TYT temel kavramlar, sayı kümeleri ve temel işlemler konu anlatımı kapsamında rakam ve sayı ayrımı, sayı kümeleri ile bunların kapsama ilişkileri, temel işlem özellikleri ve işlem önceliği işlenecektir.
TYT Matematik konularının tamamına TYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Rakam, Sayı ve Sayma Sayıları
Rakam ile Sayı Arasındaki Fark
Rakam, sayıları yazmak için kullandığımız sembollerden her biridir. Onluk sayı sisteminde rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere on tanedir. Sayı ise bir miktarı, sırayı veya ölçüyü ifade eden matematiksel değerdir. Örneğin 507 bir sayıdır; 5, 0 ve 7 bu sayının rakamlarıdır.
“a ve b birer rakamdır.” denildiğinde her biri 0 ile 9 arasında değer alabilir. “a ve b birbirinden farklı rakamlardır.” ifadesi ise aynı değerin iki kez seçilemeyeceğini de söyler. En büyük–en küçük değer sorularında pozitif katsayılı terimlere büyük, negatif katsayılı terimlere küçük rakam vermek yararlıdır; fakat farklılık şartı varsa seçilen rakamların tekrar etmemesi gerekir.
Bir sayının yazılışında baştaki sıfır yeni bir basamak oluşturmaz. 057 ile 57 aynı sayıdır; bu nedenle “üç basamaklı sayı” koşulunda yüzler basamağı 0 olamaz. Buna karşılık sayının herhangi bir ara veya son basamağı 0 olabilir. Rakam sorularında “farklı”, “sıfırdan farklı” ve “üç basamaklı” gibi koşullar birbirinden bağımsız okunmalıdır.
Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar
Sayma sayıları 1’den başlayarak nesnelerin adedini belirtir: 1, 2, 3, … Doğal sayılar kümesi ise sıfırı da içerir ve N = {0, 1, 2, 3, …} biçiminde gösterilir. Bu nedenle her sayma sayısı doğal sayıdır; fakat 0, doğal sayı olmasına rağmen sayma sayısı değildir.
Doğal sayılarla kurulan en büyük–en küçük değer sorularında 0’ın kullanılabileceği unutulmamalıdır. Toplamı sabit iki doğal sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür; sayılar birbirinden uzaklaştıkça küçülür. Pozitif tam sayı şartı verilseydi 0 seçilemeyeceği için en küçük çarpım değişirdi.
Çarpımı sabit pozitif doğal sayıların toplamı ise çarpanlar birbirine yaklaştıkça küçülür. Örneğin çarpımları 36 olan pozitif tam sayı çiftleri 1–36, 2–18, 3–12, 4–9 ve 6–6’dır; en küçük toplam 6 + 6 = 12 olur. Ancak “birbirinden farklı” şartı eklendiğinde 6–6 kullanılamaz ve en küçük toplam 4 + 9 = 13’e çıkar.
Sayı Kümeleri
Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi negatif tam sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları birlikte içerir: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Sıfır ne pozitif ne de negatiftir. Doğal sayıların tamamı aynı zamanda tam sayıdır; bu ilişki N ⊂ Z biçiminde gösterilir.
Tanım kümesi tam sayılar olduğunda negatif değerler de değerlendirilmelidir. Örneğin çarpımları 24 olan iki tam sayı yalnızca 1 ile 24 veya 4 ile 6 değildir; -1 ile -24 ve -4 ile -6 da mümkündür. Bu ayrıntı, özellikle en küçük toplam sorularında sonucu belirler.
Tam sayılar sayı doğrusunda sağa doğru büyür. Bu yüzden negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür: -8 < -3. Bir eşitsizliği yorumlarken yalnız rakamların büyüklüğüne bakmak yerine sayının sıfıra göre konumu düşünülmelidir. Sıfır, negatif ve pozitif tam sayıları ayıran sınırdır; kendisi iki gruba da girmez.
Rasyonel Sayılar
a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Her tam sayı, paydası 1 alınarak kesir biçiminde yazılabildiği için rasyoneldir.
Sonlu ondalık sayılar ile bir basamaktan sonra düzenli olarak tekrar eden devirli ondalık sayılar da rasyoneldir. Örneğin 0,75 = 34 ve 0,333… = 13 olur. Bir kesrin paydasının 0 olamayacağı daima korunmalıdır.
