AYT ikinci dereceden eşitsizlikler konu anlatımı; işaret tablosunun kurulmasından rasyonel eşitsizliklere, grafik yorumundan tek ve iki değişkenli eşitsizlik sistemlerine kadar konunun bütün temel bağlantılarını kapsar. Bu ünitede amaç yalnız kökleri bulmak değil, köklerin sayı doğrusunu nasıl böldüğünü ve ifadenin her aralıkta neden belirli bir işaret aldığını açıklayabilmektir.
Eşitsizliğin bir tarafını sıfıra getirme, tanımsız noktaları ayırma, tek ve çift katlı kökleri doğru okuma ile çözüm kümelerini kesiştirme aynı çözüm zincirinin parçalarıdır. Aşağıdaki anlatım ve özgün sorular bu zinciri AYT düzeyinde adım adım kurar.
EŞİTSİZLİKLERDE TEMEL DİL VE ARALIKLAR
Eşitsizlik Yönü ve Denk İşlemler
Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı gerçek sayı eklenebilir veya iki taraftan aynı sayı çıkarılabilir. Pozitif bir sayıyla çarpma ya da bölme yönü değiştirmez; negatif bir sayıyla çarpma ya da bölme ise eşitsizlik yönünü ters çevirir. İşaretine karar verilemeyen bir ifadeyle doğrudan bölme yapılamaz.
Pozitif çarpanYön korunur.
Negatif çarpanYön değişir.
İşareti bilinmeyen çarpanDurumlara ayrılır.
Sıfır olabilen çarpanBölme yapılamaz.
Örnek - 1
2x − 53 > x + 12
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−∞, 7)
B) (7, ∞)
C) (−∞, 13)
D) (13, ∞)
E) [13, ∞)
Paydaların ortak katı 6 pozitiftir; yön değişmeden 2*(2x − 5) > 3*(x + 1) yazılır. 4x − 10 > 3x + 3 eşitsizliğinden x > 13 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 2
m < 2 olmak üzere
(m − 2)*x > 3*(m − 2)
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−∞, 2)
B) (−∞, 3)
C) (2, ∞)
D) (3, ∞)
E) R
m − 2 negatiftir. İki taraf bu ifadeye bölünürken yön değişir ve x < 3 elde edilir.
Cevap: B
Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar
`<` ve `>` işaretlerinde sınır değeri çözüm kümesine alınmaz; `≤` ve `≥` işaretlerinde ifade o noktada tanımlıysa sınır dâhildir. Paydanın sıfır olduğu nokta, eşitsizlik işareti ne olursa olsun dışarıda bırakılır.
Örnek - 3
A = (−3, 4] ve B = [1, 7) olduğuna göre (A ∪ B) \ (A ∩ B) kümesi hangisidir?
A) (−3, 1) ∪ (4, 7)
B) (−3, 1) ∪ [4, 7)
C) (−3, 1] ∪ (4, 7)
D) [1, 4]
E) (−3, 7)
Birleşim (−3, 7), kesişim [1, 4] olur. Kesişim birleşimden çıkarılınca 1 ve 4 de çıkar; sonuç (−3, 1) ∪ (4, 7)’dir.
Cevap: A
POLİNOM VE İKİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER
Kritik Noktalar ve İşaret Tablosu
P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) ≥ 0 veya P(x) ≤ 0 biçimindeki bir eşitsizlikte önce P(x) çarpanlarına ayrılır. Gerçek kökler küçükten büyüğe sıralanır. En sağ aralıktaki işaret, en büyük dereceli terimin katsayısına bakılarak bulunabilir; ardından kök katları dikkate alınarak sola doğru ilerlenir.
Kritik nokta
İşaret davranışı
Eşitlikli durumda
Tek katlı kök
İşaret değişir
Kök çözüm kümesine alınabilir
Çift katlı kök
İşaret değişmez
Kök çözüm kümesine alınabilir
Payda kökü
Katına göre değişir/değişmez
Hiçbir zaman alınmaz
Örnek - 4
(x − 2)*(x + 1) ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−∞, −1]
B) [−1, 2]
C) (−1, 2)
D) [2, ∞)
E) (−∞, −1] ∪ [2, ∞)
Kritik noktalar −1 ve 2’dir. Çarpım iki kök arasında negatif, dışında pozitiftir. Eşitlik bulunduğundan iki kök de alınır: [−1, 2].
