ÜÇGENDE BENZERLİK

Yazar
Sınav Aracı Editörlüğü
-
0
127
Üçgende Benzerlik KPSS matematik konu anlatımı kapak görseli

KPSS Üçgende Benzerlik konu anlatımı kapsamında doğru köşe ve kenar eşleştirmeleri, AA, KAK ve KKK benzerlik ölçütleri, temel orantı teoremi, çevre ve alan oranları, ölçek ve gölge uygulamaları ile karma benzerlik problemleri işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

BENZER ÜÇGENLER VE DOĞRU EŞLEŞTİRME

Köşe Sırasını Koruma

Karşılıklı açıları eş, karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir. △ABC∼△DEF yazımı A↔D, B↔E ve C↔F eşleşmesini bildirir. Buna göre ABDE=BCEF=ACDF olur. Benzerlik yazımındaki sıra yanlış okunursa oran doğru sayılarla kurulsa bile sonuç yanlış çıkar.

İki eş açının üçgenlerde açı açı benzerliği oluşturmasını gösteren çizim

Örnek - 1
△ABC∼△KLM, AB=8, BC=10, AC=12 ve KL=14 olduğuna göre LM+KM kaçtır?

A) 35
B) 36
C) 37
D) 38,5
E) 42
A↔K, B↔L ve C↔M’dir. Ölçek KLAB=148=74 olur. LM=10*74=17,5 ve KM=12*74=21 olduğundan toplam 38,5’tir.

Cevap: D

AÇI–AÇI BENZERLİĞİ

İki Eş Açının Yeterli Olması

İki üçgenin ikişer açısı eşse üçüncü açıları da 180° toplamından eş olur ve üçgenler Açı–Açı (AA) ile benzerdir. Paralel doğrulardan oluşan yöndeş ve iç ters açılar, ortak açı ve ters açılar AA benzerliğini sıkça üretir. Açıların eş olması üçgenlerin eş olduğu anlamına gelmez; yalnız biçimleri aynıdır.

Örnek - 2
ABC ve DEF üçgenlerinde ∠A=∠D ve ∠B=∠F. AB=15, AC=18 ve DE=12 olduğuna göre DF kaçtır?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
∠A=∠D ve ∠B=∠F olduğundan △ABC ile △DFE benzerdir. A↔D, B↔F, C↔E eşleşmesinde AB↔DF ve AC↔DE olur. DF15=1218=23; DF=15*23=10 çıkar.

Cevap: A

KENAR–AÇI–KENAR BENZERLİĞİ

Orantılı Kenarlar Arasındaki Açıyı Kontrol Etme

Bir üçgenin iki kenarı başka bir üçgenin iki kenarıyla aynı orandaysa ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse Kenar–Açı–Kenar (KAK) benzerliği vardır. Eş açı mutlaka oranlanan iki kenarın arasında bulunmalıdır; farklı köşedeki eş açı tek başına KAK kurmaz.

Örnek - 3
ABC üçgeninde AB=12, AC=18; DEF üçgeninde DE=20, DF=30, EF=35 ve ∠A=∠D olduğuna göre BC kaçtır?

A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
E) 24
ABDE=1220=35 ve ACDF=1830=35; ∠A=∠D olduğundan △ABC ile △DEF KAK benzeridir. Bu nedenle BCEF=35 ve BC=35*35=21 olur.

Cevap: C

KENAR–KENAR–KENAR BENZERLİĞİ

Üç Kenar Oranını Birlikte Sınama

Üç kenar çifti aynı orandaysa üçgenler Kenar–Kenar–Kenar (KKK) ile benzerdir. Sıralı kenar uzunluklarında küçük, orta ve büyük uzunluklar kendi karşılıklarıyla eşleşir. Yalnız iki kenarın orantılı olması, aradaki açı bilinmiyorsa benzerlik için yeterli değildir.

