir.
FONKSİYON GRAFİĞİNİ OKUMA
Eksen Kesişimleri ve Pozitif-Negatif Bölgeler
Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Eğri x ekseninin üstündeyse f(x) pozitif, altındaysa negatiftir. Y ekseni kesişimi ise x = 0 için bulunan f(0) değeridir.
Grafik x eksenini −3, 0 ve 3 noktalarında keser. Eğri; (−3, 0) ve (3, 5] aralıklarında eksenin üstünde, [−4, −3) ve (0, 3) aralıklarında eksenin altındadır.
Örnek - 9
Aşağıda [−5, 6] aralığında tanımlı y = f(x) grafiği verilmiştir.
f(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−5, −3] ∪ [1, 5]
B) (−5, −3) ∪ (1, 5)
C) [−3, 1] ∪ [5, 6]
D) [−5, 1] ∪ [5, 6]
E) [−3, 5]
Grafik [−5, −3] ve [1, 5] aralıklarında x ekseninin altında veya x ekseni üzerindedir. Eşitlik bulunduğu için −3, 1 ve 5 kökleri çözüme dâhildir.
Cevap: A
Örnek - 10
Bir f fonksiyonu için f(t) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−2, 4]’tür. Buna göre f(2x − 1) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 4]
B) [−1, 2]
C) [−12, 52]
D) [0, 3]
E) [1, 5]
f(t) ≤ 0 için −2 ≤ t ≤ 4’tür. t = 2x − 1 yazılırsa −2 ≤ 2x − 1 ≤ 4, yani −1 ≤ 2x ≤ 5 elde edilir. Sonuç [−1/2, 5/2]’dir.
Cevap: C
Artma-Azalma, Ekstremum ve Görüntü Kümesi
x değeri büyürken fonksiyon değerleri de büyüyorsa fonksiyon artan; küçülüyorsa azalandır. Bir artışın azalışa döndüğü iç nokta yerel maksimum, azalışın artışa döndüğü nokta yerel minimum olabilir. Görüntü kümesi bulunurken yalnız uç noktalar değil, grafiğin ulaştığı bütün en küçük ve en büyük y değerleri dikkate alınır.
Açık aralıkta verilen artma/azalma bilgisi uç nokta değerlerini karşılaştırmaya katmaz. Kapalı aralıkta sıkı artanlık için x₁ < x₂ olduğunda f(x₁) < f(x₂), sıkı azalanlık için f(x₁) > f(x₂) olur.
Örnek - 11
f fonksiyonu [−4, −1] aralığında sıkı artan, [−1, 2] aralığında sıkı azalan ve [2, 6] aralığında sıkı artandır. Buna göre
I. f(−3) < f(−1) II. f(0) > f(2) III. f(4) > f(2)
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
−3 < −1 ve f, [−4, −1] aralığında sıkı artan olduğundan f(−3) < f(−1); I doğrudur. 0 < 2 ve f, [−1, 2] aralığında sıkı azalan olduğundan f(0) > f(2); II doğrudur. 2 < 4 ve f, [2, 6] aralığında sıkı artan olduğundan f(2) < f(4); III doğrudur.
Cevap: E
Örnek - 12
f: [−5, 4] → R fonksiyonu [−5, 4] aralığında süreklidir. En küçük değeri −2, en büyük değeri 7’dir ve fonksiyon bu iki değeri de almaktadır. Buna göre f’nin görüntü kümesi hangisidir?
A) (−2, 7)
B) [−2, 7]
C) [−5, 4]
D) (−5, 4]
E) R
f, [−5, 4] aralığında sürekli olduğundan −2 ile 7 arasındaki bütün ara değerleri alır. En küçük ve en büyük değerler de alındığı için görüntü kümesi [−2, 7]’dir.
Cevap: B
Ortalama Değişim Hızı
Bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, grafiğin (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kirişin eğimidir:
f(b) − f(a)b − a
Bu oran pozitifse aralığın iki ucu arasında net artış, negatifse net azalış vardır. Fonksiyon aralık içinde yön değiştirse bile ortalama değişim yalnız uç değerlerle hesaplanır.
