Olasılık, sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen bir deneyde belirli bir olayın gerçekleşme ölçüsünü ifade eder. Bir zarın hangi yüzünün geleceği bilinemez; ancak bütün mümkün sonuçlar ve istenen sonuçlar sayılarak olayın olasılığı hesaplanabilir.
Önceki Permütasyon ve Kombinasyon yazısında mümkün durumları saymayı öğrendik. Olasılık sorularında bu sayma bilgisi, istenen durumların bütün durumlara oranını kurmak için kullanılır. Sıradaki Sayı ve Kesir Problemleri yazısında ise problem metnini denklem ve kesir ilişkilerine dönüştüreceğiz.
DENEY, ÇIKTI VE ÖRNEK UZAY
Mümkün Sonuçların Tamamını Eksiksiz Belirleme
Sonucu gözlemlemek için yapılan işleme deney, deneyin her bir mümkün sonucuna çıktı denir. Bütün çıktıların oluşturduğu kümeye örnek uzay adı verilir ve genellikle E ile gösterilir. Örnek uzayın eleman sayısı s(E) biçiminde yazılır.
Bir madeni para atıldığında örnek uzay E={Y,T} olur. İki para birlikte atılırsa sonuçlar yalnız “bir yazı, bir tura” diye özetlenmez; sıralı çıktılar {YY,YT,TY,TT} olarak ayrı ayrı yazılır. Zar, para ve kart deneylerinde tablo veya ağaç şeması kullanmak eksik ya da yinelenmiş sonuçları önler.
| Deney | Örnek uzay | Eleman sayısı |
|---|---|---|
| Bir para atma | {Y,T} | 2 |
| Bir zar atma | {1,2,3,4,5,6} | 6 |
| İki para atma | {YY,YT,TY,TT} | 4 |
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
OLAY, İMKÂNSIZ OLAY VE KESİN OLAY
Örnek Uzayın İstenen Alt Kümesini Kurma
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Zar atıldığında “çift sayı gelmesi” olayı A={2,4,6} biçimindedir. Hiçbir çıktı içermeyen boş küme imkânsız olayı, örnek uzayın tamamı ise kesin olayı gösterir.
Bir olayın olasılığı her zaman 0≤P(A)≤1 aralığındadır. İmkânsız olay için P(∅)=0, kesin olay için P(E)=1 olur. “Olasılığı 0” ile “çok küçük olasılık” aynı değildir; sıfır, olayın tanımlanan örnek uzayda gerçekleşemeyeceğini belirtir.
B) 1/6
C) 1/3
D) 1/2
E) 1
EŞ OLASILIKLI DURUMLARDA TEMEL OLASILIK
İstenen Çıktı Sayısını Bütün Çıktı Sayısına Bölme
Örnek uzaydaki bütün sonuçlar eş olasılıklıysa A olayının olasılığı, istenen çıktı sayısının bütün çıktı sayısına oranıdır:
P(A)=s(A)/s(E)
Bu formül kullanılmadan önce sonuçların gerçekten eş olasılıklı olduğu doğrulanmalıdır. Adil bir zarın yüzleri eş olasılıklıdır; fakat bir torbadan renk seçerken renkler değil, tek tek bilyeler eş olasılıklıdır. Üç kırmızı ve iki mavi bilye varsa “iki renk var” diyerek her renge 1/2 olasılık vermek yanlıştır.
B) 1/4
C) 1/3
D) 5/12
E) 1/2
TÜMLEYEN OLAY
Gerçekleşmeme Olasılığından Yararlanma
A olayının gerçekleşmediği bütün sonuçlar A’nın tümleyenini oluşturur ve A′ ya da Aᶜ ile gösterilir. Bir olay ya gerçekleşir ya da gerçekleşmez; bu iki durum örnek uzayı tamamen parçalar. Bu nedenle:
P(A)+P(A′)=1 ve P(A′)=1−P(A)
“En az bir” sorularında doğrudan birçok durumu toplamak yerine “hiçbiri” olayının olasılığını bulup 1’den çıkarmak çoğu zaman daha kısadır. Aynı yöntem “en az biri hatalı”, “en az bir kez tura” veya “en az bir kırmızı” gibi ifadelerde kullanılır.
B) 2/5
C) 3/5
D) 4/5
E) 1
BİRLEŞİM, KESİŞİM VE AYRIK OLAYLAR
“Veya” ile “Ve” İfadelerini Doğru Yorumlama
A∪B, A veya B olaylarından en az birinin gerçekleşmesini; A∩B ise iki olayın birlikte gerçekleşmesini gösterir. Birleşimde ortak sonuçlar iki kez sayılmaması için bir kez çıkarılır:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
A ve B aynı anda gerçekleşemiyorsa olaylar ayrıktır ve P(A∩B)=0 olur. Ayrık olay ile bağımsız olay karıştırılmamalıdır. Ayrıklık birlikte gerçekleşememeyi, bağımsızlık ise bir olayın diğerinin olasılığını değiştirmemesini anlatır.
| İfade | Küme işlemi | Yorum |
|---|---|---|
| A veya B | A∪B | En az biri gerçekleşir |
| A ve B | A∩B | İkisi birlikte gerçekleşir |
| A değil | A′ | A gerçekleşmez |
B) 2/3
C) 3/4
D) 5/6
E) 1
BAĞIMSIZ OLAYLAR VE ÇARPMA KURALI
Bir Olayın Diğerini Etkilemediği Durumları Çarpma
A olayının gerçekleşmesi B olayının olasılığını değiştirmiyorsa A ve B bağımsızdır. Ayrı bir para ve zar atılması, geri koyarak bilye çekilmesi veya birbirinden bağımsız atışlar bu duruma örnektir. Bağımsız iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı:
P(A∩B)=P(A)*P(B)
Çarpma kuralı yalnız “ve” sözcüğünü gördüğümüz için kullanılmaz; deneylerin bağımsız olup olmadığı kontrol edilir. Geri koymadan seçimde torbanın içeriği değiştiği için ikinci çekilişin olasılığı ilk sonuca bağlıdır.
