Modüler aritmetik, tam sayıları bir bölme işleminden kalanlarına göre sınıflandırır. Büyük kuvvetlerin kalanı, haftanın günü, son basamak, tekrar eden harf veya ışık düzeni gibi soruların ortak noktası belirli bir periyodun yeniden başlamasıdır. Bu nedenle amaç uzun işlemi doğrudan yapmak değil, sayıyı uygun kalan sınıfına indirgemektir.
Önceki Özel Tanımlı İşlemler yazısında bir sembole verilen kuralı uygulamıştık. Burada ise sayıları aynı kalanı veren sınıflar içinde ele alacağız. Sıradaki Kümeler ve Küme Problemleri konusu, elemanların ortak özelliklerine göre bir araya getirilmesini inceleyecektir.
MODÜLER ARİTMETİK VE EŞLİK TANIMI
Aynı Modüle Göre Aynı Kalanı Veren Sayıları Okuma
m > 1 bir doğal sayı; a ve b tam sayılar olsun. a − b farkı m ile tam bölünüyorsa “a, m modülüne göre b’ye denktir” denir ve a ≡ b (mod m) biçiminde yazılır. Eş değer anlatımla a ile b’nin m’ye bölümünden kalanlar aynıdır.
| Gösterim | Bölünebilme Anlamı | Kalan Anlamı |
|---|---|---|
| 17 ≡ 2 (mod 5) | 17 − 2 = 15, 5 ile tam bölünür. | 17 ve 2, 5’e bölündüğünde aynı kalanı verir. |
| 38 ≡ 3 (mod 7) | 38 − 3 = 35, 7 ile tam bölünür. | 38’in 7 ile bölümünden kalan 3’tür. |
| a ≡ b (mod m) | m | (a − b) | a ve b aynı kalan sınıfındadır. |
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
KALAN SINIFLARI VE NEGATİF SAYILAR
Bir Eşliğin Sonsuz Temsilcisinden Standart Kalanı Seçme
a ≡ r (mod m) ise r’ye m‘nin tam katları eklenip çıkarılabilir. Bu nedenle aynı sınıfın sonsuz temsilcisi vardır: r, r + m, r − m, r + 2m, … Standart kalan istendiğinde 0 ≤ r < m aralığındaki tek değer seçilir.
Negatif bir sayıda da aynı kural geçerlidir. Örneğin −23 ≡ −3 (mod 5) yazılabilir; fakat en küçük negatif olmayan kalan soruluyorsa −3’e 5 eklenir ve −23 ≡ 2 (mod 5) elde edilir.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
DENK SAYILARI BELİRLEME
Genel Çözümü Tam Sayı Parametresiyle Yazma
x ≡ r (mod m) eşliği x = r + km biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir tam sayıdır. Bu ifade, aynı kalan sınıfındaki bütün sayıları tek satırda gösterir. Belirli bir aralık verildiyse uygun k değerleri seçilerek listedeki sayılar bulunur.
B) 38
C) 42
D) 46
E) 50
MODÜLER İŞLEM ÖZELLİKLERİ
Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Kuvveti Küçük Kalana İndirme
a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise bu eşlikler aynı modülde toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Pozitif tam sayı kuvvetlerinde de denk sayılar denk kalır. Böylece büyük sayılar önce küçük kalana indirgenir, işlem daha sonra yapılır.
| Özellik | Sonuç | Uygulama |
|---|---|---|
| Toplama | a + c ≡ b + d (mod m) | Her terimi ayrı ayrı küçült. |
| Çıkarma | a − c ≡ b − d (mod m) | Negatif sonuçta modül ekle. |
| Çarpma | ac ≡ bd (mod m) | Çarpmadan önce ve sonra kalan alınabilir. |
| Kuvvet | aⁿ ≡ bⁿ (mod m) | Tabanı küçült, kuvvet döngüsünü ara. |
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
DOĞRUSAL MODÜLER DENKLEMLER
ax ≡ b (mod m) Eşliğinde Çözüm Koşulunu Kullanma
ax ≡ b (mod m) eşliğinin çözümü için d = EBOB(a,m) bulunur. d sayısı b’yi bölmüyorsa çözüm yoktur. d, b’yi bölüyorsa mod m içinde d farklı çözüm vardır; katsayı, sağ taraf ve modül d’ye bölünerek daha küçük bir eşliğe geçilir.
Katsayı ile modül aralarında asalsa katsayının modüler tersi vardır ve iki taraf bu tersle çarpılabilir. Normal cebirdeki gibi her sayı doğrudan sadeleştirilemez; sadeleştirmenin modülü ve çözüm sayısını nasıl etkilediği kontrol edilmelidir.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
KUVVETLERDE PERİYOT BULMA
Tekrarlayan Kalan Dizisinin Uzunluğunu Belirleme
Büyük kuvvetlerde tabanın modüle göre ardışık kuvvet kalanları yazılır. Kalanlar daha önceki bir duruma döndüğünde döngü yeniden başlar. Üs, döngü uzunluğuna bölünür; kalan 0 ise döngünün son terimi, diğer durumlarda kalan numaralı terim kullanılır.
