Sayı ve kesir problemleri, günlük dille verilen ilişkileri bir bilinmeyen üzerinden matematiksel ifadeye dönüştürme becerisini ölçer. Sorunun güçlüğü çoğu zaman işlemden değil; “fazlası”, “eksiği”, “katı”, “kalanın kesri” ve “eşit paylaştırma” gibi ifadelerin doğru yorumlanmasından doğar.
Önceki Olasılık yazısında mümkün durumları saydık. Bu yazıda problem metnindeki nicelikleri denklemle modelleyecek, kesirlerde parça–bütün ilişkisini kuracak ve sonucu problem koşullarıyla sınayacağız. Sıradaki Yaş Problemleri yazısında aynı denklem kurma yaklaşımını yaşların zaman içindeki değişimine uygulayacağız.
PROBLEM DİLİNİ MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME
Sözel İfadeyi Bir Bilinmeyen Üzerinden Yazma
Bir sayı bilinmiyorsa önce bu sayıya x denir. “Bir sayının 5 fazlası” x+5, “3 eksiğinin 2 katı” 2*(x−3), “karesinin yarısı” x²/2 biçiminde yazılır. İşlem sırası sözcüklerin sırasına göre değil, ifadenin anlamına göre belirlenir.
| Sözel ifade | Matematiksel karşılığı | Sık hata |
|---|---|---|
| Bir sayının 4 katının 7 fazlası | 4x+7 | 4*(x+7) yazmak |
| Bir sayının 7 fazlasının 4 katı | 4*(x+7) | 4x+7 yazmak |
| Bir sayının 3 eksiğinin yarısı | (x−3)/2 | x−3/2 yazmak |
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
İKİ VEYA DAHA FAZLA SAYIYI TEK BİLİNMEYENLE GÖSTERME
Sayılar Arasındaki Fark ve Kat İlişkisini Koruma
İki sayıdan biri diğerinden 8 fazlaysa küçük sayı x, büyük sayı x+8 seçilir. Biri diğerinin 3 katıysa sayılar x ve 3x olur. Toplam, fark veya başka bir koşul bu ifadeler üzerinden denkleme dönüştürülür.
Üç sayı sorularında da gereksiz yere üç bilinmeyen kullanılmamalıdır. İkinci sayı birinciden 5 fazla, üçüncü sayı ikincinin 2 katıysa sayılar sırasıyla x, x+5 ve 2*(x+5) olarak gösterilebilir.
B) 26
C) 25
D) 27
E) 28
PARÇA–BÜTÜN VE EŞİT PAYLAŞTIRMA PROBLEMLERİ
Toplamı Parça Sayısına Bölerek Bir Payı Bulma
Bir bütün eşit parçalara ayrılıyorsa önce toplam parça sayısı belirlenir. İki kişinin payları 3 ve 5 ile orantılıysa bütün 3x+5x=8x olarak modellenebilir. Eşit paylaştırmada ise kişi sayısındaki değişim, kişi başına düşen miktarı ters yönde etkiler.
“Kişi başına 12 TL düşerken 3 kişi ayrılırsa kişi başına 15 TL düşüyor” türü sorularda toplam para değişmez. Başlangıçtaki kişi sayısı x ise 12x=15*(x−3) eşitliği kurulur.
B) 420
C) 540
D) 480
E) 600
BİR BÜTÜNÜN KESRİNİ VE KALANINI BULMA
Alınan Kısmı Bütünden Çıkararak Kalan Kesri Yazma
Bir bütünün a/b’si kullanılmışsa kalan kısmı 1−a/b=(b−a)/b olur. Bütün x ise kullanılan miktar (a/b)*x, kalan miktar ((b−a)/b)*x biçimindedir.
“Bir sayının 3/5’inin 8 fazlası” ifadesi (3/5)*x+8 demektir. Kesir, sayıdan ayrı bir nesne değildir; bilinmeyenin belirli bir parçasını gösterir.
B) 120
C) 108
D) 132
E) 144
KALANIN KESRİ ALINDIĞINDA MODEL KURMA
Her İşlemi O Andaki Kalan Miktara Uygulama
Art arda yapılan işlemlerde ikinci kesir çoğu zaman başlangıçtaki bütünün değil, ilk işlemden sonra kalanın kesridir. Bir kitabın önce 2/5’i, sonra kalan sayfaların 1/3’ü okunuyorsa ikinci gün okunan miktar (1/3)*(3/5)x=x/5 olur. Toplam okunan 2x/5+x/5=3x/5, kalan ise 2x/5tir.
| Aşama | İşlem | Kalan |
|---|---|---|
| Başlangıç | x | x |
| Önce 2/5’i kullanılıyor | (2/5)x | (3/5)x |
| Kalanın 1/3’ü kullanılıyor | (1/3)*(3/5)x=(1/5)x | (2/5)x |
B) 180
C) 220
D) 200
E) 240
BAŞLANGIÇTAKİ BÜTÜNÜ KESİRDEN GERİYE DOĞRU BULMA
Bilinen Parçayı İlgili Kesre Bölme
Bir miktarın belirli bir kesri biliniyorsa bütün, bilinen miktarın o kesre bölünmesiyle bulunur. Bir yolun 3/8’i 120 metre ise yolun tamamı 120/(3/8)=120*8/3=320 metredir.
