AYT DÜZGÜN ÇEMBERSEL HAREKET

AYT düzgün çembersel hareket konu anlatımı kapsamında periyot, frekans, açısal hız, çizgisel hız, merkezcil ivme ve kuvvet ile yatay, düşey ve eğimli düzlemlerdeki çembersel hareket uygulamaları işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Düzgün Çembersel Harekette Temel Büyüklükler

Çembersel Hareket ve Düzgün Çembersel Hareket

Bir cismin sabit bir noktaya ya da eksene olan uzaklığını koruyarak çember biçimli bir yörüngede ilerlemesine çembersel hareket denir. Cismin eşit zaman aralıklarında eşit yay uzunlukları alması durumunda sürat sabittir ve hareket düzgün çembersel hareket olarak adlandırılır.

Düzgün sözcüğü hız vektörünün değil, süratin sabit olduğunu belirtir. Cismin hareket yönü yörüngenin her noktasında değiştiği için hız vektörü de değişir. Bu nedenle düzgün çembersel hareket ivmeli bir harekettir.

Periyot ve Frekans

Bir tam turun tamamlanması için geçen süreye periyot denir ve T ile gösterilir. SI birimi saniyedir. Birim zamanda tamamlanan tur sayısı frekans olarak adlandırılır, f ile gösterilir ve birimi hertzdir. Bir saniyede f tur atan cisim, bir turu 1/f saniyede tamamladığından T·f = 1 bağıntısı geçerlidir.

n tam tur t sürede tamamlanıyorsa f = n/t ve T = t/n olur. Aynı katı cisim üzerindeki bütün noktalar aynı sürede aynı açıyı taradığı için periyotları ve frekansları eşittir; yarıçapları farklı olsa bile bu sonuç değişmez.

Açısal Konum, Açısal Hız ve Yön

Merkezden cisme çizilen yarıçap vektörünün seçilen başlangıç doğrultusuyla yaptığı açı açısal konum, bu açının değişimi ise açısal yer değiştirmedir. Radyan cinsinden bir tam tur 2π’dir. Sabit açısal hızla dönen bir cisim için ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πf bağıntısı kullanılır.

Açısal hız vektörü dönme düzlemine diktir. Yönü sağ el kuralıyla belirlenir: sağ elin dört parmağı dönme yönünde kıvrıldığında başparmak ω vektörünün yönünü gösterir. Saat yönünün tersine dönüşte vektör sayfa düzleminden dışarı, saat yönündeki dönüşte sayfa düzleminden içeri yönelir.

Çizgisel Hız ve Açısal Hız İlişkisi

Cismin yörünge üzerindeki anlık hızına çizgisel hız denir. Bir tam turda alınan yol 2πr olduğundan hızın büyüklüğü v = 2πr/T = 2πrf olur. Açısal hız bağıntısıyla birlikte değerlendirildiğinde v = ωr elde edilir.

Aynı rijit cisim üzerinde bulunan noktaların açısal hızları eşittir. Buna karşılık çizgisel sürat yarıçapla doğru orantılıdır; dönme ekseninden daha uzaktaki nokta aynı sürede daha uzun yay aldığı için daha büyük çizgisel sürate sahiptir.

Merkezcil İvme ve Hız Değişimi

Bir cisim çember üzerinde sabit süratle ilerlese de hız vektörünün yönü sürekli değişir. Birbirine yakın iki andaki hız vektörlerinin farkı merkeze doğrudur. Zaman aralığı küçüldükçe hız değişimi vektörü yarıçap doğrultusuna yaklaşır ve anlık ivme merkezcil ivme adını alır.

Merkezcil ivmenin büyüklüğü a_m = v²/r = ω²r = 4π²r/T² bağıntılarıyla hesaplanır. İvme her an merkeze, hız ise yörüngeye teğet yöneldiğinden hız ve ivme vektörleri birbirine diktir.

Örnek - 3

Yarıçapları sırasıyla r ve 2r olan X ve Y kasnakları kaymadan çalışan bir kayışla bağlıdır. Kasnakların çevresindeki K ve L noktalarının çizgisel süratleri ile merkezcil ivmeleri için hangi ilişki doğrudur?

