TYT Matematik bölünebilme kuralları konu anlatımında son basamak ve rakam toplamına dayalı testler, 11 ile bölünebilme ve kalan bulma, bileşik bölenler ve birden fazla koşulun birlikte kullanımı ele alınacaktır. TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Son Basamaklara Bağlı Kurallar
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme
Bir doğal sayının birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2 ile tam bölünür. Birler basamağı 0 ya da 5 ise sayı 5 ile; yalnız 0 ise 10 ile tam bölünür. Bu üç kuralda diğer basamakların değeri sonucu etkilemez.
Bir sayının 2’ye bölümünden kalan, son rakamının 2’ye bölümünden kalandır. Aynı biçimde 5 ve 10’a göre kalan da yalnız son rakamdan bulunabilir. Örneğin 3874 sayısının 5’e bölümünden kalan 4’tür.
4 ve 8 ile Bölünebilme
Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4’ün katıysa sayı 4 ile tam bölünür. Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8’in katıysa sayı 8 ile tam bölünür. Bunun nedeni 100’ün 4’e, 1000’in ise 8’e tam bölünmesidir.
Son iki veya üç basamak sıfırla başlayabilir. 12 032 sayısında 4 için 32, 8 için 032 yani 32 incelenir. Kalan sorularında da bütün sayı yerine bu son bölüm kullanılabilir.
Rakamlar Toplamına Bağlı Kurallar
3 ve 9 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayılar 3 ile, 9’un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Sayının bu bölenlere göre kalanı, rakamları toplamının aynı sayıya bölümünden kalanla aynıdır.
Örneğin 53 827 sayısının rakamları toplamı 25’tir. Bu nedenle sayı 3’e ve 9’a tam bölünmez; 3’e bölümünden kalan 1, 9’a bölümünden kalan 7’dir. Rakamlar toplamı tekrar toplanabilir: çok büyük bir toplamda aynı işlem tek basamak kalana kadar sürdürülebilir.
Çok Uzun Sayılarda Rakam Toplamı
Tekrarlanan rakam bloklarıyla yazılmış sayılarda sayının tamamını oluşturmak gerekmez. 123 bloğu n kez yan yana yazılmışsa rakamlar toplamı n * (1 + 2 + 3) = 6n olur. Böylece 3 veya 9’a göre kalan hızlıca hesaplanır.
Üslü veya basamak sayısı çok büyük ifadelerde de aynı yaklaşım kullanılabilir; fakat sayının ondalık yazımı bilinmiyorsa doğrudan rakam toplamı kuralı kullanılamaz. Böyle durumlarda kalan aritmetiği tercih edilir.
11 ile Bölünebilme
Alternatif Rakamlar Toplamı
11 ile tam bölünebilme testinde rakamların alternatif toplamı kullanılabilir. İşaretler sağdan veya soldan başlatılabilir; başlangıç yönü toplamın yalnızca işaretini değiştirir, toplamın 0 veya 11’in katı olma koşulunu değiştirmez. Bu nedenle ABCDE sayısı için A − B + C − D + E biçimindeki toplam kullanılabilir. Sonuç negatifse mutlak değer veya uygun bir 11 katı kullanmak yalnızca tam bölünme testini kolaylaştırır.
Bileşik Sayılarda Bölünebilme
Aralarında Asal Çarpanları Birleştirme
Ortak Bölenler ve Ortak Katlar: a ve b pozitif tam sayılarının ortak pozitif bölenleri yalnızca 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. EKOK(a, b), bu iki sayının en küçük pozitif ortak katıdır. a ve b aralarında asal olduğunda EKOK(a, b) = a * b; örneğin EKOK(2, 3) = 2 * 3 = 6.
