AYT fonksiyonlar uygulamalar ve grafik yorumlama konu anlatımı; fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerinden bire bir-örten yapıya, bileşke ve ters fonksiyondan grafik dönüşümleri, değişim hızı ve modellemeye kadar AYT’de birlikte kullanılan kavramları kapsar. Bu konuda yalnız bir kuralı uygulamak yeterli değildir; cebirsel ifade, tablo, grafik ve sözel durum arasında doğru geçiş kurulmalıdır.
Grafikte eksen kesişimleri, pozitif-negatif bölgeler, artma-azalma, maksimum-minimum ve görüntü kümesi aynı şeklin farklı okumalarıdır. Dönüşüm sorularında ise grafiğin hangi yönde ve ne kadar hareket ettiği, işlemin fonksiyonun içinde mi dışında mı bulunduğuna göre belirlenir.
FONKSİYONUN TEMEL YAPISI
Fonksiyon Olma Koşulu, Tanım ve Görüntü Kümeleri
A kümesinden B kümesine tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için A’nın her elemanı B’de tam bir elemana gönderilmelidir. B’de eşleşmeyen eleman kalabilir; fakat A’daki bir elemanın görüntüsüz kalması veya iki farklı görüntüye gitmesi fonksiyon olma koşulunu bozar. Grafikte bu durum, dikey doğru testinin her x değeri için grafiği en fazla bir noktada kesmesiyle denetlenir.
Tanım kümesiGirdilerin tamamıdır.
Değer kümesiÇıktıların seçildiği kümedir.
Görüntü kümesiGerçekte elde edilen çıktılardır.
Fonksiyon kuralıHer girdiye tek çıktı verir.
Örnek - 1
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} olduğuna göre A’dan B’ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
A) 12
B) 24
C) 48
D) 64
E) 81
A’nın üç elemanının her biri B’deki dört elemandan herhangi birine gönderilebilir. Seçimler bağımsız olduğundan fonksiyon sayısı 43 = 64’tür.
Cevap: D
Örnek - 2
f(x) = √(2x − 1)x − 3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?
A) [12, ∞)
B) (12, 3)
C) [12, 3) ∪ (3, ∞)
D) (−∞, 3)
E) R \ {3}
Karekök içi için 2x − 1 ≥ 0, yani x ≥ 1/2 olmalıdır. Payda nedeniyle x = 3 alınamaz. Tanım kümesi [1/2, 3) ∪ (3, ∞) olur.
Cevap: C
Örnek - 3
f(x) = x2 + 4x + 1 fonksiyonu [−1, 3] aralığında tanımlıdır. Buna göre f’nin görüntü kümesi hangisidir?
A) [−3, 22]
B) [−2, 22]
C) [−2, 13]
D) [1, 22]
E) [−3, 13]
Parabolün tepe noktasının apsisi −2’dir ve bu değer verilen aralığın dışındadır. Fonksiyon [−1, 3] boyunca artar. f(−1) = −2 ve f(3) = 22 olduğundan görüntü kümesi [−2, 22]’dir.
Cevap: B
Bire Bir, Örten ve Bijektif Fonksiyonlar
Bire bir fonksiyonda farklı girdiler farklı çıktılara gider. Örten fonksiyonda görüntü kümesi değer kümesine eşittir. Bu iki özellik birlikte sağlanıyorsa fonksiyon bijektiftir ve ters fonksiyon tanımlanabilir. Grafikte bire birlik yatay doğru testiyle; örtenlik ise hedef değer kümesindeki her y değerinin karşılanmasıyla değerlendirilir.
Örnek - 4
Dört elemanlı A kümesinden altı elemanlı B kümesine kaç farklı bire bir fonksiyon tanımlanabilir?
A) 120
B) 240
C) 360
D) 480
E) 720
İlk eleman için 6, ikinci için 5, üçüncü için 4 ve dördüncü için 3 seçenek vardır. Bire bir fonksiyon sayısı 6*5*4*3 = 360’tır.
