TYT EBOB, EKOK ve periyodik problemler konu anlatımı kapsamında sayıların ortak bölen ve kat ilişkisi, eş parça ve grup modelleri, periyodik tekrarlar ve kalanlı bölme problemleri işlenecektir. TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
EBOB’un Tanımı ve Hesaplanması
İki veya daha fazla pozitif tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. EBOB(a, b) biçiminde gösterilir. Örneğin 24 ile 36’nın ortak pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olduğundan EBOB(24, 36) = 12’dir.
Sayılar asal çarpanlarına ayrıldığında ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır. 252 = 2² * 3² * 7 ve 360 = 2³ * 3² * 5 olduğundan EBOB(252, 360) = 2² * 3² = 36 bulunur. İkiden fazla sayıda da yalnız bütün sayılarda ortak bulunan asal çarpanlar hesaba katılır.
Eş Parça ve Eş Grup Problemleri
Bir büyüklük en büyük eş parçalara ayrılacaksa parça ölçüsü uzunlukların EBOB’udur; her bir uzunluğun EBOB’a bölümü parça sayısını verir. Nesneler en fazla sayıda özdeş gruba dağıtılacaksa grup sayısı EBOB’a eşittir; her gruptaki ilgili nesne sayısı o türün toplamının EBOB’a bölümüdür.
Dikdörtgen bir zemini en büyük eş karelerle kaplama, farklı uzunluktaki çubukları eş ve en uzun parçalara kesme, farklı türde ürünleri birbirine karıştırmadan eş kaplara ayırma bu modele örnektir. Çevreye eş aralıklarla direk yerleştirme sorularında ise köşelerin de seçilen aralığa uyması gerekir.
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
EKOK’un Tanımı ve Hesaplanması
İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak pozitif katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat denir. EKOK(a, b) biçiminde gösterilir. Asal çarpan gösteriminde sayılarda bulunan bütün asal çarpanların büyük üsleri alınır.
Örneğin 18 = 2 * 32, 24 = 23 * 3 ve 30 = 2 * 3 * 5 olduğundan EKOK(18, 24, 30) = 23 * 32 * 5 = 360’tır. Sayılardan biri diğerinin katıysa EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir. İki sayı aralarında asalsa EKOK’ları çarpımlarına eşittir. Üç veya daha fazla sayı için çarpım kuralı yalnızca her sayı çifti aralarında asal olduğunda geçerlidir; sayıların ortak EBOB’unun 1 olması tek başına yeterli değildir. Örneğin EBOB(2, 3, 6) = 1 olmasına rağmen EKOK(2, 3, 6) = 6, sayıların çarpımı ise 36’dır.
Periyodik Olaylar ve İlk Ortak Tekrar
Belirli aralıklarla tekrarlanan olayların yeniden aynı anda gerçekleşeceği ilk süre EKOK ile bulunur. Zil, servis, nöbet, tur, bakım ve üretim döngüsü soruları bu yapıdadır. Başlangıç anları aynıysa periyotların EKOK’u doğrudan eklenir. Başlangıç anları farklıysa yalnız EKOK almak yetmez; zamanların her periyoda göre kalan koşulları birlikte sağlanmalıdır.
EBOB ile EKOK Arasındaki Bağıntı
İki Sayının Çarpımı
Pozitif iki tam sayı için EBOB(a, b) * EKOK(a, b) = a * b bağıntısı geçerlidir. Bu eşitlik üç veya daha fazla sayıya aynı biçimde uygulanmaz. İki sayıdan biri, EBOB ya da EKOK bilinmiyorsa eksik değer bu bağıntıyla bulunabilir.
Ortak Bölenle Parametreleme
EBOB(a, b) = d ise sayılar a = d * m ve b = d * n biçiminde yazılır. Burada m ile n aralarında asaldır; aksi hâlde d, en büyük ortak bölen olamaz. Bu gösterimde EKOK(a, b) = d * m * n olur. Toplam, fark veya sayı adedi sorularında aralarında asallık koşulu mutlaka denetlenmelidir.
Kalanlı EBOB ve EKOK Problemleri
Bir Sayının Birden Fazla Bölenle Aynı Kalanı Vermesi
Bir N sayısı a, b ve c pozitif tam sayılarına bölündüğünde aynı r kalanını veriyorsa N − r bu bölenlerin ortak katıdır; bu nedenle genel çözüm N = k * EKOK(a, b, c) + r biçimindedir. Burada k ≥ 0 tam sayıdır ve ortak kalan için 0 ≤ r < a, 0 ≤ r < b, 0 ≤ r < c koşulları sağlanmalıdır. N’nin pozitif olması, bölenlerden büyük olması, bölümlerin pozitif olması veya başka bir alt sınır isteniyorsa bu koşulu sağlayan en küçük k seçilir; k ≥ 1 gerektiğinde en küçük uygun değer EKOK(a, b, c) + r olur. Ek koşul yoksa k = 0 ve N = r da kalan şartını sağlar; ancak N’nin pozitif olması istenip r = 0 ise k = 0 kullanılamaz.
Farklı Sayıların Aynı Bölenle Aynı Kalanı Vermesi
Birden fazla sayı x ile bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayıların ikili farkları x’e tam bölünür. En büyük x değeri, pozitif farkların EBOB’udur. Bulunan bölenin ortak kalandan büyük olması gerektiği unutulmamalıdır; çünkü kalan her zaman bölenden küçüktür.