Benzerlik ölçütü Yeterli bilgi Sık görülen kaynak
AA İki açı çifti eş Paralellik, ortak açı, ters açı
KAK İki kenar orantılı, aradaki açı eş Verilen açı veya ortak köşe
KKK Üç kenar çifti aynı oranda Kenar uzunlukları
Örnek - 4
Kenarları 9, 12 ve 15 olan bir üçgene benzer başka bir üçgenin çevresi 72’dir. İkinci üçgenin en uzun kenarı kaçtır?

A) 24
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
İlk üçgenin çevresi 36’dır. Çevre oranı 7236=2 olduğundan bütün uzunluklar 2 katına çıkar. En uzun kenar 15*2=30’dur.

Cevap: C

PARALEL DOĞRU VE TEMEL ORANTI TEOREMİ

Küçük ve Büyük Üçgeni Eşleştirme

ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE∥BC ise △ADE∼△ABC’dir. Bu nedenle ADAB=AEAC=DEBC yazılır. Aynı paralellik yan kenarları da orantılı böler: ADDB=AEEC. İlk oran parçabütün, ikinci oran parçaparça ilişkisini gösterir; bu oranlar farklı doğru parçalarına aittir.

D ve E noktalarından geçen paralel doğruyla oluşan benzer üçgen ve temel oranların yatay kesirlerle gösterimi

Örnek - 5
ABC üçgeninde DE∥BC, D∈AB, E∈AC; AD=8, DB=4, AE=10 ve BC=18’dir. EC+DE kaçtır?

A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
AB=12 ve benzerlik oranı ADAB=812=23‘tür. AEAC=23 olduğundan AC=15, EC=5’tir. DEBC=23 olduğundan DE=12; toplam 17’dir.

Cevap: E

Ardışık Paralellerde Oran Taşıma

Bir açının kollarını birden fazla paralel doğru keserse kollarda oluşan karşılıklı parçalar orantılıdır. Bir kolda 2:3:4 biçiminde bölünme varsa diğer koldaki karşılık gelen parçalar da aynı ortak çarpanla 2:3:4 oranındadır. Bu yaklaşım, her seferinde ayrı üçgen benzerliği yazmayı kısaltır.

Örnek - 6
Şekilde O köşesinden çıkan iki ışını üç paralel doğru p1, p2 ve p3 kesiyor. Üst koldaki kesişim noktaları A1, A2, A3; alt koldakiler B1, B2, B3’tür. O noktasından ölçülen uzaklıklar OA1=4, OA2=6, OA3=10; OB1=x, OB2=9, OB3=y birim olduğuna göre x+y kaçtır?
O noktasından çıkan iki ışını kesen p₁, p₂ ve p₃ paralellerinde OA₁=4, OA₂=6, OA₃=10; OB₁=x, OB₂=9 ve OB₃=y uzaklıklarını gösteren şekil.

A) 18
B) 20
C) 21
D) 23
E) 24
Çözüm: p1, p2 ve p3 paralel olduğundan O Ai Bi üçgenleri benzerdir ve karşılıklı kol uzaklıklarının oranı sabittir. OB2OA2=96=32. Bu nedenle x=OB1=OA1*32=4*32=6 ve y=OB3=OA3*32=10*32=15; x+y=21 olur.

Cevap: C

KESİŞEN DOĞRULARDA BENZERLİK

Ters Açıları Ortak Kanıt Olarak Kullanma

Kum saati veya papyon görünümündeki şekillerde kesişim noktasındaki ters açılar eşittir. Uçlardaki iki doğru da paralelse bir çift iç ters açı daha elde edilir ve AA benzerliği kurulur. Eşleşme, şeklin yönüne değil eş açılara göre yapılmalıdır.

Örnek - 7
AB∥CD ve AD ile BC doğruları E’de kesişiyor. AE=12, ED=8 ve BE=15 olduğuna göre EC kaçtır?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14
△AEB ile △DEC, ters açı ve paralellikten gelen açı eşitliğiyle benzerdir. AEED=BEEC olduğundan 128=15EC; EC=10 bulunur.

