KPSS Köklü Sayılar konu anlatımı kapsamında kök derecesi ve gerçek sayı tanım koşulları, köklü ifadelerde sadeleştirme, işlemler ve sıralama, paydada kökü yok etme, köklü denklemler ve iç içe kökler işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
KÖKLÜ İFADENİN TANIMI VE GERÇEL SAYI KOŞULU
Kökün Derecesini ve Kök İçini Belirleme
n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak üzere ⁿ√a = b eşitliği, bn = a anlamına gelir. Burada n kök derecesi, a kök içi ve b kökün değeridir. İkinci dereceden kökte derece genellikle yazılmaz; ²√a yerine √a kullanılır.
Kök derecesi çiftse kök içi negatif olamaz. Bu nedenle √(x − 3) ifadesinin gerçel olması için x ≥ 3 gerekir. Kök derecesi tekse negatif sayılar da kök içine girebilir: ³√(−8) = −2.
| Kök Derecesi | Gerçel Sayı Koşulu | Örnek |
|---|---|---|
| Çift | Kök içi sıfır veya pozitif olmalıdır. | ⁴√16 = 2 |
| Tek | Kök içi her gerçel sayı olabilir. | ³√(−27) = −3 |
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
KAREKÖK, MUTLAK DEĞER VE TAM KARELER
√(a²) İfadesinde İşareti Korumak
Karekök işareti, bir sayının negatif olmayan karekökünü gösterir. Bu yüzden √25 = 5‘tir; sonuç ±5 değildir. Buna karşılık x² = 25 denkleminin çözümleri x = 5 ve x = −5’tir.
Her gerçel a için √(a²) = |a| olur. Mutlak değer, a negatif olduğunda sonucu pozitife çevirir. Tek dereceli köklerde bu gereklilik yoktur: ³√(a³) = a.
B) 2x − 5
C) 5 − 2x
D) x + 1
E) 2 − x
KÖK DIŞINA ÇIKARMA VE KÖK İÇİNE ALMA
Tam Kuvvet Çarpanlarını Ayırma
Kök içindeki sayı, kök derecesine uygun tam kuvvet çarpanlarına ayrılır. Karekökte çift sayıda bulunan çarpanların yarısı kök dışına çıkar: √72 = √(36 * 2) = 6√2. Küpkökte ise üçlü çarpan grupları dışarı çıkar: ³√54 = ³√(27 * 2) = 3³√2.
Pozitif bir katsayı kök içine alınırken kök derecesi kadar kuvveti alınır: a√b = √(a²b) (a ≥ 0). Örneğin 3√5 = √45‘tir. Negatif katsayı karekök içine doğrudan alınmaz; eksi işareti dışarıda tutulur.
KÖK DERECESİNİ GENİŞLETME VE SADELEŞTİRME
Kök Derecesi ile Üssü Aynı Sayıyla Çarpma veya Bölme
Köklü ifade ⁿ√(am) = amn biçiminde kesirli üs olarak yazılabilir. Kökün derecesi ile kök içindeki üssü aynı pozitif tam sayıyla çarpmak ifadenin değerini değiştirmez: ³√(a²) = ⁶√(a⁴).
Kök derecelerini ortak katına genişletirken reel sayılarda tanım koşulları ve işaret korunmalıdır. √a = ⁶√(a³) dönüşümü a ≥ 0 için geçerlidir; ³√b = ⁶√(b²) dönüşümü ise b ≥ 0 olduğunda geçerlidir. b < 0 ise işaret eksi olarak korunur: ³√b = −⁶√(b²). Örneğin ³√(−8) = −2 iken ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2 olduğundan ³√(−8) ≠ ⁶√((−8)²).
KÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA
Benzer Köklü Terimlerin Katsayılarını Birleştirme
Köklü ifadelerin toplamı ve farkı tanımlıdır; sadeleştirme sonrasında kök derecesi ve kök içi aynı olan benzer köklü terimlerde katsayılar birleştirilerek tek terim elde edilir. a√x + b√x = (a + b)√x kuralı, cebirsel benzer terimlerin toplanmasıyla aynıdır. Kök içleri ilk bakışta farklıysa önce sadeleştirilir.
√2 + √3 ifadesi √5 yapılamaz; çünkü köklü ifadelerde toplama kök içine dağıtılmaz. Buna karşılık √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2 olur.
