AYT parabol konu anlatımı; ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini kurma, tepe noktası ve simetri eksenini bulma, görüntü kümesini belirleme, parabol denklemi yazma, doğruyla ortak noktaları inceleme ve gerçek yaşam modellerini çözme adımlarını birlikte ele alır. Parabol sorularında cebirsel ifade ile grafik birbirinden ayrı düşünülmez: katsayılar grafiğin yönünü ve açıklığını, kökler eksen kesişimlerini, tepe noktası ise en büyük ya da en küçük değeri belirler.
Bir parabolü doğru okumak için genel form, kökler formu ve tepe noktası formu arasında geçiş yapabilmek gerekir. Aşağıdaki anlatımda her formun hangi bilgiyi doğrudan verdiği gösterilecek; ardından grafik, dönüşüm, teğetlik ve modelleme sorularında bu bilgiler birlikte kullanılacaktır.
PARABOLÜN TEMEL YAPISI
İkinci Dereceden Fonksiyon ve Kolların Yönü
f(x) = ax2 + bx + c ve a ≠ 0 olmak üzere bu fonksiyonun grafiğine parabol denir. a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise aşağı yönelir. |a| büyüdükçe grafik y ekseni doğrultusunda daha hızlı değişir ve dar görünür; |a| küçüldükçe daha geniş görünür. c = f(0) olduğundan parabolün y eksenini kestiği nokta (0, c)’dir.
Genel formax2 + bx + c; katsayıları ve y kesişimini gösterir.
Kökler formua(x − x1)(x − x2); x ekseni kesişimlerini gösterir.
Tepe noktası formua(x − r)2 + k; T(r, k) noktasını gösterir.
Kökler x ekseni kesişimlerini, simetri ekseni tepe noktasının apsisini ve tepe noktası parabolün en küçük değerini gösterir.
Örnek - 1
m, −2 ile 7 arasında bir tam sayıdır. f(x) = (m − 3)x2 + (2m − 1)x + 4 parabolünün kolları yukarı yönlü olduğuna göre m kaç farklı değer alabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Kolların yukarı yönlü olması için x2‘nin katsayısı pozitif olmalıdır: m − 3 > 0. Verilen aralıkta m; 4, 5, 6 ve 7 değerlerini alır. Toplam 4 değer vardır.
Cevap: C
Örnek - 2
f(x) = x2 − 5x + 6 parabolünün x eksenini kestiği iki nokta ile y eksenini kestiği noktanın oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
f(x) = (x − 2)(x − 3) olduğundan x ekseni kesişimleri (2, 0) ve (3, 0); y ekseni kesişimi (0, 6)’dır. Üçgenin x eksenindeki tabanı 1, bu tabana ait yüksekliği 6 birimdir. Alan 1*6/2 = 3’tür.
Cevap: B
Eksen Kesişimleri, Kökler ve Diskriminant
Parabolün x ekseniyle ortak noktaları ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçek kökleridir. Δ = b2 − 4ac olmak üzere Δ > 0 ise iki farklı kesişim, Δ = 0 ise teğetlik, Δ < 0 ise x ekseniyle kesişmeme durumu vardır. Kökler x1 ve x2 ise x1 + x2 = −b/a ve x1x2 = c/a bağıntıları grafiği çizmeden de önemli bilgiler verir.
Örnek - 3
f(x) = x2 + (m − 1)x + m + 2 parabolü x eksenini kesmiyor. m tam sayı olduğuna göre m kaç farklı değer alabilir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Kesişim olmaması için Δ < 0 olmalıdır. Δ = (m − 1)2 − 4(m + 2) = m2 − 6m − 7 = (m − 7)(m + 1)’dir. Bu ifade −1 < m < 7 aralığında negatiftir. Tam sayı değerler 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olmak üzere 7 tanedir.