Örnek - 13
f(x) = x2 − 4x + 1 fonksiyonunun [1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 2
E) 4
f(1) = −2 ve f(5) = 6’dır. Ortalama değişim hızı (6 − (−2))/(5 − 1) = 8/4 = 2 olur.
Cevap: D
GRAFİK DÖNÜŞÜMLERİ VE SİMETRİ
Yatay-Dikey Öteleme ve Yansıma
g(x) = f(x − a) + b dönüşümünde y = f(x) grafiğindeki her (x, y) noktası (x + a, y + b) noktasına taşınır. a > 0 ise a birim sağa, a < 0 ise |a| birim sola; b > 0 ise b birim yukarı, b < 0 ise |b| birim aşağı öteler. −f(x), her (x, y) noktasını (x, −y)’ye taşıyarak x eksenine; f(−x) ise (−x, y)’ye taşıyarak y eksenine göre yansıtır.
f(x − a)a birim sağa
→
f(x) + bb birim yukarı
→
−f(x)x eksenine göre yansıma
→
f(−x)y eksenine göre yansıma
Aynı parabol her panelde korunur; dönüşüm, tepe noktasının konumundan ve eğrinin eksenlere göre yerinden okunur.
Örnek - 14
y = f(x) grafiği üzerindeki A(−1, 4) noktası, g(x) = f(x − 3) + 2 grafiğinde hangi noktaya dönüşür?
A) (−4, 2)
B) (−4, 6)
C) (2, 2)
D) (2, 6)
E) (4, 7)
Grafik 3 birim sağa ve 2 birim yukarı taşınır. A(−1, 4) noktası (−1 + 3, 4 + 2) = (2, 6) olur.
Cevap: D
Örnek - 15
f(2) = −1 ve h(x) = −2f(x + 1) + 3 olduğuna göre h(1) kaçtır?
A) −5
B) −1
C) 1
D) 3
E) 5
x = 1 için içteki değer x + 1 = 2 olur. h(1) = −2f(2) + 3 = −2*(−1) + 3 = 5’tir.
Cevap: E
Örnek - 16
Aşağıda [−4, 6] aralığında tanımlı y = f(x) grafiği verilmiştir.
g(x) = −f(x − 2) olduğuna göre g(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−4, −2]
B) [−2, 3]
C) [0, 5]
D) [2, 6]
E) (−∞, 0] ∪ [5, ∞)
g(x) ≥ 0 için f(x − 2) ≤ 0 olmalıdır. Grafikten f(t) ≤ 0 koşulu −2 ≤ t ≤ 3 aralığında sağlanır. t = x − 2 olduğundan 0 ≤ x ≤ 5 bulunur.
Cevap: C
Tek ve Çift Fonksiyonlarda Simetri
f(−x) = f(x) ise fonksiyon çifttir ve grafiği y eksenine göre simetriktir. f(−x) = −f(x) ise fonksiyon tektir ve grafiği orijine göre simetriktir. Tek fonksiyonun tanım kümesi 0’ı içeriyorsa f(0) = 0 olmak zorundadır.
Örnek - 17
f(x) = x5 + (m − 2)x4 + 3x3 + (n + 1)x2 + 2x fonksiyonu tek olduğuna göre m + n kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Tek fonksiyonun polinomunda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. m − 2 = 0 ve n + 1 = 0 olduğundan m = 2, n = −1 ve m + n = 1’dir.
Cevap: D
Örnek - 18
f tek, g çift fonksiyondur. f(3) = 5 ve g(3) = −2 olduğuna göre f(−3) + g(−3) kaçtır?
A) −7
B) −3
C) 3
D) 5
E) 7
Teklikten f(−3) = −f(3) = −5, çiftlikten g(−3) = g(3) = −2 olur. Toplam −7’dir.
Cevap: A
Dikkat
f(x − a) ifadesindeki “−a” grafiği sola değil sağa taşır. Yatay dönüşümlerde işaretin ters okunması, grafik sorularındaki en yaygın hatalardan biridir.