Cevap: C
Örnek - 5
m, −2 ile 4 arasında bir tam sayıdır. f: R → R, f(x) = (m − 2)x + 5 fonksiyonu bijektif olduğuna göre m’nin kaç farklı değeri vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Doğrusal fonksiyonun R’den R’ye bijektif olması için eğimi sıfır olmamalıdır. m − 2 ≠ 0, yani m ≠ 2’dir. −2, −1, 0, 1, 3 ve 4 olmak üzere 6 değer vardır.
Cevap: C
Bileşke ve Ters Fonksiyon
(f∘g)(x) = f(g(x)) ifadesinde önce içteki g, sonra dıştaki f uygulanır. Ters fonksiyon ise çıktıyı yeniden girdiye götürür: f−1(f(x)) = x. Bileşke sırası genel olarak değiştirilemez; f∘g ile g∘f aynı olmak zorunda değildir.
Örnek - 6
f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x2 + 3 olduğuna göre (g∘f)(2) kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
Önce f(2) = 3 bulunur. Ardından g(3) = 32 + 3 = 12 olur.
Cevap: D
Örnek - 7
f(x) = 3x − 2x + 1
olduğuna göre f−1(1) kaçtır?
A) −2
B) −12
C) 1
D) 32
E) 2
f−1(1), f(x) = 1 eşitliğini sağlayan x değeridir. (3x − 2)/(x + 1) = 1 eşitliğinden 3x − 2 = x + 1 ve x = 3/2 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 8
f(x + 1) = 2x − 3 olduğuna göre f(5) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
x + 1 = 5 için x = 4 alınır. f(5) = 2*4 − 3 = 5’tir.
Cevap: C
Dikkat
Ters fonksiyondaki “−1” bir üs işlemi değildir. f−1(x), 1/f(x) anlamına gelmez; fonksiyonun giriş ve çıkış rollerini tersine çevirir.
FONKSİYON GRAFİĞİNİ OKUMA
Eksen Kesişimleri ve Pozitif-Negatif Bölgeler
Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Eğri x ekseninin üstündeyse f(x) pozitif, altındaysa negatiftir. Y ekseni kesişimi ise x = 0 için bulunan f(0) değeridir.
Grafik x eksenini −3, 0 ve 3 noktalarında keser. Eğri; (−3, 0) ve (3, 5] aralıklarında eksenin üstünde, [−4, −3) ve (0, 3) aralıklarında eksenin altındadır.
Örnek - 9
Aşağıda [−5, 6] aralığında tanımlı y = f(x) grafiği verilmiştir.
f(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−5, −3] ∪ [1, 5]
B) (−5, −3) ∪ (1, 5)
C) [−3, 1] ∪ [5, 6]
D) [−5, 1] ∪ [5, 6]
E) [−3, 5]
Grafik [−5, −3] ve [1, 5] aralıklarında x ekseninin altında veya x ekseni üzerindedir. Eşitlik bulunduğu için −3, 1 ve 5 kökleri çözüme dâhildir.
Cevap: A
Örnek - 10
Bir f fonksiyonu için f(t) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−2, 4]’tür. Buna göre f(2x − 1) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 4]
B) [−1, 2]
C) [−12, 52]
D) [0, 3]
E) [1, 5]
f(t) ≤ 0 için −2 ≤ t ≤ 4’tür. t = 2x − 1 yazılırsa −2 ≤ 2x − 1 ≤ 4, yani −1 ≤ 2x ≤ 5 elde edilir. Sonuç [−1/2, 5/2]’dir.
Cevap: C
Artma-Azalma, Ekstremum ve Görüntü Kümesi
x değeri büyürken fonksiyon değerleri de büyüyorsa fonksiyon artan; küçülüyorsa azalandır. Bir artışın azalışa döndüğü iç nokta yerel maksimum, azalışın artışa döndüğü nokta yerel minimum olabilir. Görüntü kümesi bulunurken yalnız uç noktalar değil, grafiğin ulaştığı bütün en küçük ve en büyük y değerleri dikkate alınır.