B) 1/6
C) 1/4
D) 1/3
E) 1/2
ART ARDA DENEYLER VE ÖRNEK UZAY
Sıralı Sonuçları Tablo veya Ağaçla Sayma
Bir deney art arda yapıldığında her aşamanın sonucu ayrı bir bileşen oluşturur. İki zar atıldığında sonuçlar (1,1),(1,2),…,(6,6) biçiminde sıralı ikilerdir ve örnek uzayda 6*6=36 eş olasılıklı çıktı vardır. Toplam sorularında aynı toplamı veren sıralı ikililerin sayısı bulunur.
Üç para atışında 2³=8, n bağımsız iki sonuçlu deneyde 2ⁿ çıktı oluşur. Sonuçların sırası önemliyse YTT, TYT ve TTY ayrı çıktılardır; yalnız kaç yazı geldiği sorulsa bile bu sıralı çıktılar birlikte sayılır.
B) 1/9
C) 1/8
D) 1/6
E) 1/5
GERİ KOYMALI VE GERİ KOYMASIZ SEÇİMLER
İkinci Çekilişte Torbanın Değişip Değişmediğini Kontrol Etme
Seçilen nesne geri konursa torbanın toplamı ve renk sayıları değişmez; çekilişler bağımsız kalır. Geri konmazsa toplam nesne sayısı bir azalır ve ikinci olasılık ilk çekilişin sonucuna göre değişir. Bu nedenle ikinci aşamadaki pay ve payda yeniden yazılmalıdır.
Örneğin 3 mavi ve 2 kırmızı bilyeden geri koymadan iki mavi çekme yolu 3/5*2/4tür. İlk mavi çekildikten sonra torbada 2 mavi ve toplam 4 bilye kalır. Ağaç şemasındaki her dalın olasılığı çarpılır; aynı hedefe ulaşan farklı yollar varsa bu yol olasılıkları toplanır.
B) 2/7
C) 1/3
D) 3/7
E) 4/7
EN AZ BİR KEZ GERÇEKLEŞME
Hiç Gerçekleşmeme Olasılığını Birden Çıkarma
Bir olayın n bağımsız denemede en az bir kez gerçekleşmesi; bir, iki, …, n kez gerçekleşme durumlarının tamamını kapsar. Bu durumları ayrı ayrı toplamak yerine olayın hiç gerçekleşmemesi hesaplanır. Tek denemedeki gerçekleşmeme olasılığı q ise:
P(en az bir kez)=1−qⁿ
Bu kısa yol yalnız denemelerin bağımsız ve her denemedeki başarı olasılığının sabit olduğu durumda doğrudan kullanılır. Geri koymadan yapılan çekilişlerde denemelerin olasılıkları değişebileceği için “hiç gerçekleşmeme” yolu değişen kesirlerle kurulmalıdır.
B) 5/8
C) 3/4
D) 7/8
E) 1
KOŞULLU OLASILIK
Verilen Bilgiyle Örnek Uzayı Daraltma
B olayının gerçekleştiği biliniyorsa A olayının olasılığı P(A|B) ile gösterilir. Verilen bilgi, artık mümkün olmayan sonuçları örnek uzaydan çıkarır. Koşullu olasılık bağıntısı:
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0
Koşul geldikten sonra payda eski örnek uzayın büyüklüğü değildir. Örneğin “zarların aynı geldiği biliniyor” denildiğinde 36 sonuç değil, yalnız (1,1), …, (6,6) biçimindeki 6 sonuç değerlendirilir. Bağımsız olaylarda P(A|B)=P(A); bağımlı olaylarda ise koşul olasılığı değiştirir.
B) 1/8
C) 1/6
D) 1/4
E) 1/3
OLASILIK TEMEL NOKTALAR
- Deneyi, çıktıları ve örnek uzayı açıkça belirlenir.
- Sıralı sonuçları ayrı çıktılar olarak saymak gerekir.
- Sonuçların eş olasılıklı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
- İstenen olayın örnek uzaydaki elemanlarını eksiksiz yazılır.
- “Veya” için birleşimi, “ve” için kesişimi değerlendirmek gerekir.
- Birleşimde ortak sonuçları iki kez saymamak gerekir.
- “En az bir” ifadesinde tümleyen yöntemini düşünmek gerekir.
- Bağımsız olaylarda birlikte gerçekleşme olasılıklarını çarpmak gerekir.
- Geri koymadan seçimde ikinci payı ve paydayı güncellemek gerekir.
- Koşullu olasılıkta verilen bilgiye göre örnek uzayı daraltın.
- Sonucun 0 ile 1 arasında ve problemle tutarlı olduğunu denetlemek gerekir.
Olasılık sorularında en önemli adım, formülü seçmeden önce mümkün sonuçların nasıl oluştuğunu doğru modellemektir.