Örneğin 7’nin 10’a göre kuvvet kalanları 7, 9, 3, 1 biçiminde dört adımda tekrar eder. Bu döngü, 7’nin büyük kuvvetlerinin birler basamağını doğrudan verir.
B) 3
C) 7
D) 8
E) 9
BÜYÜK ÜSLÜ İFADELERİN KALANI
Simetrik Kalanları ve Kısa Döngüleri Birlikte Kullanma
Bir toplamın her terimi ayrı ayrı modüle indirilebilir. Modüle yakın sayıları negatif temsilciyle yazmak işlemi kısaltır: 19 ≡ −1 (mod 20) ve 23 ≡ 3 (mod 20) gibi. Tek kuvvetlerde zıt kalanların kuvvetleri birbirini götürebilir.
B) 1
C) 2
D) 10
E) 19
GÜN VE TAKVİM SORULARI
Yedi Günlük Döngüde İleri ve Geri Sayma
Haftanın günleri 7 adımda tekrar eder. İleri tarih için gün sayısının 7’ye göre kalanı kadar ileri; geçmiş tarih için kalan kadar geri gidilir. “Bugün pazartesi, 7 gün sonra” ifadesinde sonuç yine pazartesidir; başlangıç günü sıfırıncı konum olarak alınır.
B) Salı
C) Çarşamba
D) Perşembe
E) Cuma
ORTAK PERİYOT VE BİRLİKTE TEKRAR
Farklı Döngüleri EKOK ile Aynı Anda Başlatma
İki olay sırasıyla a ve b adımda bir gerçekleşiyorsa birlikte tekrar aralığı EKOK(a,b)‘dir. Başlangıçtaki ortak gerçekleşme “birinci kez” sayılıyorsa n’inci ortak buluşmaya kadar n − 1 aralık geçer. Bulunan toplam gün daha sonra 7’ye göre değerlendirilir.
B) Salı
C) Çarşamba
D) Perşembe
E) Cuma
PERİYODİK HARF, IŞIK VE SIRA DÜZENLERİ
Konum Numarasını Döngü Uzunluğuna Göre İndirme
Tekrar eden bir kelime, renk dizisi, lamba sırası veya oturma düzeninde önce en küçük tekrar bloğu bulunur. İstenen sıra numarası blok uzunluğuna bölünür. Kalan 1 ise ilk, kalan 2 ise ikinci eleman seçilir; kalan 0 olduğunda bloğun son elemanı alınır.
| Uygulama | Modül | Önemli Nokta |
|---|---|---|
| Haftanın günü | 7 | İleri veya geri yönde kalan kadar ilerle. |
| Saat | 12 veya 24 | Sorudaki saat sistemini kullan. |
| Birler basamağı | 10 | Kuvvet kalanı döngüsünü bul. |
| Tekrarlı kelime/ışık | Blok uzunluğu | Kalan 0 ise son elemanı seç. |
| Birlikte tekrar | EKOK kaynaklı periyot | Başlangıcın sayılıp sayılmadığını kontrol et. |
B) A
C) T
D) E
E) K
MODÜLER ARİTMETİKTE TEMEL NOKTALAR
Soruyu Uygun Döngüye Dönüştürme
Önce modülün neyi temsil ettiğini belirleyin: bölüm kalanı, gün, son basamak, saat veya tekrar bloğu. Ardından bütün sayıları aynı modüle göre küçültün. Kuvvette döngü, denklemde EBOB ve ters, birlikte tekrarda EKOK kullanın. En son sonucu sorunun istediği biçime çevirin; örneğin negatif temsilciyi standart kalana, gün sayısını gün adına veya kalan 0’ı döngünün son elemanına dönüştürün.
MODÜLER ARİTMETİK TEMEL NOKTALAR
- Modülün pozitif ve 1’den büyük olduğunu kontrol etmek gerekir.
- a ≡ b (mod m) ifadesini m | (a − b) biçiminde okumak gerekir.
- Standart kalanı 0 ≤ r < m aralığında yazılır.
- Negatif temsilci kullanırsanız son aşamada gerekirse modül eklemek gerekir.
- Denk sayıların genel biçimini r + km olarak kurulur.
- Toplama, çıkarma ve çarpmada terimleri ayrı ayrı küçültün.
- Bölme veya sadeleştirmeden önce katsayı ile modülün EBOB’unu kontrol edilir.
- Büyük kuvvetlerde kalan dizisinin en küçük periyodunu bulmak gerekir.
- Üs periyoda tam bölünüyorsa döngünün son terimini kullanmak gerekir.
- Gün sorularında 7, saat sorularında 12 veya 24 modülünü seçmek gerekir.
- Birlikte tekrarda EKOK’u ve başlangıcın kaçıncı gerçekleşme sayıldığını kontrol edilir.
- Tekrarlı dizide kalan 0 ise bloğun son elemanını seçmek gerekir.