A) v_K = 2v_L, a_K = 4a_L
B) v_K = v_L, a_K = a_L
C) v_K = v_L, a_K = 2a_L
D) v_L = 2v_K, a_L = 2a_K
E) v_K = 2v_L, a_K = 2a_L

Cevabı Göster

Kayış kaymadığı için kasnakların çevresel süratleri eşittir. a = v²/r olduğundan yarıçapı r olan X kasnağındaki K noktasının merkezcil ivmesi, yarıçapı 2r olan Y kasnağındaki L noktasının merkezcil ivmesinin iki katıdır.

Cevap: C

Örnek - 4

Dünya’nın dönme ekseni çevresindeki açısal hızı sabit kabul ediliyor. Deniz seviyesinde, ekvator üzerindeki K noktası ile 60° kuzey enlemindeki L noktasının çizgisel süratleri v_K, v_L; dönme eksenine göre merkezcil ivmeleri a_K, a_L‘dir. Oranlar kaçtır?

A) 1 ve 1
B) 2 ve 4
C) 4 ve 2
D) 2 ve 2
E) √3 ve 3

Cevabı Göster

Dönme eksenine uzaklık ekvatorda R, 60° enleminde R·cos60° = R/2’dir. Açısal hızlar eşit olduğundan v = ωr ve a = ω²r bağıntıları her iki büyüklüğün de eksene uzaklıkla doğru orantılı olduğunu gösterir. Bu nedenle iki oran da 2’dir.

Cevap: D

Örnek - 5

r yarıçaplı çember üzerinde v sabit süratiyle hareket eden cisim, çembersel yolun yarısını T/2 sürede alıyor. Bu aralıktaki ortalama ivmenin büyüklüğü ve yönü hangisidir?

A) v²/r, başlangıç noktasından merkeze
B) 2v²/(πr), ilk hız yönünde
C) 2v/T, merkeze
D) 4v/T, ilk hız yönünde
E) 4v/T, son hız yönünde

Cevabı Göster

Yarım tur sonunda hız vektörü ilk hızın ters yönündedir. Bu nedenle Δv büyüklüğü 2v ve yönü son hız yönündedir. Süre T/2 olduğundan ortalama ivme 2v/(T/2) = 4v/T olur. Bu değer 2v²/(πr)’ye eşittir; ancak yön, çemberin merkezine değil hız değişimi yönüne bağlıdır.

Cevap: E

Merkezcil Kuvvet ve Yatay Düzlem Uygulamaları

Merkezcil Kuvvetin Fiziksel Anlamı

Merkezcil ivmeyi oluşturan, merkeze yönelmiş net kuvvet bileşenine merkezcil kuvvet denir. Merkezcil kuvvet; ağırlık, normal, sürtünme veya ip gerilmesi gibi yeni bir kuvvet türü değildir. Mevcut kuvvetlerin yarıçap doğrultusundaki bileşkesidir.

Newton’ın ikinci yasası yarıçap doğrultusunda ΣF_r = m·a_m = mv²/r = mω²r biçiminde uygulanır. Düzgün çembersel harekette teğetsel net kuvvet sıfırdır. Merkezcil net kuvvet hıza dik olduğundan iş yapmaz; cismin kinetik enerjisini ve süratini değiştirmeden yalnız hızın yönünü değiştirir.

İpe Bağlı Cismin Yatay Düzlemde Hareketi

Sürtünmesiz yatay düzlemde, merkeze bağlı bir ipin ucundaki cisme düşey doğrultuda ağırlık ve normal kuvvet etki eder; bu kuvvetler birbirini dengeler. Yatay doğrultuda merkeze yönelen tek kuvvet ip gerilmesi olduğundan T = mv²/r = mω²r olur.