Cevap: C
Örnek - 4
f(x) = x2 − 2kx + 9 parabolü x eksenine teğettir. k’nin alabileceği iki değer için elde edilen f(1) değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
Teğetlik için Δ = 0’dır: 4k2 − 36 = 0, buradan k = ±3. f(1) = 10 − 2k olduğundan değerler 4 ve 16; toplamları 20’dir.
f(0) = −8a = −16 olduğundan a = 2’dir. Simetri ekseni köklerin orta noktasıdır: x = (2 + (−4))/2 = −1. f(−1) = 2*(−3)*3 = −18 bulunur.
Cevap: C
Dikkat
Parabol tanımında a ≠ 0 koşulu zorunludur. a = 0 olursa ikinci dereceli terim ortadan kalkar ve grafik parabol değil, doğrusal fonksiyon grafiği olur.
TEPE NOKTASI, SİMETRİ EKSENİ VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ
Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
f(x) = ax2 + bx + c parabolünün simetri ekseni x = −b/(2a) doğrusudur. Tepe noktasının apsisi r = −b/(2a), ordinatı k = f(r)’dir. Denklem f(x) = a(x − r)2 + k biçimine dönüştürüldüğünde T(r, k) doğrudan okunur. Aynı fonksiyon için f(r − t) = f(r + t) eşitliği, simetri eksenine eşit uzaklıktaki noktaların ordinatlarının eşit olduğunu gösterir.
Tepe noktasının apsisi −(−8)/(2*2) = 2’dir. f(2) = 8 − 16 + 5 = −3 olduğundan T(2, −3) ve koordinatlar toplamı −1’dir.
Cevap: C
Örnek - 7
f(x) = −x2 + 6x − 2 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
a < 0 olduğundan tepe noktası maksimumu verir. Tepe noktasının apsisi 3, f(3) = −9 + 18 − 2 = 7’dir.
Cevap: C
En Büyük-En Küçük Değer ve Görüntü Kümesi
a > 0 ise tepe noktası en küçük değeri ve görüntü kümesi [k, ∞) aralığını; a < 0 ise en büyük değeri ve görüntü kümesi (−∞, k] aralığını verir. Fonksiyon kapalı bir aralıkta inceleniyorsa yalnız tepe noktası yeterli değildir: tepe noktası aralıktaysa bu değer ile iki uçtaki değerler karşılaştırılır.
Aşağı yönlü parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır; bu örnekte görüntü kümesi (−∞, 4] olur.
Tepe noktası x = −2’de ve verilen aralıktadır; en küçük değer −5’tir. Uçlarda f(−4) = 7 ve f(1) = 22 olduğundan en büyük değer 22’dir. Görüntü kümesi [−5, 22]’dir.
Cevap: B
Örnek - 9
Bir parabolün simetri ekseni x = 3’tür ve tepe noktası y = 2x + 1 doğrusu üzerindedir. Parabol (1, 15) noktasından geçtiğine göre y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) 15
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
Tepe noktasının apsisi 3, ordinatı 2*3 + 1 = 7’dir. f(x) = a(x − 3)2 + 7 yazılır. (1, 15) için 4a + 7 = 15 ve a = 2. f(0) = 18 + 7 = 25’tir.
Cevap: D
Örnek - 10
f(x) = x2 + (m − 2)x + m parabolünün simetri ekseni x = 2 olduğuna göre f’nin en küçük değeri kaçtır?
A) −8
B) −6
C) −4
D) 2
E) 6
−(m − 2)/2 = 2 olduğundan m = −2’dir. f(x) = x2 − 4x − 2 ve tepe noktasının ordinatı f(2) = −6’dır.
Cevap: B
Dikkat
Tepe noktasının apsisinde x = −b/(2a) kullanılır. Özellikle b negatifken formülün başındaki eksi işaretini atlamak, simetri eksenini ve devamındaki bütün sonuçları değiştirir.
PARABOL DENKLEMİ OLUŞTURMA
Kökleri Bilinen Parabol
Kökleri x1 ve x2 olan parabol f(x) = a(x − x1)(x − x2) biçiminde yazılır. Kökler yalnızca çarpanları belirler; a katsayısını bulmak için parabol üzerindeki üçüncü bir nokta, tepe noktası ya da başka bir değer gerekir. Çift katlı kökte x1 = x2 olur ve parabol x eksenine bu noktada teğettir.