Cevap: B
Örnek - 5
(x + 3)2*(x − 1)*(x − 4) > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−∞, 1) ∪ (4, ∞)
B) (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (4, ∞)
C) (−3, 1) ∪ (4, ∞)
D) (1, 4)
E) R \ {−3, 1, 4}
−3 çift katlı kök olduğundan işaret orada değişmez; 1 ve 4 tek katlıdır. En sağ aralık pozitiftir. Pozitif bölgeler (−∞, −3), (−3, 1) ve (4, ∞) olur. Eşitsizlik sıkı olduğu için köklerin hiçbiri alınmaz.
Cevap: B
Grafikte −2 ve 3 tek katlı köklerdir; eğri ekseni keser. 1 çift katlı köktür; eğri eksene değip aynı işaret bölgesinde kalır.
Dikkat
İşaret tablosunda her kökte sırayla “artı, eksi, artı” yazmak doğru değildir. İşaret yalnız tek katlı kökte değişir; çift katlı kökte aynı kalır.
Köklerden Çözüm Aralığına Geçme
İkinci dereceden bir ifade iki farklı gerçek köke sahipse parabolün kolları yukarı yönlü olduğunda ifade köklerin arasında negatif, dışında pozitiftir. Kollar aşağı yönlü olduğunda bu dağılım tersine döner. Çift katlı kökte ifade işaret değiştirmez.
Örnek - 6
x2 − 7x + m < 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi (2, 5) olduğuna göre m kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Baş katsayı pozitif olduğundan negatif bölgenin uçları denklemin kökleridir. Kökler 2 ve 5 ise kökler çarpımı m = 2*5 = 10’dur.
Cevap: E
Örnek - 7
x2 + (m − 2)x + m + 1 > 0
eşitsizliği her gerçek x için sağlandığına göre m’nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 21
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
Baş katsayı pozitiftir. İfadenin her x için sıkı biçimde pozitif olması için Δ < 0 gerekir. Δ = (m − 2)2 − 4*(m + 1) = m*(m − 8) olduğundan 0 < m < 8 bulunur. Tam sayıların toplamı 1 + 2 + … + 7 = 28’dir.
Cevap: C
Tam Kare, Diskriminant ve Her Zaman Pozitif-Negatif Olma
ax2 + bx + c ifadesinin bütün gerçek sayılarda aynı işaretli olması kök sayısı ve baş katsayıyla birlikte değerlendirilir. Sıkı eşitsizliklerde Δ < 0 gerekir. `≥ 0` veya `≤ 0` biçiminde eşitliğe izin veriliyorsa Δ = 0 durumu da baş katsayının yönüne göre kabul edilebilir.
Örnek - 8
−(x − 1)2 + 4 ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−3, 1]
B) [−2, 2]
C) [−1, 3]
D) (−1, 3)
E) (−∞, −1] ∪ [3, ∞)
Eşitsizlik (x − 1)2 ≤ 4 biçimine gelir. |x − 1| ≤ 2 olduğundan −1 ≤ x ≤ 3’tür.
Cevap: C
Örnek - 9
−x2 + mx − 4 < 0
eşitsizliği her gerçek x için sağlanıyor. Buna göre m’nin kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Baş katsayı negatiftir. İfadenin her x için negatif olması için Δ = m2 − 16 < 0 olmalıdır. −4 < m < 4 aralığında −3, −2, −1, 0, 1, 2 ve 3 olmak üzere 7 tam sayı vardır.
Cevap: C
RASYONEL, MUTLAK DEĞERLİ VE KÖKLÜ EŞİTSİZLİKLER
Rasyonel Eşitsizliklerde Tanım Kümesi
Rasyonel eşitsizlikte payı ve paydayı sıfır yapan değerler birlikte kritik nokta olarak sıralanır. Pay kökü, eşitlik varsa çözüme alınabilir; payda kökü hiçbir koşulda alınmaz. Ortak çarpan sadeleşse bile başlangıçtaki tanımsız değer korunur.