4 ve 6 aralarında asal değildir; ortak pozitif bölenleri 1 ve 2’dir. 4’ün pozitif katları 4, 8, 12, …; 6’nın pozitif katları 6, 12, … olduğundan en küçük ortak pozitif kat 12, yani EKOK(4, 6) = 12’dir. Bu nedenle bir sayı 4 ve 6’ya birlikte tam bölünüyorsa 12’ye de tam bölünür; 24’e bölünmesi garanti değildir. 12 sayısı 4 ve 6’ya tam bölünür, ancak 24’e bölünmez.
| Bölen | Birlikte uygulanacak kurallar |
|---|---|
| 6 | 2 ve 3 |
| 12 | 3 ve 4 |
| 15 | 3 ve 5 |
| 18 | 2 ve 9 |
| 24 | 3 ve 8 |
| 36 | 4 ve 9 |
| 45 | 5 ve 9 |
| 72 | 8 ve 9 |
Birden Fazla Kuralın Sırası
3A4B sayısının 72 ile bölünebilmesi için 8 ve 9 koşulları birlikte sağlanmalıdır (72 = 8 * 9). Önce son üç basamak A4B için 8 koşulu uygulanır: 100A + 40 + B ≡ 4A + B (mod 8). A çiftse B = 0 veya 8; A tekse B = 4 olur. Ardından rakam toplamı 7 + A + B’nin 9’un katı olması gerekir. B = 0 için A = 2 bulunur. B = 8 için A = 3 gerekir; bu, A’nın çift olması koşuluna uymaz. B = 4 için A = 7 olur. Böylece geçerli (A, B) çiftleri (2, 0) ve (7, 4), sayılar 3240 ve 3744’tür; ikisi de 72 ile tam bölünür.
Bölünebilme ve Kalan İlişkileri
Kurallarla Kalan Bulma
Bir bölünebilme kuralı kalan bulmakta da kullanılabilir. 3 ve 9 için rakamlar toplamının; 4 için son iki, 8 için son üç basamağın ilgili sayıya bölümünden kalan, bütün sayının kalanını verir. 11’e göre kalan hesabında alternatif toplam sağdan ve birler basamağına + işareti verilerek kurulur; onlar basamağına −, yüzler basamağına + işareti verilip sıra sürdürülür. Bu toplam sayı ile 11’e göre aynı kalan sınıfındadır; negatif çıkarsa uygun bir 11 katı eklenerek standart 0–10 kalanı bulunur.
Örneğin 12 sayısında sağdan alınan toplam 2 − 1 = 1 olduğundan 11’e göre kalan 1’dir. Soldan 1 − 2 = −1 yazmak tam bölünme testinde yalnızca işaret değişikliğidir; −1’i 10’a çevirip 12’nin kalanı saymak yanlıştır.
Örneğin 58 437’nin 9’a bölümünden kalan, 5 + 8 + 4 + 3 + 7 = 27 olduğundan 0’dır. 58 437’nin 8’e bölümünden kalanı ise 437’nin 8’e bölümünden kalan 5’tir.
Sayı Basamaklarıyla Birlikte Kullanım
Bölünebilme sorularında harfler rakam temsil eder. İlk basamaktaki harf sıfır olamaz; aynı harf tekrar ediyorsa aynı rakamı gösterir. Rakamların farklı olduğu belirtilmişse her aday bu koşulla elenir.
Bir sayının basamakları yer değiştirdiğinde 3 ve 9’a bölünebilme değişmez; çünkü rakamlar toplamı aynıdır. Buna karşılık 2, 4, 5, 8, 10 ve 11 kuralları basamak sırasından etkilenebilir.
Çarpımın Bölünebilirliği
Bir çarpımın belirli bir sayıya bölünebilmesi için gerekli asal çarpanlar çarpanların tamamında birlikte bulunmalıdır. Örneğin A * B çarpımının 12’ye bölünmesi için toplamda iki tane 2 ve bir tane 3 çarpanı bulunmalıdır; bunların tek bir çarpanda bulunması gerekmez.
“Çarpanlardan biri 12’ye bölünmelidir” çıkarımı yanlıştır. 4 * 3 çarpımı 12’ye bölünürken ne 4 ne 3 tek başına 12’ye bölünür. Bu tür sorularda çarpanların asal çarpan yapısı incelenir.