Dönen Tabla ve Sürtünme Kuvveti

Yatay bir tabla sabit açısal hızla dönerken üzerindeki cisim tablaya göre kaymıyorsa cisme gereken merkezcil kuvveti statik sürtünme sağlar. Sürtünme kuvvetinin gerekli değeri mω²r, alabileceği en büyük değer ise μ_smg’dir. Kaymama koşulu mω²r ≤ μ_smg biçimindedir.

Açısal hız veya yarıçap arttıkça gerekli statik sürtünme artar. Sınır değer aşıldığında cisim tabla üzerinde kaymaya başlar. Temas sürdüğü sürece kinetik sürtünme cisme etki edebileceğinden laboratuvar referansındaki yörünge genel olarak tam bir teğet doğrusu değildir. Cismin tabla ile teması sona erer veya cisme etki eden yatay kuvvet ortadan kalkarsa cisim o andaki hız doğrultusunda, yani çembere teğet yönde hareketini sürdürür; dönen tabla referansında ise dışa doğru sapıyor gibi görünür.

Örnek - 8

Yatay tabla üzerindeki küçük bir cisim dönme ekseninden 0,80 m uzaktadır. Cisim ile tabla arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,50 olduğuna göre cismin kaymadan dönebileceği en büyük açısal hız kaç rad/s’dir? (g = 10 m/s²)

A) 2,5
B) 2
C) √5
D) 4
E) 5

Cevabı Göster

Sınır durumda mω²r = μmg’dir. Buradan ω² = 0,50·10/0,80 = 6,25 ve ω = 2,5 rad/s bulunur. Kütle bağıntıdan sadeleşir.

Cevap: A

Düz Virajda Güvenli Dönüş

Yatay ve eğimsiz bir virajda aracın dönmesini sağlayan yatay kuvvet lastik ile yol arasındaki statik sürtünmedir. En büyük güvenli sürat, sürtünmenin sınır değerinde bulunur: mv²/r = μ_smg ve v_maks = √(μ_sgr).

Viraj yarıçapının veya sürtünme katsayısının artması güvenli sürati artırır. Aracın kütlesi hem merkezcil kuvvette hem maksimum sürtünmede aynı oranda bulunduğu için sonuç kütleden bağımsızdır.

Örnek - 9

Yarıçapı 80 m olan yatay virajda lastik ile yol arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,45’tir. Araç virajı kaymadan dönebildiğine göre en büyük sürati kaç m/s’dir? (g = 10 m/s²)

A) 3√10
B) 4√10
C) 5√10
D) 6√5
E) 6√10

Cevabı Göster

v_maks = √(μgr) = √(0,45·10·80) = √360 = 6√10 m/s bulunur.

Cevap: E

Konik Sarkaç

İpe bağlı cisim yatay bir çember üzerinde dönerken ip düşeyle θ açısı yapıyorsa düzenek konik sarkaç olarak adlandırılır. İp gerilmesinin düşey bileşeni ağırlığı dengeler: T·cosθ = mg. Yatay bileşen merkezcil kuvveti oluşturur: T·sinθ = mω²r.

İpin uzunluğu L ise yörünge yarıçapı r = L·sinθ’dır. Bileşen denklemleri oranlandığında tanθ = ω²r/g elde edilir. r bağıntısı kullanılırsa ω² = g/(L·cosθ) sonucuna ulaşılır.

Aynı Doğrultuda Bağlı Cisimler

Merkeze ve birbirine art arda bağlanan cisimlerde her ip yalnız bağlı olduğu cisimlere gerilme uygular. Dıştaki cismin merkezcil kuvvetini dış ip tek başına sağlarken içteki cisme dış ip merkezden dışarı, iç ip merkeze doğru etki eder. Bu nedenle iç ip gerilmesi yalnız iç cismin değil, dış sistemin etkisini de taşır.