Cevap: C

BENZERLİK ORANI, ÇEVRE VE ALAN

Doğrusal ve Karesel Değişimi Ayırma

Benzer iki üçgende karşılıklı uzunlukların oranı k ise çevrelerin, yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların, içteğet ve çevrel çember yarıçaplarının oranı da k’dir. Alanların oranı ise k² olur. Tersine alan oranı verildiğinde uzunluk oranı pozitif karekök alınarak bulunur.

Benzer üçgenlerde uzunluk ve çevrenin k, alanın k kare oranında değiştiğini gösteren çizim

Büyüklük Benzerlik oranı k iken
Kenar, çevre, yükseklik, açıortay, kenarortay, yarıçap k
Alan k²
Örnek - 8
Benzer iki üçgenin alanları 81 ve 225 birimkaredir. Küçük üçgenin bir kenarortayı 12, büyük üçgenin çevresi 70 olduğuna göre büyük üçgenin karşılık gelen kenarortayı ile küçük üçgenin çevresinin toplamı kaçtır?

A) 60
B) 62
C) 64
D) 66
E) 68
Uzunluk oranı √(22581)=53‘tür. Büyük kenarortay 12*53=20, küçük çevre 70*35=42 olur. Toplam 62’dir.

Cevap: B

ÖLÇEK, GÖLGE VE MODEL UYGULAMALARI

Aynı Açı Koşullarını Gerçek Uzunluğa Dönüştürme

Harita ve maketlerde ölçek, model uzunluğunun gerçek uzunluğa oranıdır. Gölge sorularında aynı anda düşen güneş ışınları paralel kabul edilir; cisimler yere dikse oluşan üçgenler AA ile benzerdir. Birimleri oran kurmadan önce aynı cinse çevirmek gerekir.

Örnek - 9
1250 ölçekli bir makette üçgen biçimindeki çatının kenarları 8, 10 ve 14 cm’dir. Gerçek çatının çevresi kaç metredir?

A) 64
B) 72
C) 80
D) 88
E) 96
Maket çevresi 32 cm’dir. Gerçek çevre 32*250=8000 cm=80 m olur.

Cevap: C

Dikkat
Benzerlik oranı yönlü kurulmalıdır. “Birincinin ikinciye oranı” k ise alan oranı k²’dir; oranı ters çevirip sonra kare almak, özellikle alan–çevre sorularında seçenek tuzağı oluşturur.

KARMA BENZERLİK PROBLEMLERİ

Oranı Birden Fazla Sonuca Taşıma

Benzer üçgenlerde açı eşitlikleri benzerliği, karşılıklı kenar eşleşmeleri ortak ölçek katsayısı k’yı belirler. Karşılıklı uzunluk ve çevre oranı k, alan oranı k²’dir. Verilen uzunluk, çevre ve alan değerleri bu eşleşmeler ve ölçek ilişkileri üzerinden birbirine bağlanır.

Örnek - 10
ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE∥BC’dir. ADDB=23, küçük ADE üçgeninin alanı 32 ve büyük ABC üçgeninin çevresi 75’tir. DE=10 olduğuna göre ABC üçgeninde BC dışındaki iki kenarın toplamı kaçtır?

A) 42
B) 45
C) 48
D) 50
E) 55
ADAB=2(2+3)=25‘tir; dolayısıyla DEBC=25 ve BC=25 olur. Büyük üçgenin diğer iki kenarının toplamı çevreden 75−25=50’dir. Alan bilgisi de oranı doğrular: büyük alan 32÷(25)²=200’dür.

Cevap: D

Önceki konu: Üçgende Açıortay, Kenarortay ve Yardımcı Elemanlar
Sonraki konu: Üçgende Alan

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya giriniz