Örnek - 10
x − 3x + 2 ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 3]
B) (−2, 3]
C) (−∞, −2) ∪ [3, ∞)
D) (−∞, −2] ∪ [3, ∞)
E) (−∞, 3]
Kritik noktalar −2 ve 3’tür. Oran dış aralıklarda pozitif, iki nokta arasında negatiftir. x = 3 pay kökü olduğu için alınır; x = −2 payda kökü olduğu için alınmaz.
Cevap: C
Örnek - 11
x2 − 9x2 − x − 6 ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−3, −2)
B) (−3, −2]
C) [−3, 3]
D) (−2, 3)
E) (−∞, −3] ∪ (−2, ∞)
İfade [(x − 3)*(x + 3)] / [(x − 3)*(x + 2)] biçimindedir. Sadeleşen (x − 3) nedeniyle x = 3 yine tanımsızdır. (x + 3)/(x + 2) ≤ 0 eşitsizliği [−3, −2) aralığını verir; x = 3 zaten bu aralıkta değildir.
Cevap: A
Örnek - 12
(x − 3)2*(x + 4)x − 2 > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−4, 2)
B) (−∞, −4) ∪ (2, ∞)
C) (−∞, −4) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞)
D) (−∞, −4] ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞)
E) R \ {−4, 2, 3}
(x − 3)2 işareti değiştirmez ancak x = 3’te ifadeyi sıfır yapar; sıkı eşitsizlikte bu nokta alınmaz. (x + 4)/(x − 2) oranı (−∞, −4) ve (2, ∞) aralıklarında pozitiftir. x = 3 çıkarılınca seçenek C elde edilir.
Cevap: C
Mutlak Değerli Eşitsizliklerde İşaret Ayrımı
|A(x)| < k türünde k pozitif sabitse −k < A(x) < k yazılabilir. Ancak mutlak değer bir rasyonel ifadenin yalnız payında veya eşitsizliğin bir yanında bulunuyorsa paydanın işareti ayrıca incelenir; iki taraf gelişigüzel karesel ifadeye dönüştürülmez.
Örnek - 13
|x − 2|x + 1 ≤ 1
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) (−∞, −1) ∪ [12, ∞)
B) (−1, 12]
C) [−1, 2]
D) [12, 2]
E) (−∞, 12]
x < −1 iken pay negatif olamaz, payda negatiftir; oran negatiftir ve 1’den küçüktür. x > −1 iken |x − 2| ≤ x + 1 çözülür. −1 < x < 2 bölgesinde 2 − x ≤ x + 1, yani x ≥ 1/2; x ≥ 2 bölgesinde eşitsizlik her zaman doğrudur. x = −1 tanımsızdır.
Cevap: A
Köklü Eşitsizliklerde Tanım ve Kare Alma
Kare alma işleminden önce köklü ifadenin tanım koşulu ve karşı tarafın işareti belirlenir. √A(x) ≥ B(x) eşitsizliğinde B(x) ≤ 0 olan tanım bölgesi otomatik olarak çözüme girebilir; B(x) > 0 bölgesinde iki tarafın karesi alınır.
Örnek - 14
√(x + 2) ≥ x
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 0]
B) [−2, 2]
C) [0, 2]
D) (−∞, 2]
E) [2, ∞)
Tanım koşulu x ≥ −2’dir. −2 ≤ x ≤ 0 aralığında sol taraf negatif olmadığı için eşitsizlik doğrudur. x > 0 iken kare alınır: x + 2 ≥ x2, yani (x − 2)*(x + 1) ≤ 0. Pozitif x koşuluyla 0 < x ≤ 2 elde edilir. Birleşim [−2, 2]’dir.
Cevap: B
Dikkat
Rasyonel veya köklü eşitsizlikte cebirsel dönüşümden önce tanım kümesi yazılır. Sadeleşen payda kökü geri alınmaz; kare alma da karşı tarafın işareti denetlenmeden uygulanmaz.
