TYT doğrunun analitiği konu anlatımı; doğrunun eğimi ve eğim açısı, doğru denklemlerinin farklı biçimleri, eksenleri kesen özel doğrular, paralellik-diklik, kesişim, doğruya uzaklık ve doğruların oluşturduğu bölgeler gibi temel başlıkları kapsar. Analitik geometride denklem yalnız cebirsel bir ifade değildir; doğrunun yönünü, eksenlerle kesişimini ve diğer doğrularla ilişkisini birlikte açıklar.
DOĞRUNUN EĞİMİ
Eğim Açısı ve Eğimin İşareti
Bir doğrunun pozitif x ekseniyle saat yönünün tersine yaptığı α açısına eğim açısı denir. Doğrunun eğimi m=tanα bağıntısıyla bulunur. Doğru soldan sağa yükseliyorsa eğimi pozitif, alçalıyorsa negatiftir. x eksenine paralel doğrularda α=0° ve m=0’dır. y eksenine paralel doğrularda α=90° olduğundan eğim tanımsızdır.
Eğim, doğrunun ne kadar dik olduğunu da gösterir. Pozitif iki eğim karşılaştırılırken mutlak değeri büyük olan doğru daha diktir. Negatif eğimde de |m| büyüdükçe doğru düşey doğrultuya yaklaşır.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi
A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi, ordinatlardaki değişimin apsislerdeki değişime oranıdır:
m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Pay ve paydadaki çıkarma aynı yönde yapılmalıdır. Noktaların sırası ters çevrilirse iki farkın da işareti değişir, oran aynı kalır. x₂=x₁ ise payda 0 olur; bu, doğrunun düşey olduğunu ve eğiminin tanımsız olduğunu gösterir. Üç noktanın doğrusal olması için ikişerli hesaplanan eğimlerin eşit olması gerekir.
DOĞRU DENKLEMLERİ
Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi
y−y₁=m(x−x₁)
biçimindedir. Denklem kurulurken verilen nokta parantez içinde yerine yazılır; negatif koordinatlarda çift işaret oluşabileceği unutulmamalıdır. Düzenleme sonunda y=mx+n eğim-kesen biçimine veya ax+by+c=0 genel biçimine geçilebilir.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi
İki farklı nokta bir doğruyu tek olarak belirler. Önce iki noktadan eğim hesaplanıp nokta-eğim denklemi kullanılabilir. Kesirli işlemi azaltmak için
(y−y₁)(x₂−x₁)=(x−x₁)(y₂−y₁)
bağıntısı da doğrudan yazılabilir. Noktaların apsisleri eşitse denklem x=x₁; ordinatları eşitse y=y₁ olur.
Genel Denklem ve Eğim-Kesen Biçimi
ax+by+c=0 doğrusunda b≠0 ise y yalnız bırakıldığında y=(−a/b)x−c/b olur. Buna göre eğim m=−a/b, y eksenini kestiği noktanın ordinatı −c/b‘dir. x eksenini kestiği noktayı bulmak için y=0; y eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0 yazılır.
y=mx+n denkleminde m eğim, n y eksenini kesme ordinatıdır. Aynı eğime sahip doğrular farklı n değerlerinde birbirine paraleldir. Genel denklemde tüm katsayıların aynı sıfır dışı sayıyla çarpılması aynı doğruyu verir.
Eksenleri Kesen ve Özel Doğrular
Doğru x eksenini A(a,0), y eksenini B(0,b) noktalarında kesiyorsa x/a+y/b=1 kesenler denklemi kullanılabilir. Orijinden geçen eğimli doğrular y=mx biçimindedir. y=x ve y=−x doğruları koordinat eksenlerinin oluşturduğu açıların açıortaylarıdır.
x=c doğrusu y eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır. y=k doğrusu x eksenine paraleldir ve eğimi 0’dır. Bu özel doğrular y=mx+n biçimine zorla dönüştürülmemelidir.
DOĞRULARIN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU
Paralel, Dik ve Çakışık Doğrular
Eğimleri tanımlı iki doğru paralelse m₁=m₂’dir. Farklı sabit terimleri varsa doğrular ayrık paralel, denklemlerinin tüm katsayıları orantılıysa çakışıktır. Dik doğrular için m₁·m₂=−1 bağıntısı geçerlidir. Düşey ve yatay doğrular da birbirine diktir; bu durumda eğim çarpımı kullanılamaz çünkü düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
Genel denklem biçimindeki a₁x+b₁y+c₁=0 ve a₂x+b₂y+c₂=0 doğruları için a₁b₂=a₂b₁ paralellik koşuludur. Dikliğin katsayılarla koşulu a₁a₂+b₁b₂=0’dır.
Paralel ya da dik olmayan iki doğrunun arasındaki dar açı θ için tanθ=|(m₂−m₁)/(1+m₁m₂)| bağıntısı kullanılır. Paydanın sıfır olması doğruların dik olduğunu gösterir; mutlak değer ise açı ölçüsünü pozitif tutar.
İki Doğrunun Kesişim Noktası
Paralel olmayan iki doğrunun kesişim noktası, denklem sisteminin ortak çözümüdür. Yerine koyma veya yok etme yöntemiyle x ve y birlikte bulunur. Bulunan nokta her iki denklemde de sağlanmalıdır. Üç doğrunun aynı noktadan geçmesi isteniyorsa önce iki doğrunun kesişimi bulunur, sonra üçüncü denklemde yerine yazılır.
Kesişim noktası ve eksenlerle sınırlanan alan sorularında önce bütün köşelerin koordinatları belirlenir. Ardından şekil üçgen, yamuk veya çokgen alanına dönüştürülür.
UZAKLIK, AÇIORTAY VE BÖLGE
Bir Noktanın Doğruya Uzaklığı
P(x₀,y₀) noktasının ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı, P’den doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur:
d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
Paydaki mutlak değer uzaklığın negatif olmamasını sağlar. Nokta doğru üzerindeyse ifade 0 olur. Paralel iki doğru arasındaki uzaklıkta x ve y katsayıları önce eşitlenir; ardından sabit terimlerin farkı aynı paydaya bölünür.
Açıortaylar, Eşitsizlik Bölgeleri ve Alan
İki doğrunun açıortayları üzerindeki noktalar doğrulara eşit uzaklıktadır. a₁x+b₁y+c₁=0 ve a₂x+b₂y+c₂=0 doğrularının açıortayları, iki doğruya uzaklık ifadelerinin artı veya eksi işaretle eşitlenmesiyle bulunur. Eşitsizlikte bir doğrunun hangi tarafının seçildiğini belirlemek için bölgede olmadığı bilinen kolay bir test noktası, çoğunlukla O(0,0), denklemde denenir.
Doğruların ve eksenlerin sınırladığı alanı hesaplarken önce kesişim ve eksen kesim noktaları bulunur. Koordinatlar bilinmeden yalnız grafiğin görünüşünden alan çıkarımı yapılmaz. Boyanan bölge açık uçluysa sonlu bir alan oluşmayabilir.