PARÇALI VE MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLAR
Parçalı Fonksiyonun Kuralını ve Grafiğini Okuma
Parçalı fonksiyonda her kural yalnız kendi koşulunda uygulanır. Sınır noktasının hangi parçaya ait olduğu `<`, `≤`, `>` ve `≥` işaretleriyle belirlenir. Grafik çiziminde dâhil edilen uç dolu, dışlanan uç boş noktayla gösterilir.
Örnek - 19
f(x) = { 2x + a, x < 1 x2 + 1, x ≥ 1 }
Grafiğin x = 1 noktasında kopukluk göstermemesi için a kaç olmalıdır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Sağ parçanın x = 1’deki değeri 12 + 1 = 2’dir. Sol parça x = 1’e yaklaşırken 2 + a değerine gider. İki değer eşit olmalı: 2 + a = 2, dolayısıyla a = 0’dır.
Cevap: C
Örnek - 20
f(x) = { x + 3, x < −1 x2 − 1, −1 ≤ x ≤ 2 5 − x, x > 2 }
olduğuna göre f(−2) + f(0) + f(4) kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
−2 için ilk kuraldan f(−2) = 1, 0 için ikinci kuraldan f(0) = −1, 4 için üçüncü kuraldan f(4) = 1 bulunur. Toplam 1’dir.
Cevap: C
Mutlak Değer Dönüşümleri
y = |f(x)| grafiğinde f grafiğinin x ekseninin altında kalan parçaları yukarı yansır. y = f(|x|) grafiğinde ise önce x ≥ 0 tarafı alınır, sonra bu parça y eksenine göre sola yansıtılır. |f(x)| ile f(|x|) aynı dönüşüm değildir.
Örnek - 21
Sürekli bir f fonksiyonunun görüntü kümesi [−3, 4] ve f(x) = 0 denkleminin en az bir çözümü vardır. Buna göre |f(x)| fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
A) [−3, 4]
B) [0, 3]
C) [0, 4]
D) [3, 4]
E) [−4, 4]
Mutlak değer bütün çıktıları negatif olmayan değerlere taşır. En büyük mutlak değer max{|−3|, |4|} = 4’tür. Fonksiyon sıfır değerini aldığı için alt uç 0’dır; görüntü kümesi [0, 4] olur.
Cevap: C
Örnek - 22
f(x) = x2 − 4x − 5 olduğuna göre |f(x)| = 5 denkleminin kaç farklı gerçek çözümü vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
|f(x)| = 5 için f(x) = 5 veya f(x) = −5 olmalıdır. İlkinden x2 − 4x − 10 = 0 denklemi iki gerçek kök verir. İkinciden x2 − 4x = 0, yani x = 0 ve x = 4 elde edilir. Kökler çakışmadığı için toplam 4 çözüm vardır.
Cevap: D
FONKSİYONLARLA MODELLEME VE DEĞİŞİM
Doğrusal Modeller ve Eşik Değeri
Gerçek hayat probleminde sabit ücret y ekseni kesişimini, birim başına değişim ise doğrunun eğimini verir. İki modelin eşitlendiği x değeri başabaş noktasıdır; bu noktanın iki yanında hangi modelin daha avantajlı olduğu eğimlere göre değişir.
Örnek - 23
A planının maliyeti A(x) = 120 + 8x, B planının maliyeti B(x) = 60 + 12x liradır. x kullanım miktarı olduğuna göre A planı hangi durumda daha ucuzdur?
A) x < 10
B) x < 15
C) x = 15
D) x > 15
E) Her x için
A(x) < B(x) için 120 + 8x < 60 + 12x yazılır. 60 < 4x olduğundan x > 15 elde edilir. x = 15’te maliyetler eşittir.
Cevap: D
İkinci Derece Modeller ve Tepe Noktası
İkinci derece modelin grafiği paraboldür. Katsayı negatifse parabol aşağı açılır ve tepe noktası en büyük değeri; katsayı pozitifse yukarı açılır ve tepe noktası en küçük değeri verir. Gerçek yaşam modelinde tepe noktasının tanım aralığında olup olmadığı ayrıca kontrol edilir.
