TYT üçgende açılar konu anlatımı; üçgenin iç ve dış açılarını, yardımcı paralelle açı toplamının neden 180° olduğunu ve birleşik şekillerde açı takibini kapsar. Üçgen sorularında çizimin görünüşüne göre tahmin yapmak yerine eşitlikleri doğru açı, tam açı ve paralellik bilgileriyle kurmak gerekir.
Bu konuda kenar uzunluğu, ikizkenarlık veya açıortay gibi ek bir özellik açıkça verilmedikçe şekle bakılarak varsayım yapılmaz. Bir üçgen dar, dik ya da geniş açılı çizilmiş görünse bile yalnız soru metni ve işaretler bağlayıcıdır.
ÜÇGENİN AÇILARI VE TEMEL BAĞINTILAR
Üçgenin Köşeleri, Kenarları ve Açıları
Doğrusal olmayan üç noktanın doğru parçalarıyla birleştirilmesi bir üçgen oluşturur. ABC üçgeni △ABC biçiminde gösterilir. A, B ve C noktaları köşeler; [AB], [BC] ve [CA] doğru parçaları kenarlardır. Köşelerde üçgenin iç bölgesinde kalan açılar iç açı, bir kenarla komşu kenarın uzantısı arasında kalan açılar dış açıdır.
Bir köşede seçilen dış açı, aynı köşedeki iç açıyla doğrusal çift oluşturur. Bu nedenle bir iç açı ile ona komşu dış açının toplamı her zaman 180°’dir. Üçgenin bir köşesinde iki farklı yönde dış açı çizilebilse de bunlar ters açı olduklarından eş ölçülüdür.
Üçgenin İç Açıları Toplamı
Her üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir. △ABC için m(A) + m(B) + m(C) = 180° bağıntısı yazılır. Bu sonuç üçgenin biçimine bağlı değildir; dar açılı, dik açılı ve geniş açılı bütün üçgenlerde geçerlidir.
Bu bağıntının temel gerekçesi bir köşeden karşı kenara paralel doğru geçirmektir. Diğer iki köşedeki açılar iç ters açı olarak bu doğru üzerine taşınır. Taşınan iki açı ile köşedeki açı birlikte bir doğru açı oluşturur.
Üçgenin Dış Açıları Toplamı
Üçgenin her köşesinden aynı yönde birer dış açı seçildiğinde bu üç dış açının toplamı 360° olur. Çünkü her dış açı komşu iç açının 180°’ye bütünleyenidir. Üç kez 180°’den iç açılar toplamı çıkarıldığında 540° − 180° = 360° elde edilir.
| Bağıntı | Sonuç |
|---|---|
| İç açıların toplamı | 180° |
| Aynı yönlü dış açıların toplamı | 360° |
| Bir iç açı + komşu dış açı | 180° |
Bir Dış Açının Uzak İç Açılarla İlişkisi
Bir üçgenin dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. C köşesindeki dış açı x ise x = m(A) + m(B) yazılır. Çünkü C iç açısıyla x toplamı 180°, üçgenin A, B ve C iç açılarının toplamı da 180°’dir.
Bu bağıntı özellikle bir iç açıyı ayrıca bulmadan doğrudan sonuca ulaşmayı sağlar. Dış açı, uzak iç açıların her birinden büyüktür; ancak ikisinin toplamına eşittir.
PARALELLİK VE BİRLEŞİK ŞEKİLLERDE AÇI TAKİBİ
Yardımcı Paralelle İç Açı Toplamı
Üçgenin bir köşesinden karşı kenara paralel doğru çizildiğinde tabandaki iki açı, iç ters açı eşitliğiyle tepe noktasına taşınır. Tepe açısıyla birlikte aynı doğru üzerinde yan yana duran üç açı 180°’yi tamamlar. Bu yöntem yalnız bir ispat değil, şeklin içinde başka paraleller bulunduğunda kullanılacak bir çözüm tekniğidir.
Kenar Uzantısı ve Doğrusal Açı
Bir kenar uzatıldığında oluşan dış açıyla komşu iç açı bir doğru açı meydana getirir. Soruda dış açı bağıntısı hemen görünmüyorsa önce bu doğrusal çiftten iç açı bulunabilir. Birden fazla uzantı varsa hangi dış açının hangi iç açıyla komşu olduğu açıkça izlenmelidir.
Ortak Kenarlı ve İç İçe Üçgenler
İç içe veya ortak kenarlı üçgenlerde her üçgenin 180° bağıntısı ayrı yazılır. Ortak köşedeki büyük açı, yan yana duran küçük açıların toplamıdır. Aynı açı iki denklemde görünüyorsa denklemler taraf tarafa toplanabilir ya da çıkarılabilir; böylece gereksiz bilinmeyenler elenir.
Şekilde bir doğru üzerinde yan yana duran açılar da ayrıca 180°’yi tamamlar. En güvenli yol, önce hangi üçgenin kullanıldığını adlandırmak, sonra yalnız o üçgene ait üç açıyı denkleme almaktır.
Bumerang Biçimli Açı İlişkisi
İçe doğru kırılmış, bumerangı andıran dört kollu şekillerde çukur köşedeki açı çoğu zaman çevredeki üç açının toplamıyla ilişkilidir. Çukur köşeden uygun bir yardımcı doğru çizilerek şekil iki üçgene ayrılır. İki üçgenin açı toplamları birlikte kullanıldığında ortak doğrusal açılar sadeleşir.
Bu tür sorularda çukur bölgede işaretlenen küçük açı ile dıştan ölçülen geniş açıyı karıştırmamak gerekir. Gerekirse nokta çevresindeki 360° toplamı kullanılarak aranan bölge açıkça belirlenir.
TYT DÜZEYİNDE KARMA AÇI UYGULAMALARI
Paralel Doğruyla Kesilen Üçgen
Üçgenin içinden bir kenara paralel doğru geçtiğinde yöndeş ve iç ters açı eşitlikleri oluşur. Önce paralel doğrular üzerindeki eş açılar taşınır, sonra ilgili küçük veya büyük üçgende 180° bağıntısı kurulur. Paralellik yalnız açı taşımak için kullanılır; kenar oranları bu konunun değil, benzerlik konusunun kapsamındadır.
Çok Adımlı Açı Denkleminde Kontrol
Karma sorularda önce eş veya bütünler olan açılar belirlenir; ardından üçgenin 180° bağıntısı en son kurulur. Bulunan değerlerin geometrik aralığı mutlaka denetlenir: iç açılar 0° ile 180° arasında olmalı ve üç iç açının toplamı tam olarak 180° vermelidir. Bir dış açı da uzak iki iç açının her birinden büyük çıkmalıdır.