Örnek - 11
Kökleri −2 ve 5 olan bir parabol (1, −18) noktasından geçiyor. Parabolün x = 3 için aldığı değer kaçtır?
A) −20
B) −18
C) −15
D) −12
E) −9
f(x) = a(x + 2)(x − 5). f(1) = −18 olduğundan −12a = −18 ve a = 3/2’dir. Bu durumda f(3) = (3/2)*5*(−2) = −15’tir.
Cevap: C
Örnek - 12
Grafikte kökleri −2 ve 4 olan parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı −8’dir.
Buna göre f(3) kaçtır?
A) −9
B) −8
C) −6
D) −5
E) −3
f(x) = a(x + 2)(x − 4). f(0) = −8a = −8 olduğundan a = 1’dir. f(3) = 5*(−1) = −5 bulunur.
Cevap: D
Tepe Noktası Bilinen Parabol
Tepe noktası T(r, k) olan parabol f(x) = a(x − r)2 + k biçiminde yazılır. Parabol üzerindeki başka bir nokta a’yı belirler. Tepe noktası formu; maksimum-minimum, simetri ekseni ve öteleme sorularında genel forma göre daha doğrudan bilgi verir.
Örnek - 13
Tepe noktası T(2, −3) olan parabol (0, 5) noktasından geçiyor. Parabolün f(4) değeri kaçtır?
A) −3
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
f(x) = a(x − 2)2 − 3. f(0) = 5 için 4a − 3 = 5 ve a = 2’dir. Simetri nedeniyle 0 ve 4, x = 2 doğrusuna eşit uzaklıktadır; f(4) = f(0) = 5 olur.
Cevap: D
Noktalardan Genel Denkleme Geçiş
Üç farklı nokta verildiğinde f(x) = ax2 + bx + c denkleminde her nokta yerine yazılarak üç bilinmeyenli denklem sistemi kurulur. Noktalardan biri y ekseni üzerindeyse c doğrudan, noktalar x ekseni üzerindeyse kökler formu doğrudan elde edilir. Uygun formu seçmek işlem yükünü önemli ölçüde azaltır.
Örnek - 14
Kökleri 1 ve 5 olan bir parabol y eksenini (0, 10) noktasında kesiyor. f(x) = ax2 + bx + c olduğuna göre b kaçtır?
A) −14
B) −12
C) −10
D) 10
E) 12
f(x) = k(x − 1)(x − 5). f(0) = 5k = 10 olduğundan k = 2’dir. Açıldığında f(x) = 2x2 − 12x + 10; dolayısıyla b = −12’dir.
Cevap: B
Örnek - 15
Baş katsayısı 1 olan f parabolü (1, 0) ve (2, −3) noktalarından geçiyor. Buna göre f(−1) kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
f(x) = x2 + bx + c yazılır. f(1) = 0 ve f(2) = −3 denklemlerinden b + c = −1, 2b + c = −7 elde edilir. b = −6 ve c = 5 olduğundan f(−1) = 1 + 6 + 5 = 12’dir.
Cevap: C
GRAFİK DÖNÜŞÜMLERİ
Öteleme ve Yansıma
y = f(x) grafiğinde f(x − p) ifadesi grafiği p birim sağa, f(x + p) ise p birim sola taşır. f(x) + q grafiği q birim yukarı, f(x) − q grafiği q birim aşağı taşır. −f(x), x eksenine; f(−x), y eksenine göre yansımadır. Birden fazla dönüşüm varsa yeni tepe noktası ve yön, işlemler doğrudan forma uygulanarak izlenmelidir.
f(x − p)p birim sağa
→
f(x) + qq birim yukarı
→
−f(x)x eksenine göre yansıma
Örnek - 16
f parabolünün tepe noktası (−2, 1)’dir. g(x) = f(x − 3) − 4 olduğuna göre g parabolünün tepe noktası koordinatları toplamı kaçtır?