Soruda “kalan 72” deniyorsa önce 72’nin bütünün hangi kesri olduğu belirlenir. Başlangıçtaki bilinmeyeni doğrudan 72 kabul etmek, problemi ters yönde kurar.
B) 128
C) 132
D) 140
E) 150
SIRA, KUYRUK VE YERLEŞİM PROBLEMLERİ
Baştan ve Sondan Sıraları Birleştirirken Kişiyi Bir Kez Sayma
Bir kişi baştan a., sondan b. sıradaysa kuyruktaki toplam kişi sayısı a+b−1dir. Kişi hem baştan hem sondan yapılan sayımda yer aldığı için bir kez çıkarılır.
İki kişinin arasında kaç kişi olduğu soruluyorsa sıra numaralarının farkından 1 çıkarılır. Aralarında 6 kişi varsa sıra numaraları arasındaki fark 7’dir. “En az” ve “en çok” kuyruk sorularında kişilerin yerleşebileceği uç durumlar ayrıca düşünülmelidir.
B) 43
C) 44
D) 45
E) 46
MERDİVEN, BASAMAK VE ADIM PROBLEMLERİ
Basamak Sayısıyla Atılan Adım Sayısını Ayırma
Bir merdiven k’şar basamak çıkılıyorsa adım sayısı, basamak sayısının k’ye bölünmesiyle ilişkilidir. Sorular çoğunlukla aynı merdivenin farklı adım büyüklükleriyle çıkılması ve atılan adım sayıları arasındaki fark üzerinden denklem kurdurur.
Düz yolda “3 ileri 1 geri” biçimindeki hareketlerde bir turun net ilerlemesi 3−1=2 adımdır; ancak son turda hedefe ulaşıldığında geri adım atılmayabilir. Bu nedenle tamamlanan turlar ile son hamle ayrı değerlendirilir.
B) 48
C) 42
D) 54
E) 60
TEL KESME VE ORTA NOKTANIN KAYMASI
Uçtaki Değişimin Yarısının Orta Noktaya Yansıdığını Görme
Bir telin yalnız bir ucundan a birim kesilirse yeni orta nokta kesilen uca doğru a/2 birim kayar. Bir ucuna parça eklenirse orta nokta eklenen yöne, eklenen uzunluğun yarısı kadar kayar. İki uç farklı miktarlarda değişiyorsa net uzunluk farkının yarısı esas alınır.
Bu sonuç, orta noktanın iki ucun konumlarının ortalaması olmasından gelir. Sol uç sabitken sağ uç 10 cm sola kayarsa orta nokta 5 cm sola kayar.
B) 81
C) 90
D) 96
E) 108
SONUCU DENETLEME VE UYGUN ÇÖZÜMÜ SEÇME
Denklemin Kökünü Problem Koşullarında Sınama
Denklemin çözümü her zaman problemin kabul edebileceği bir değer olmayabilir. Kişi, sıra, basamak ve nesne sayıları doğal sayı olmalıdır. Payda sıfır olamaz; bir parçanın miktarı bütünden büyük çıkamaz. Sonuç denklemi sağlasa bile sorunun gerçek koşullarına uymuyorsa elenir.
Kontrol için bulunan değer özgün metinde yerine yazılır. Hem verilen ilişkiler hem de toplam, fark veya kalan koşulu doğrulanmalıdır. Bu işlem özellikle çok adımlı kesir sorularında yanlış kesri “başlangıç bütününe” uygulama hatasını ortaya çıkarır.
B) 39
C) 36
D) 45
E) 48
SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ TEMEL NOKTALAR
- İstenen niceliği ve verilen ilişkileri ayrı ayrı belirlenir.
- Uygun bir niceliğe x deyip diğerlerini aynı bilinmeyenle göstermek gerekir.
- “Katının fazlası” ile “fazlasının katı” ifadelerini ayırmak gerekir.
- Kesir işleminin başlangıç bütününe mi, kalan miktara mı uygulandığını kontrol edilir.
- Kullanılan kesri 1’den çıkararak kalan kesri bulmak gerekir.
- Art arda işlemlerde kalan oranları çarpmak gerekir.
- Eşit paylaştırmada toplam miktarın değişmediğini kullanmak gerekir.
- Baştan ve sondan sıra toplamında aynı kişiyi iki kez saymamak gerekir.
- Merdiven ve adım sorularında net ilerlemeyi son hamleden ayrılır.
- Telin orta noktasının, uçtaki değişimin yarısı kadar kaydığını göz önünde bulundurulur.
- Bulduğunuz sonucu özgün problemde yerine koyarak doğrulamak gerekir.
Sayı ve kesir problemlerinde güvenilir çözümün temeli, işlem yapmaya başlamadan önce doğru modeli kurmaktır.