ÜSLÜ SAYILAR

Üslü sayılar, aynı sayının art arda çarpılmasını kısa ve düzenli biçimde göstermeyi sağlar. KPSS Matematik sorularında yalnızca üs kurallarını ezberlemek yeterli değildir; tabanın işareti, parantezin yeri, negatif üs, ortak çarpan, bilimsel gösterim, denklem ve sıralama aynı soruda birlikte kullanılabilir.

Önceki Mutlak Değer yazısında sayıların uzaklık ve işaret özellikleri ele alınmıştı. Bu konuda kuvvetlerin nasıl hesaplandığını ve dönüştürüldüğünü inceleyeceğiz. Sıradaki Köklü Sayılar konusu ise kesirli üslerle kurulacak bağlantıyı geliştirecektir.

ÜSLÜ İFADENİN TANIMI, TABAN VE ÜS

Tekrarlı Çarpımı Kısa Gösterme

a bir gerçek sayı, n pozitif bir tam sayı olmak üzere aⁿ; n tane a’nın çarpımını gösterir. Burada a taban, n ise üs ya da kuvvettir. Örneğin 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81‘dir. Üs, tabanın kaç kez çarpan olarak kullanıldığını bildirir; sonucu doğrudan “taban ile üssün çarpımı” olarak yorumlamak yanlıştır.

Bir toplam tekrarlanıyorsa çarpma, bir çarpan tekrarlanıyorsa üs kullanılır. Bu nedenle sekiz tane 2’nin toplamı 8 · 2, sekiz tane 2’nin çarpımı ise 2⁸ biçimindedir.

SIFIRINCI, BİRİNCİ VE ÖZEL TABANLAR

0, 1 ve −1 Tabanlarını Değerlendirme

İŞARET, PARANTEZ VE TEK-ÇİFT KUVVET

Eksi İşaretinin Üsse Dâhil Olup Olmadığını Belirleme

Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Ancak bu kural, eksi işareti tabanla birlikte parantezin içindeyse uygulanır. (−2)⁴ = 16 iken −2⁴ = −(2⁴) = −16‘dır. İkinci ifadede üs yalnız 2’ye aittir; baştaki eksi işareti sonuç hesaplandıktan sonra uygulanır.

Bir ifadenin önünde ayrıca eksi varsa işlem sırası korunmalıdır. Örneğin −(−3)³ = −(−27) = 27 olur. Soruyu çözerken önce tabanı ve üssü, sonra tabanın parantez içinde olup olmadığını işaretlemek hata riskini azaltır.

AYNI TABANLI İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME

Çarpmada Üsleri Toplama, Bölmede Çıkarma

Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: a^m · aⁿ = a^m+n. Bölmede ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: a^m / aⁿ = a^m−n; burada a ≠ 0 olmalıdır.

Toplama ve çıkarmada üsler doğrudan toplanmaz. 2⁵ + 2⁵ = 2 · 2⁵ = 2⁶ eşitliği ortak çarpan alınarak elde edilir. Buna karşılık 2⁵ · 2⁵ = 2¹⁰‘dur.

AYNI ÜSLÜ İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME

Ortak Üssü Koruyup Tabanları Birleştirme

Üsleri aynı olan ifadelerde tabanlar çarpılıp ortak üs korunabilir: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Bölmede de aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ kuralı kullanılır; b sıfır olamaz.

Tabanlar veya üsler ilk bakışta aynı görünmüyorsa uygun dönüşüm yapılır. Örneğin 8^x = (2³)^x = 2^3x ve 25^x = 5^2x biçiminde yazılabilir.

KUVVETİN KUVVETİ VE ÇARPIMIN KUVVETİ

Üsleri Çarparak Tek Kuvvete İndirme

Bir kuvvet yeniden kuvvet alınırsa üsler çarpılır: (a^m)ⁿ = a^mn. Bu işlemde üsler toplanmaz. Çarpımın kuvveti çarpanlara, bölümün kuvveti de pay ile paydaya dağıtılabilir: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ve (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.

Üs negatif olsa bile kuvvetin kuvvetinde çarpma kuralı değişmez. Örneğin (2⁻³)⁻² = 2⁶‘dır. Parantezin kapsadığı bölüm dikkatle belirlenmelidir.