A) −4
B) −3
C) −2
D) 1
E) 4
f(x − 3) grafiği 3 birim sağa, ardından −4 işlemi 4 birim aşağı taşır. Yeni tepe noktası (1, −3), koordinatlar toplamı −2’dir.
Cevap: C
Örnek - 17
f(x) = x2 − 4x + 1 ve g(x) = −f(−x) olduğuna göre g’nin en büyük değeri kaçtır?
A) −1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
f(−x) = x2 + 4x + 1, dolayısıyla g(x) = −x2 − 4x − 1’dir. Tepe apsisi −2 ve g(−2) = 3 olduğundan en büyük değer 3’tür.
Cevap: D
Dönüşümden Yeni Özellikleri Bulma
Örnek - 18
Aşağıdaki y = f(x) parabolü için g(x) = −f(x − 2) + 1 tanımlanıyor.
f(x) = 2(x + 1)2 − 3 ve h(x) = f(2x) − 5’tir. h(0) ile h’nin en küçük değerinin toplamı kaçtır?
A) −16
B) −14
C) −12
D) −10
E) −8
h(x) = 2(2x + 1)2 − 8’dir. h(0) = −6, parabolün en küçük değeri −8 olduğundan toplam −14’tür.
Cevap: B
Dikkat
Yatay ötelemede işaret ters okunur: f(x − p) sağa, f(x + p) sola taşır. Dikey ötelemede ise dışarıdaki işaret doğrudan okunur.
PARABOL VE DOĞRU
Ortak Nokta Sayısı ve Diskriminant
Parabol y = f(x) ile doğru y = mx + n’nin ortak noktaları f(x) = mx + n eşitliği çözülerek bulunur. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı ortak nokta sayısını belirler: pozitifse iki kesişim, sıfırsa teğetlik, negatifse kesişmeme vardır. Diskriminant, parabolün kendi x ekseni kesişimine değil, iki grafik eşitlendikten sonra oluşan denkleme uygulanır.
Örnek - 20
y = x2 − 4x + 1 parabolü ile y = 2x + m doğrusu birbirine teğettir. m kaçtır?
A) −10
B) −8
C) −6
D) 6
E) 8
Eşitlik x2 − 6x + 1 − m = 0 olur. Teğetlik için Δ = 36 − 4(1 − m) = 32 + 4m = 0; buradan m = −8’dir.
Cevap: B
Örnek - 21
y = x2 + 2x − 3 parabolü ile y = −2x + k doğrusu iki farklı noktada kesişiyor. k, −10 ile 3 arasında bir tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Eşitlik x2 + 4x − 3 − k = 0’dır. İki farklı kesişim için Δ = 16 + 4(3 + k) = 28 + 4k > 0, yani k > −7. Verilen aralıkta −6’dan 3’e kadar 10 tam sayı vardır.
Cevap: C
Teğetlik ve Geometrik Yorum
Örnek - 22
y = mx + 1 doğrusu y = x2 − 4x + 5 parabolüne teğettir. m’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) −12
B) −8
C) −4
D) 0
E) 8
Eşitlik x2 − (m + 4)x + 4 = 0 olur. Δ = (m + 4)2 − 16 = 0 olduğundan m = 0 veya m = −8. Toplam −8’dir.
Cevap: B
Örnek - 23
Şekilde parabol x eksenini K(1, 0) ve L(5, 0) noktalarında, y = 3 doğrusunu A(2, 3) ve B(4, 3) noktalarında kesiyor.
KABL dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
KABL, paralel kenar uzunlukları KL = 4 ve AB = 2, yüksekliği 3 olan bir yamuktur. Alan (4 + 2)*3/2 = 9’dur.
Cevap: C
Örnek - 24
y = 2x + k doğrusu ile y = x2 − 4x + 7 parabolünün ortak noktası yoktur. Buna göre k’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) −5
B) −4
C) −3
D) −2
E) −1
Eşitlik x2 − 6x + 7 − k = 0’dır. Ortak nokta olmaması için Δ = 36 − 4(7 − k) = 8 + 4k < 0, yani k < −2. En büyük tam sayı −3’tür.