B) 4√5
C) 5√5
D) 6√5
E) 7√5
B) 5√3
C) 6√3
D) 7√3
E) 9√3
KÖKLÜ SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME
Aynı Dereceli Kökleri Tek Kök Altında Birleştirme
Uygun tanım koşullarında aynı dereceli kökler çarpılırken ve bölünürken tek kök altında birleştirilebilir: √a * √b = √(ab) ve √a√b = √(ab). Bölmede b pozitif olmalıdır.
Dağılma özelliği de kullanılabilir: √a(√b + √c) = √(ab) + √(ac). İki terimli ifadelerin çarpımında özdeşlikler önemlidir. Özellikle (√a + √b)(√a − √b) = a − b eşitliği köklü terimleri yok eder.
B) ⁶√24
C) ⁶√32
D) ⁶√64
E) ⁶√128
B) 7
C) 8
D) 10
E) 12
KÖKLÜ İFADELERİ SIRALAMA
Kök Derecelerini veya Kuvvetleri Eşitleme
Aynı dereceli pozitif köklü ifadelerde kök içi büyük olan daha büyüktür. Katsayılı köklerde pozitif ifadeler kök içine alınabilir ya da uygun kuvvetleri karşılaştırılabilir. Örneğin 2√3 = √12 ve 3√2 = √18 olduğundan 2√3 < 3√2’dir.
Farklı dereceli pozitif köklerde dereceler ortak kata genişletilir. Yaklaşık yer belirlemek için komşu tam karelerden yararlanılır: 1 < √2 < 2, 2 < √5 < 3. Böylece irrasyonel sayıların sayı doğrusundaki aralığı hesap makinesi olmadan bulunabilir.
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < a < b
PAYDAYI RASYONEL YAPMA VE EŞLENİK
Paydadaki Kökü Uygun Çarpanla Yok Etme
Paydada tek bir karekök varsa kesrin payı ve paydası aynı kökle çarpılır. Örneğin 3√5 = 3√55 olur. İşlemin değeri değişmez; çünkü bu işlem √5√5 = 1 olan çarpanla genişletmeye karşılık gelir.
Payda iki terimliyse eşlenik kullanılır. a + √b ifadesinin eşleniği a − √b‘dir. Eşlenikler çarpıldığında iki kare farkı oluşur ve köklü orta terimler yok olur.
| Payda | Genişletilecek İfade | Paydada Oluşan Sonuç |
|---|---|---|
| √a | √a | a |
| √a + √b | √a − √b | a − b |
| a − √b | a + √b | a² − b |
B) √5 + 1
C) 2√5 + 2
D) 4√5 + 4
E) 5 + √5
KÖKLÜ DENKLEMLER
Kökü Yalnız Bırakıp Sonucu Denklemde Denetleme
Köklü denklem çözülürken köklü ifade yalnız bırakılır, ardından iki taraf uygun kuvvete yükseltilir. Çift kuvvet alma işlemi denkleme yabancı kök ekleyebileceği için bulunan değerler mutlaka başlangıç denkleminde kontrol edilir.
√A = B eşitliğinde yalnız A ≥ 0 değil, B ≥ 0 koşulu da gerekir; karekökün sonucu negatif olamaz. Birden fazla kök varsa köklerden biri yalnız bırakılarak işlem kademeli sürdürülür.
İkinci dereceden x² + bx + c ifadesi, toplamları b ve çarpımları c olan p ve q sayılarıyla (x + p)(x + q) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Örneğin x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). x² − x − 6 = 0 denklemi (x − 3)(x + 2) = 0 biçiminde yazılır. Sıfır çarpım kuralına göre x − 3 = 0 veya x + 2 = 0 olur; çözümler x = 3 ve x = −2’dir.
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
ÖZEL VE İÇ İÇE KÖKLER
İki Kare Toplamı ve Çarpımından Uygun Sayıları Bulma
√(a + 2√b) biçimindeki bir ifade, uygun koşullarda √x + √y olarak yazılabilir. Bunun için x + y = a ve xy = b olmalıdır. Aradaki işaret eksi ise büyük kökten küçük kök çıkarılır.
Örneğin √(9 + 4√5) ifadesinde x + y = 9 ve xy = 20 koşullarını 5 ile 4 sağlar. Bu nedenle √(9 + 4√5) = √5 + 2. Dönüşümün doğruluğu sonucun karesi alınarak kontrol edilebilir.
B) 3 + √2
C) √6 − √5
D) 2√2 − 1
E) 4 − √2