NEGATİF ÜSLER VE TERS ÇEVİRME

Tabanı Ters Çevirip Üssü Pozitif Yapma

a ≠ 0 olmak üzere a⁻ⁿ = 1/aⁿ‘dir. Negatif üs, sonucun negatif olduğunu değil tabanın çarpma işlemine göre tersinin alınacağını gösterir. Kesirli tabanda pay ile payda yer değiştirir: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.

ONUN KUVVETLERİ VE BİLİMSEL GÖSTERİM

Ondalık Virgülü Kuvvete Göre Taşıma

10’un pozitif kuvvetlerinde 1’in sağına üs kadar sıfır yazılır. Negatif kuvvetlerde ise 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ olduğundan ondalık virgül sola kayar. Örneğin 10⁴ = 10.000 ve 10⁻⁴ = 0,0001‘dir.

Bilimsel gösterim a · 10ⁿ biçimindedir ve 1 ≤ |a| < 10 koşulu aranır. Virgül sola taşınırsa üs pozitif, sağa taşınırsa negatif olur. Örneğin 450.000 sayısı 4,5 · 10⁵; 0,00045 sayısı 4,5 · 10⁻⁴ biçiminde yazılır.

ÜSLÜ DENKLEMLER

Tabanları Eşitleyerek Üsleri Karşılaştırma

a^m = aⁿ eşitliğinde a pozitif, a ≠ 1 ise m = n’dir. Bu yüzden üslü denklemlerde ilk amaç iki tarafı aynı tabanda yazmaktır. Örneğin 4, 8 ve 32; 2’nin kuvvetlerine dönüştürülebilir.

Üsler eşit, tabanlar değişken olduğunda kuvvetin tek veya çift olması önemlidir. x³ = 8 yalnız x = 2 sonucunu verirken x⁴ = 16 denkleminde x = 2 ve x = −2 olabilir. Ayrıca Aⁿ = 1 için A = 1; n çift tam sayıysa A = −1; n = 0 ve A ≠ 0 ise her uygun A değeri ayrıca incelenmelidir.

ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER VE SIRALAMA

Tabanın Büyüklüğüne Göre Yönü Belirleme

a > 1 ise üs büyüdükçe a^x büyür; aynı tabanlı eşitsizlikte yön korunur. 0 < a < 1 ise üs büyüdükçe değer küçülür ve üsler karşılaştırılırken eşitsizlik yönü tersine döner. Örneğin (1/3)² > (1/3)⁴‘tür.

Üslü sayıları sıralarken ya tabanlar ya da üsler eşitlenir. Ortak dönüşüm mümkün değilse yaklaşık değer, 1’e uzaklık ve karşılaştırmalı kuvvet kullanılır. Pozitif ve 1’den büyük aynı taban için büyük üs; aynı pozitif üs için büyük taban daha büyük sonuç verir.

ÜSLÜ SAYI SORULARINDA TEMEL NOKTALAR

• Tabanın parantez içinde olup olmadığını ve eksi işaretinin üsse dâhil edilip edilmediğini belirlemek gerekir.
• Sıfırıncı kuvvette tabanın sıfır olamayacağını kontrol edilir.
• Çarpmada aynı tabanların üslerini toplamak gerekir, bölmede çıkarmak gerekir.
• Kuvvetin kuvvetinde üsleri çarpmak gerekir; toplama yapmamak gerekir.
• Negatif üssü, tabanı ters çevirip üssü pozitif yaparak düzenlemek gerekir.
• Toplama ve çıkarmada üs kuralı uygulamak yerine ortak çarpan ayırt edici nokta olarak değerlendirilir.
• Bilimsel gösterimde katsayının mutlak değerini 1 ile 10 arasında tutmak gerekir.
• Denklemde iki tarafı mümkünse aynı tabana dönüştürülür.
• Çift kuvvetli denklemlerde pozitif ve negatif taban olasılıklarını incelemek gerekir.
• Taban 0 ile 1 arasındaysa üslü eşitsizlikte yönün tersine döndüğünü göz önünde bulundurmak gerekir.