Örnek - 11

Yatay düzlemde aynı açısal hızla dönen m ve 2m kütleli cisimler, merkez O’ya ve birbirlerine kütlesiz iplerle bağlıdır. m kütlesi O’dan r, 2m kütlesi O’dan 2r uzaktadır. İç ve dış ip gerilmeleri T₁ ve T₂ olduğuna göre T₁/T₂ kaçtır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 3/4
D) 1
E) 5/4

Cevabı Göster

Dıştaki 2m kütlesi için T₂ = 2m·ω²·2r = 4mω²r’dir. İçteki m kütlesinde merkeze doğru net kuvvet T₁ − T₂ = mω²r olmalıdır. Böylece T₁ = 5mω²r ve oran 5/4 bulunur.

Cevap: E

Dönen Silindirde Temas ve Sürtünme

Düşey eksen çevresinde dönen silindirin iç yüzeyine temas eden cisme duvarın uyguladığı normal kuvvet merkeze doğrudur ve merkezcil kuvveti oluşturur: N = mω²r. Cismin aşağı kaymaması için yukarı yönlü statik sürtünmenin ağırlığı dengelemesi gerekir. Bu nedenle μ_sN ≥ mg ve ω ≥ √[g/(μ_sr)] koşulu elde edilir.

Örnek - 12

Yarıçapı 0,50 m olan düşey silindir kendi ekseni çevresinde dönmektedir. Cisim ile duvar arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,40 olduğuna göre cismin düşmeden kalabilmesi için silindirin açısal hızı en az kaç rad/s olmalıdır? (g = 10 m/s²)

A) √10
B) 2√5
C) 5√2
D) 10
E) 10√2

Cevabı Göster

Sınır durumda μmω²r = mg’dir. ω² = 10/(0,40·0,50) = 50 olduğundan ω = √50 = 5√2 rad/s bulunur.

Cevap: C

Düşey Düzlemde Çembersel Hareket

Sabit Süratle Düşey Çember

Cisim düşey çember üzerinde sabit süratle hareket ediyorsa merkezcil kuvvetin büyüklüğü sabittir; ancak ağırlığın yarıçap doğrultusundaki bileşeni konuma göre değiştiğinden ip gerilmesi veya rayın tepki kuvveti sabit kalmaz.

Buradaki “sabit sürat” modeli, ağırlığın teğetsel bileşenini her konumda dengeleyen kontrollü bir dış etkinin bulunduğunu varsayar. Bu dış etki yalnız teğet doğrultudadır; süratin büyüklüğünü sabit tutar ve yarıçap doğrultusundaki kuvvet denklemlerine girmez.

En alt noktada T_alt − mg = mv²/r, en üst noktada T_üst + mg = mv²/r olur. Yan noktada ağırlığın yarıçap doğrultusundaki bileşeni sıfırdır ve T_yan = mv²/r’dir. Bu nedenle sabit süratte T_alt > T_yan > T_üst sıralaması geçerlidir ve T_alt − T_üst = 2mg’dir.

Sürati Değişen Cisimde Enerji ve Temas

Sürtünmesiz düşey rayda hareket eden cismin yüksekliği değiştiği için sürati de değişir. Önce mekanik enerjinin korunumu kullanılarak incelenen noktadaki sürat bulunur; ardından yarıçap doğrultusunda Newton’ın ikinci yasası uygulanarak normal veya gerilme kuvveti hesaplanır.

Cismin rayla temasını sürdürebilmesi için normal kuvvetin negatif olmaması gerekir. Düşey çemberin en üst noktası temas bakımından sınır noktadır. İç yüzeyde hareket eden cismin en üstteki sınır koşulu N = 0 ve v²/r = g’dir. Cisim durgun hâlde bırakılıyorsa bu koşulla enerji korunumu birlikte kullanıldığında başlangıç yüksekliği en az 5r/2 olur.

Örnek - 15

Sürtünmesiz rayda cisim çemberin en alt noktasından 4r yüksekte durgun hâlde bırakılıyor. Çemberin yan noktasından geçerken rayın cisme uyguladığı normal kuvvet kaç mg’dir?

A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2

Cevabı Göster

Yan nokta tabandan r yüksektedir. Enerji korunumu m·g·4r = m·g·r + mv²/2 bağıntısından v² = 6gr bulunur. Yan noktada ağırlığın yarıçap doğrultusunda bileşeni yoktur; N = mv²/r = 6mg olur.