Örnek - 11
f fonksiyonu (−4, −1) aralığında artan, (−1, 2) aralığında azalan ve (2, 6) aralığında artandır. Buna göre
I. f(−3) < f(−1)
II. f(0) > f(2)
III. f(4) > f(2)
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
−3 < −1 ve ilk aralıkta fonksiyon arttığı için I doğrudur. 0 < 2 ve bu aralıkta fonksiyon azaldığı için II doğrudur. 2 < 4 ve son aralıkta fonksiyon arttığı için III de doğrudur.
Cevap: E
Örnek - 12
f: [−5, 4] → R fonksiyonunun en küçük değeri −2, en büyük değeri 7’dir ve fonksiyon bu iki değeri de almaktadır. Buna göre f’nin görüntü kümesi hangisidir?
A) (−2, 7)
B) [−2, 7]
C) [−5, 4]
D) (−5, 4]
E) R
Görüntü kümesi alınan y değerlerinden oluşur. En küçük ve en büyük değerler de alındığı için iki uç kapalıdır: [−2, 7].
Cevap: B
Ortalama Değişim Hızı
Bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, grafiğin (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen kirişin eğimidir:
f(b) − f(a)b − a
Bu oran pozitifse aralığın iki ucu arasında net artış, negatifse net azalış vardır. Fonksiyon aralık içinde yön değiştirse bile ortalama değişim yalnız uç değerlerle hesaplanır.
Örnek - 13
f(x) = x2 − 4x + 1 fonksiyonunun [1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 2
E) 4
f(1) = −2 ve f(5) = 6’dır. Ortalama değişim hızı (6 − (−2))/(5 − 1) = 8/4 = 2 olur.
Cevap: D
GRAFİK DÖNÜŞÜMLERİ VE SİMETRİ
Yatay-Dikey Öteleme ve Yansıma
g(x) = f(x − a) + b grafiği, f grafiğinin a birim sağa ve b birim yukarı ötelenmiş hâlidir. Fonksiyonun içindeki işaret yatay hareketi ters yönde; dışındaki sayı dikey hareketi aynı yönde belirler. −f(x), x eksenine; f(−x), y eksenine göre yansımadır.
f(x − a)a birim sağa
→
f(x) + bb birim yukarı
→
−f(x)x eksenine göre yansıma
→
f(−x)y eksenine göre yansıma
Örnek - 14
y = f(x) grafiği üzerindeki A(−1, 4) noktası, g(x) = f(x − 3) + 2 grafiğinde hangi noktaya dönüşür?
A) (−4, 2)
B) (−4, 6)
C) (2, 2)
D) (2, 6)
E) (4, 7)
Grafik 3 birim sağa ve 2 birim yukarı taşınır. A(−1, 4) noktası (−1 + 3, 4 + 2) = (2, 6) olur.
Cevap: D
Örnek - 15
f(2) = −1 ve h(x) = −2f(x + 1) + 3 olduğuna göre h(1) kaçtır?
A) −5
B) −1
C) 1
D) 3
E) 5
x = 1 için içteki değer x + 1 = 2 olur. h(1) = −2f(2) + 3 = −2*(−1) + 3 = 5’tir.
Cevap: E
Örnek - 16
Aşağıda [−4, 6] aralığında tanımlı y = f(x) grafiği verilmiştir.
g(x) = −f(x − 2) olduğuna göre g(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−4, −2]
B) [−2, 3]
C) [0, 5]
D) [2, 6]
E) (−∞, 0] ∪ [5, ∞)
g(x) ≥ 0 için f(x − 2) ≤ 0 olmalıdır. Grafikten f(t) ≤ 0 koşulu −2 ≤ t ≤ 3 aralığında sağlanır. t = x − 2 olduğundan 0 ≤ x ≤ 5 bulunur.
Cevap: C
Tek ve Çift Fonksiyonlarda Simetri
f(−x) = f(x) ise fonksiyon çifttir ve grafiği y eksenine göre simetriktir. f(−x) = −f(x) ise fonksiyon tektir ve grafiği orijine göre simetriktir. Tek fonksiyonun tanım kümesi 0’ı içeriyorsa f(0) = 0 olmak zorundadır.