GRAFİKTEN İŞARET VE BİLEŞKE YORUMU
Fonksiyon Grafiğinde Pozitif ve Negatif Bölgeler
Bir fonksiyon grafiği x ekseninin üstündeyse f(x) > 0, altındaysa f(x) < 0 olur. Eksen üzerindeki noktalar fonksiyonun kökleridir. f(x)*g(x) veya f(x)/g(x) eşitsizliklerinde iki grafiğin işaretleri aynı tabloda birleştirilir.
Örnek - 15
P(x) baş katsayısı pozitif dördüncü dereceden bir polinomdur. −2 ve 3 tek katlı, 1 çift katlı kökü olduğuna göre P(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 1]
B) [1, 3]
C) [−2, 3]
D) (−∞, −2] ∪ [3, ∞)
E) R
Pozitif baş katsayı nedeniyle dış aralıklar pozitiftir. −2’de işaret negatife döner, 1 çift katlı olduğundan negatif kalır, 3’te yeniden pozitife döner. Kökler eşitlik nedeniyle dâhildir; sonuç [−2, 3]’tür.
Cevap: C
Örnek - 16
Aşağıda y = P(x) grafiği verilmiştir.
Buna göre (x − 1)*P(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−1, 1] ∪ [2, 4]
B) (−∞, −1] ∪ [1, 2]
C) [−1, 2] ∪ [4, ∞)
D) (−1, 1) ∪ (2, 4)
E) [1, 2]
Grafikten P(x), x < −1’de negatif; −1 < x < 2’de pozitif; 2 < x < 4’te negatif; x > 4’te pozitiftir. x − 1 çarpanı 1’de işaret değiştirir. Birleşik işaret incelemesi çarpımın [−1, 1] ve [2, 4] aralıklarında sıfır veya negatif olduğunu gösterir.
Cevap: A
Fonksiyon İçinde Eşitsizlik ve Değişken Dönüşümü
f(t)’nin işaret aralığı biliniyorsa f(g(x)) eşitsizliğinde önce g(x)’in hangi aralığa düşmesi gerektiği belirlenir. Sonra bu aralık koşulu x için çözülür. g(x) doğrusal değilse ikinci bir eşitsizlik katmanı oluşabilir.
Örnek - 17
f(x) = x2 − 4x + 3 olduğuna göre f(2x − 1) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [0, 1]
B) [1, 2]
C) [1, 3]
D) [2, 3]
E) (−∞, 1] ∪ [2, ∞)
f(t) = (t − 1)*(t − 3) olduğundan f(t) ≤ 0 için 1 ≤ t ≤ 3’tür. t = 2x − 1 yazılırsa 1 ≤ 2x − 1 ≤ 3 ve 1 ≤ x ≤ 2 elde edilir.
Cevap: B
Örnek - 18
f(x) = (x − 2)*(x + 1) olduğuna göre f(x2) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
A) [−2, 1]
B) [−√2, √2]
C) [−1, 2]
D) (−∞, −√2] ∪ [√2, ∞)
E) [0, √2]
f(t) ≤ 0 için −1 ≤ t ≤ 2’dir. t = x2 olduğundan x2 zaten negatif olamaz; 0 ≤ x2 ≤ 2 kalır. Bu koşul −√2 ≤ x ≤ √2 verir.
Cevap: B
TEK DEĞİŞKENLİ EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
Çözüm Kümelerinin Kesişimi
Bir sistemde bütün eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerekir. Her eşitsizlik ayrı çözülür; sistemin çözümü bu kümelerin kesişimidir. Ortak işaret tablosu kurulabiliyorsa bütün kritik noktalar tek sayı doğrusunda sıralanarak da aynı sonuca ulaşılır.
Örnek - 19
A ve B kümeleri aşağıdaki sayı doğrularında gösterilmiştir.
(A ∪ B) \ (A ∩ B) kümesindeki tam sayıların sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A = [−4, 2] ve B = (−1, 5)’tir. Yalnız bir kümede bulunan kısım [−4, −1] ∪ (2, 5) olur. Tam sayılar −4, −3, −2, −1, 3 ve 4’tür; toplam 6 değer vardır.