Cevap: A

Örnek - 16

Sürtünmesiz rayda durgun hâlde bırakılan küçük cismin r yarıçaplı düşey çemberi raydan ayrılmadan tamamlayabilmesi için başlangıç yüksekliği en az kaç r olmalıdır? Yükseklik çemberin en alt noktasından ölçülmektedir.

A) 2
B) 5/2
C) 3
D) 7/2
E) 4

Cevabı Göster

Üst noktadaki sınır durumda N = 0 ve v² = gr’dir. Enerji korunumu mgh = mg·2r + m·gr/2 verir. Buradan h = 2r + r/2 = 5r/2 bulunur.

Cevap: B

Eğimli Virajlar ve Teğetsel Ayrılma

Sürtünmesiz Eğimli Viraj

Viraj yüzeyi yatayla θ açısı yapacak biçimde eğimli olduğunda normal kuvvet düşey değildir. Sürtünmesiz durumda normal kuvvetin düşey bileşeni ağırlığı dengeler, yatay bileşeni merkezcil kuvveti oluşturur: N·cosθ = mg ve N·sinθ = mv²/r.

Denklemler oranlandığında tanθ = v²/(rg) elde edilir. Bu sürat, verilen açı ve yarıçap için sürtünmeye ihtiyaç duyulmayan tasarım süratidir. Gerçek sürat bu değerden büyük ya da küçük olduğunda sürtünme kuvveti yüzey boyunca uygun yönde devreye girer.

Örnek - 17

Yarıçapı 50 m olan sürtünmesiz eğimli viraj yatayla 37° açı yapmaktadır. Araç virajı kaymadan döndüğüne göre sürati kaç m/s’dir? (g = 10 m/s², tan37° = 3/4)

A) 5√5
B) 10√2
C) 5√10
D) 5√15
E) 10√5

Cevabı Göster

tanθ = v²/(rg) bağıntısından v² = 50·10·3/4 = 375 bulunur. Buna göre v = √375 = 5√15 m/s’dir.

Cevap: D

Bağ Kopması ve Raydan Ayrılma

Çembersel hareketi sağlayan ip koptuğunda ya da kılavuz kuvvet ortadan kalktığında cisim merkeze doğru fırlamaz. Eylemsizlik nedeniyle kopma anındaki hız doğrultusunda, yani çembere teğet yönde hareketini sürdürür. Bundan sonraki hareket, ortamda kalan kuvvetlere bağlıdır. Yalnız yer çekimi varsa cisim teğetsel ilk hızla eğik atış yapar.

Yarıçap ve Teğet Doğrultuların Birlikte İncelenmesi

Bir cisme etki eden net kuvvet hem yarıçap hem teğet bileşen taşıyorsa yarıçap bileşeni hızın yönünü, teğet bileşen ise süratin büyüklüğünü değiştirir. Düzgün çembersel hareket için teğetsel bileşke sıfır olmalı; yarıçap doğrultusundaki bileşke mv²/r değerini sağlamalıdır.

Örnek - 19

2 kg kütleli parçacık çembersel yörüngenin K noktasında sabit süratle hareket etmektedir. Parçacığa merkeze doğru 6 N’luk, teğet doğrultuda hareket yönünde 8 N’luk iki kuvvet etki ediyor. Düzgün çembersel hareketin sürmesi için uygulanması gereken ek kuvvet hangisidir?

A) Merkeze doğru 8 N
B) Merkezden dışarı 6 N
C) Hareket yönüne zıt 8 N
D) Hareket yönünde 8 N
E) Hareket yönüne zıt 6 N

Cevabı Göster

Süratin sabit kalması için teğetsel net kuvvet sıfır olmalıdır. Bu nedenle hareket yönündeki 8 N’luk kuvveti dengeleyecek, hareket yönüne zıt 8 N’luk ek kuvvet gerekir. Merkeze doğru 6 N’luk kuvvet merkezcil bileşkeyi sağlamaya devam eder.

Cevap: C