Cevap: C
Dikkat
Parabol-doğru sorusunda Δ, parabolün ilk denklemine doğrudan uygulanmaz. Önce iki grafik eşitlenir; kesişim sayısını bu yeni ikinci dereceden denklemin diskriminantı verir.
PARABOL UYGULAMALARI
İkinci Dereceden Fonksiyonlarla Modelleme
Alan, gelir, yükseklik ve kemer biçimi gibi durumlar ikinci dereceden bir fonksiyonla modellenebilir. Model kurulurken değişkenin fiziksel anlamı ve alabileceği aralık belirlenir. Ardından tepe noktası, kökler veya belirli bir fonksiyon değeri problemdeki maksimum gelir, en büyük yükseklik, yere ulaşma zamanı ya da açıklık gibi büyüklüklere çevrilir.
Örnek - 25
Yerden 2 metre yükseklikteki bir noktadan yukarı fırlatılan cismin t saniye sonraki yüksekliği h(t) = −5t2 + 30t + 2 ile modelleniyor. Cismin ulaştığı en büyük yükseklik kaç metredir?
A) 42
B) 45
C) 47
D) 50
E) 52
Tepe noktasının zamanı t = −30/(2*(−5)) = 3 saniyedir. h(3) = −45 + 90 + 2 = 47 metre bulunur.
Cevap: C
Örnek - 26
Çevresi 20 birim olan bir dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç birimkaredir?
A) 20
B) 24
C) 25
D) 30
E) 36
Kenarlar x ve 10 − x seçilirse alan A(x) = x(10 − x) = −x2 + 10x olur. Tepe noktası x = 5’te ve maksimum alan 25’tir.
Cevap: C
Geometrik ve Hareket Problemleri
Örnek - 27
Parabol biçimindeki bir kemer zeminde x = 0 ve x = 12 noktalarına dayanıyor; en yüksek noktası yerden 9 birim yüksektedir. Zeminin x = 2 noktasında kemerin yüksekliği kaç birimdir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Kökler 0 ve 12 olduğundan h(x) = a*x*(x − 12). Tepe noktası x = 6’da ve h(6) = 9 olduğundan −36a = 9, a = −1/4’tür. h(2) = (−1/4)*2*(−10) = 5’tir.
Cevap: B
Örnek - 28
İki direk arasındaki kablonun kesiti y = a(x − 4)2 + 2 parabolüyle modelleniyor. Kablo direklere (0, 10) ve (8, 10) noktalarında bağlandığına göre x = 1 noktasındaki yüksekliği kaç birimdir?
A) 9/2
B) 11/2
C) 13/2
D) 15/2
E) 17/2
(0, 10) için 16a + 2 = 10 ve a = 1/2’dir. y(1) = (1/2)*9 + 2 = 13/2 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 29
Bir cismin yüksekliği h(t) = −t2 + 6t ile modelleniyor. Grafikte h = 5 düzeyiyle kesişimler gösterilmiştir.
Cisim kaç saniye boyunca 5 metreden daha yüksekte kalır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
−t2 + 6t > 5 eşitsizliği t2 − 6t + 5 < 0 biçimindedir. Kökler 1 ve 5 olduğundan yükseklik bu iki zaman arasında 5 metreden büyüktür. Süre 5 − 1 = 4 saniyedir.
Cevap: C
Örnek - 30
Bir ürünün birim fiyatı p lira olduğunda satılan ürün sayısı 100 − 2p olarak modelleniyor. Buna göre elde edilebilecek en büyük gelir kaç liradır?
A) 1000
B) 1100
C) 1200
D) 1250
E) 1500
Gelir R(p) = p(100 − 2p) = −2p2 + 100p’dir. Tepe noktası p = 25’te oluşur ve R(25) = 25*50 = 1250 liradır.
Cevap: D
Dikkat
Modelleme sorularında parabolün bütün gerçek sayılardaki davranışı değil, değişkenin anlamlı olduğu aralık kullanılır. Zaman negatif; uzunluk, ürün sayısı veya fiyat fiziksel bağlama aykırı değerler alamaz.