Örnek - 24
Bir cismin yerden yüksekliği 0 ≤ t ≤ 8 için h(t) = −t2 + 8t + 5 modeliyle veriliyor. Cismin ulaştığı en büyük yükseklik kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
h(t) = −(t − 4)2 + 21 biçiminde yazılır. Tepe noktası t = 4, verilen 0 ≤ t ≤ 8 aralığındadır. Negatif kare terimi en büyük değerini 0 aldığından maksimum yükseklik 21 birimdir.
Cevap: D
Fonksiyonel Eşitlikler ve Simetrik Girdiler
Fonksiyonel eşitlikte hedef değer doğrudan verilmemişse girdinin biçimi eşleştirilir. x ve a − x gibi simetrik girdiler birlikte bulunuyorsa aynı iki fonksiyon değeri farklı sıralarla ortaya çıkabilir; bu yapı gereksiz denklem çözmeden toplamı belirlemeyi sağlar.
Örnek - 25
Her gerçek x için f(x) + f(6 − x) = 2x2 − 12x + 20 olduğuna göre f(2) + f(4) kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
x = 2 yazıldığında sol taraf f(2) + f(4) olur. Sağ taraf 2*22 − 12*2 + 20 = 8 − 24 + 20 = 4’tür.
Cevap: C
AYT DÜZEYİNDE KARMA GRAFİK UYGULAMALARI
Grafik, İşaret ve Dönüşümün Birlikte Kullanımı
Bir grafikte f(x) > 0 olduğu aralık, eğrinin x ekseninin üstünde kaldığı yerlerden okunur. g(x) = −f(x − a) + b için g(x) < b eşitsizliği f(x − a) > 0 ile denktir; t = x − a yazılarak aralık x için çözülür.
Örnek - 26
f’nin grafiğinden f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−2, 3) olarak okunuyor. g(x) = −f(x − 1) + 2 olduğuna göre g(x) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−3, 2)
B) (−1, 4)
C) [−1, 4]
D) (−2, 3)
E) (−∞, −1) ∪ (4, ∞)
g(x) < 2 için −f(x − 1) + 2 < 2, dolayısıyla f(x − 1) > 0 olmalıdır. t = x − 1 dersek −2 < x − 1 < 3, yani −1 < x < 4 bulunur. Uçlar çözüm aralığına dahil olmadığından çözüm kümesi (−1, 4)’tür.
Cevap: B
Örnek - 27
Aşağıda [−5, 5] aralığında tanımlı y = h(x) grafiği verilmiştir.
Grafikten h; [−5, −4) aralığında negatif, (−4, 0) aralığında pozitif, (0, 3) aralığında negatif ve (3, 5] aralığında pozitiftir. x − 1, 1’in solunda negatif ve sağında pozitiftir. Çarpımın sıfır veya pozitif olduğu bölgeler [−5, −4] ∪ [0, 1] ∪ [3, 5]’tir.
Cevap: A
Tablodan Bileşke Okuma
(f∘g)(x) için önce tabloda g(x) bulunur, sonra bu değer f fonksiyonunun girdisi olarak okunur. (g∘f)(x) için sıra tersidir; içteki fonksiyonun çıktısı dıştaki fonksiyonun girdisidir.
Örnek - 28
f ve g fonksiyonlarının bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
x
−2
0
1
3
f(x)
1
3
0
−2
g(x)
3
−2
1
0
(g∘f)(−2) + (f∘g)(0) kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
f(−2) = 1 olduğundan g(f(−2)) = g(1) = 1’dir. g(0) = −2 olduğundan f(g(0)) = f(−2) = 1’dir. Toplam 2 olur.
Cevap: D
Dikkat
Grafik sorusunda yalnız şeklin genel görünümüne bakmak yeterli değildir. Tanım aralığı, açık-kapalı uçlar, kökler, yön değişimleri ve kullanılan dönüşüm ayrı ayrı okunmalıdır.