Cevap: C
Örnek - 20
(x − 1)*(x − 4) ≤ 0
(x + 2)*(x − 3) > 0
sistemini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
İlk eşitsizlik [1, 4], ikinci eşitsizlik (−∞, −2) ∪ (3, ∞) aralığını verir. Kesişim (3, 4]’tür. Bu aralıktaki tek tam sayı 4 olduğundan toplam 4’tür.
Cevap: C
Parametreli Sistemler ve Aralık Kapsama
Örnek - 21
m tam sayı ve −5 ≤ m ≤ 8’dir.
(x − 1)*(x − m) ≤ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi [2, 5] aralığını kapsadığına göre m’nin kaç farklı değeri vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm kümesi 1 ile m arasındaki kapalı aralıktır. [2, 5]’i kapsaması için m ≥ 5 olmalıdır. Verilen sınırlar içinde m = 5, 6, 7, 8 olmak üzere 4 değer vardır.
Cevap: B
Örnek - 22
x − 2x + 1 ≥ 0 x + 3x − 4 < 0
sistemini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
A) −1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
İlk çözüm (−∞, −1) ∪ [2, ∞), ikinci çözüm (−3, 4)’tür. Kesişim (−3, −1) ∪ [2, 4) olur. Tam sayılar −2, 2 ve 3’tür; toplam 3’tür.
Cevap: D
KOORDİNAT DÜZLEMİNDE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
Sınır Eğrisi ve Çözüm Bölgesi
İki değişkenli bir eşitsizlik koordinat düzleminde bir bölge belirtir. Önce eşitlik hâli çizilerek sınır doğrusu veya sınır eğrisi bulunur. `≤` ve `≥` işaretlerinde sınır çözüme dâhildir ve düz çizilir; `<` ve `>` işaretlerinde sınır dışarıdadır ve kesikli gösterilir. Eğri üzerinde olmayan bir test noktası, hangi tarafın taranacağını belirler.
Sınırı çizEşitlik hâlini kullan.
→
Test noktası seçSınır üzerinde olmasın.
→
Doğru tarafı belirleEşitsizliği sağlayan bölgeyi al.
→
KesiştirSistemin ortak bölgesini bul.
Örnek - 23
y ≥ x2 − 4
y ≤ 2x
sisteminin çözüm bölgesinde nokta bulunabilen kaç farklı tam sayı x değeri vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Aynı x için en az bir y bulunabilmesi, alt sınırın üst sınırı aşmamasına bağlıdır: x2 − 4 ≤ 2x. x2 − 2x − 4 ≤ 0 eşitsizliğinin kökleri 1 − √5 ile 1 + √5’tir. Bu aralıktaki tam sayılar −1, 0, 1, 2 ve 3 olmak üzere 5 tanedir.
Cevap: C
Modelleme Sorularında Uygun Aralık
Alan, gelir, uzunluk veya hız gibi bağlamlarda cebirsel eşitsizliğin çözümü tek başına yeterli değildir. Değişkenin pozitiflik, tam sayı olma, ölçü sınırı veya fiziksel anlam koşulları son çözümle kesiştirilir.
Örnek - 24
Bir etkinlikte x bilet satıldığında gelir ile gider farkı
K(x) = −2x2 + 40x
olarak modelleniyor. K(x) en az 150 ve x tam sayı olduğuna göre kaç farklı x değeri vardır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
−2x2 + 40x ≥ 150 eşitsizliği x2 − 20x + 75 ≤ 0 biçimine gelir. Çarpanlar (x − 5)*(x − 15) olduğundan 5 ≤ x ≤ 15’tir. Bu kapalı aralıkta 11 tam sayı vardır.
Cevap: C
Dikkat
Eşitsizlik sistemlerinde son işlem çözümleri yan yana yazmak değil, ortak koşulu almaktır. Koordinat düzleminde bu ortaklık bölgelerin kesişimi; tek değişkenli sistemde aralıkların kesişimidir.