Örnek - 17
f(x) = x5 + (m − 2)x4 + 3x3 + (n + 1)x2 + 2x fonksiyonu tek olduğuna göre m + n kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Tek fonksiyonun polinomunda çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. m − 2 = 0 ve n + 1 = 0 olduğundan m = 2, n = −1 ve m + n = 1’dir.
Cevap: D
Örnek - 18
f tek, g çift fonksiyondur. f(3) = 5 ve g(3) = −2 olduğuna göre f(−3) + g(−3) kaçtır?
A) −7
B) −3
C) 3
D) 5
E) 7
Teklikten f(−3) = −f(3) = −5, çiftlikten g(−3) = g(3) = −2 olur. Toplam −7’dir.
Cevap: A
Dikkat
f(x − a) ifadesindeki “−a” grafiği sola değil sağa taşır. Yatay dönüşümlerde işaretin ters okunması, grafik sorularındaki en yaygın hatalardan biridir.
PARÇALI VE MUTLAK DEĞERLİ FONKSİYONLAR
Parçalı Fonksiyonun Kuralını ve Grafiğini Okuma
Parçalı fonksiyonda her kural yalnız kendi koşulunda uygulanır. Sınır noktasının hangi parçaya ait olduğu `<`, `≤`, `>` ve `≥` işaretleriyle belirlenir. Grafik çiziminde dâhil edilen uç dolu, dışlanan uç boş noktayla gösterilir.
Örnek - 19
f(x) = { 2x + a, x < 1
x2 + 1, x ≥ 1 }
Grafiğin x = 1 noktasında kopukluk göstermemesi için a kaç olmalıdır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Sağ parçanın x = 1’deki değeri 12 + 1 = 2’dir. Sol parça x = 1’e yaklaşırken 2 + a değerine gider. İki değer eşit olmalı: 2 + a = 2, dolayısıyla a = 0’dır.
Cevap: C
Örnek - 20
f(x) = { x + 3, x < −1
x2 − 1, −1 ≤ x ≤ 2
5 − x, x > 2 }
olduğuna göre f(−2) + f(0) + f(4) kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
−2 için ilk kuraldan f(−2) = 1, 0 için ikinci kuraldan f(0) = −1, 4 için üçüncü kuraldan f(4) = 1 bulunur. Toplam 1’dir.
Cevap: C
Mutlak Değer Dönüşümleri
y = |f(x)| grafiğinde f grafiğinin x ekseninin altında kalan parçaları yukarı yansır. y = f(|x|) grafiğinde ise önce x ≥ 0 tarafı alınır, sonra bu parça y eksenine göre sola yansıtılır. |f(x)| ile f(|x|) aynı dönüşüm değildir.
Örnek - 21
Sürekli bir f fonksiyonunun görüntü kümesi [−3, 4] ve f(x) = 0 denkleminin en az bir çözümü vardır. Buna göre |f(x)| fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
A) [−3, 4]
B) [0, 3]
C) [0, 4]
D) [3, 4]
E) [−4, 4]
Mutlak değer bütün çıktıları negatif olmayan değerlere taşır. En büyük mutlak değer max{|−3|, |4|} = 4’tür. Fonksiyon sıfır değerini aldığı için alt uç 0’dır; görüntü kümesi [0, 4] olur.
Cevap: C
Örnek - 22
f(x) = x2 − 4x − 5 olduğuna göre |f(x)| = 5 denkleminin kaç farklı gerçek çözümü vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
|f(x)| = 5 için f(x) = 5 veya f(x) = −5 olmalıdır. İlkinden x2 − 4x − 10 = 0 denklemi iki gerçek kök verir. İkinciden x2 − 4x = 0, yani x = 0 ve x = 4 elde edilir. Kökler çakışmadığı için toplam 4 çözüm vardır.
Cevap: D
FONKSİYONLARLA MODELLEME VE DEĞİŞİM
Doğrusal Modeller ve Eşik Değeri
Gerçek hayat probleminde sabit ücret y ekseni kesişimini, birim başına değişim ise doğrunun eğimini verir. İki modelin eşitlendiği x değeri başabaş noktasıdır; bu noktanın iki yanında hangi modelin daha avantajlı olduğu eğimlere göre değişir.
Örnek - 23
A planının maliyeti A(x) = 120 + 8x, B planının maliyeti B(x) = 60 + 12x liradır. x kullanım miktarı olduğuna göre A planı hangi durumda daha ucuzdur?
A) x < 10
B) x < 15
C) x = 15
D) x > 15
E) Her x için
A(x) < B(x) için 120 + 8x < 60 + 12x yazılır. 60 < 4x olduğundan x > 15 elde edilir. x = 15’te maliyetler eşittir.
Cevap: D
Örnek - 24
Bir cismin yerden yüksekliği 0 ≤ t ≤ 8 için h(t) = −t2 + 8t + 5 modeliyle veriliyor. Cismin ulaştığı en büyük yükseklik kaç birimdir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
h(t) = −(t − 4)2 + 21 biçiminde yazılır. Negatif kare terimi en büyük değerini t = 4’te 0 alır; maksimum yükseklik 21 birimdir.
Cevap: D
Fonksiyonel Eşitlikler ve Simetrik Girdiler
Fonksiyonel eşitlikte hedef değer doğrudan verilmemişse girdinin biçimi eşleştirilir. x ve a − x gibi simetrik girdiler birlikte bulunuyorsa aynı iki fonksiyon değeri farklı sıralarla ortaya çıkabilir; bu yapı gereksiz denklem çözmeden toplamı belirlemeyi sağlar.
Örnek - 25
Her gerçek x için f(x) + f(6 − x) = 2x2 − 12x + 20 olduğuna göre f(2) + f(4) kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
x = 2 yazıldığında sol taraf f(2) + f(4) olur. Sağ taraf 2*22 − 12*2 + 20 = 8 − 24 + 20 = 4’tür.
Cevap: C
AYT DÜZEYİNDE KARMA GRAFİK UYGULAMALARI
Grafik, İşaret ve Dönüşümün Birlikte Kullanımı
Örnek - 26
f ve g fonksiyonları için f(1) = 3, g(3) = −2 ve f(−2) = 1’dir. Buna göre (f∘g)(3) + (g∘f)(1) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) −4
B) −2
C) −1
D) 1
E) 3
(f∘g)(3) = f(g(3)) = f(−2) = 1’dir. (g∘f)(1) = g(f(1)) = g(3) = −2 olur. Toplam −1’dir.
Cevap: C
Örnek - 27
Aşağıda [−5, 5] aralığında tanımlı y = h(x) grafiği verilmiştir.
Grafikten h; [−5, −4) aralığında negatif, (−4, 0) aralığında pozitif, (0, 3) aralığında negatif ve (3, 5] aralığında pozitiftir. x − 1, 1’in solunda negatif ve sağında pozitiftir. Çarpımın sıfır veya pozitif olduğu bölgeler [−5, −4] ∪ [0, 1] ∪ [3, 5]’tir.
Cevap: A
Tablodan Bileşke Okuma
Örnek - 28
f ve g fonksiyonlarının bazı değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
x
−2
0
1
3
f(x)
1
3
0
−2
g(x)
3
−2
1
0
(g∘f)(−2) + (f∘g)(0) kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
f(−2) = 1 olduğundan g(f(−2)) = g(1) = 1’dir. g(0) = −2 olduğundan f(g(0)) = f(−2) = 1’dir. Toplam 2 olur.
Cevap: D
Dikkat
Grafik sorusunda yalnız şeklin genel görünümüne bakmak yeterli değildir. Tanım aralığı, açık-kapalı uçlar, kökler, yön değişimleri ve kullanılan dönüşüm ayrı ayrı okunmalıdır.