Bir kesir sadeleştirildiğinde sayının değeri değil, yalnızca gösterimi değişir. Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Negatif işaret payda, pay veya kesrin önünde bulunabilir; bu üç gösterim aynı değeri ifade eder. Ancak hem pay hem payda negatifse bölüm pozitiftir.
İrrasyonel ve Gerçel Sayılar
İki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılara irrasyonel sayı denir. π ve e sayıları ile tam kare olmayan pozitif tam sayıların karekökleri bu gruptadır. Örneğin √2, √3 ve √5 irrasyoneldir; ancak √(14) = 12 rasyonel olduğundan her pozitif sayının karekökü irrasyonel değildir.
Gerçel sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir: R = Q ∪ (R \ Q). Bu iki grup ayrıdır; bir gerçel sayı aynı anda hem rasyonel hem irrasyonel olamaz. Sayı kümelerinin temel kapsama zinciri N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R biçimindedir.
Köklü bir ifadenin yalnız görünüşüne bakarak irrasyonel olduğuna karar verilmez. Kök içi tam kareyse sonuç tam sayıdır; köklü ifadeler sadeleştirildiğinde de rasyonel sonuç çıkabilir. Benzer şekilde iki irrasyonel sayının toplamı, farkı veya çarpımı bazen rasyonel bazen irrasyonel olabilir. Bu yüzden “irrasyonel sayılarla yapılan her işlem irrasyoneldir” biçiminde bir kural yoktur.
I. Her doğal sayı rasyoneldir.
II. Her rasyonel sayı tam sayıdır.
III. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.
IV. Rasyonel olmayan her gerçel sayı irrasyoneldir.
Kapalılık ve Küme Seçiminin Önemi
Bir kümeden seçilen iki elemana uygulanan işlem sonucunun yine aynı kümede kalmasına kapalılık denir. Doğal sayılar toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdır; ancak çıkarma ve bölmeye göre kapalı değildir. 3 − 5 = −2 doğal sayı değildir, 12 de doğal sayı değildir.
Kapalılık, işlemin her eleman çifti için kümede sonuç vermesini ister. Birkaç doğru örnek göstermek yeterli değildir; kapalılığın bozulduğunu göstermek için ise tek bir karşı örnek yeterlidir. Bu nedenle seçeneklerde önce sonucun ilgili kümenin dışına çıktığı bir örnek aranır.
Tam sayılar toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalı; bölmeye göre kapalı değildir. Rasyonel sayılar ise sıfıra bölme yapılmadığı sürece dört işleme göre kapalıdır. İrrasyonel sayılar hiçbir temel işlem için tek başına kapalı kabul edilemez; √2 * √2 = 2 bunun en kısa karşı örneğidir.
Temel İşlemler ve İşlem Önceliği
Dört İşlemde İşaret ve Parantez
Toplama işleminde işaretler aynıysa sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret korunur. İşaretler farklıysa mutlak değeri büyük sayıdan küçük olan çıkarılır; sonuca mutlak değeri büyük sayının işareti verilir. Çıkarma işlemi, çıkan sayının toplama işlemine göre tersini eklemektir: a – b = a + (-b).
Çarpma ve bölmede aynı işaretli sayıların sonucu pozitif, farklı işaretli sayıların sonucu negatiftir. Parantezin önünde eksi varsa parantez içindeki her terimin işareti değişir. Örneğin -(a – 2b + 3) = -a + 2b – 3 olur.
İşlem Önceliği
Bir ifadede işlemler gelişigüzel soldan sağa yapılmaz. Önce parantez içleri ve varsa üsler, sonra çarpma–bölme, en son toplama–çıkarma yapılır. Aynı öncelik düzeyindeki işlemler soldan sağa ilerler. Kesir çizgisi de pay ve paydayı ayrı ayrı paranteze alan bir gruplama işareti gibi düşünülmelidir.
İç içe parantezlerde en içteki gruptan başlanır. Özellikle parantezin hemen önündeki eksi işareti ile çarpma işareti birbirine karıştırılmamalıdır. Bir işlem dizisinin doğru sonucu için yalnız hesap doğruluğu değil, hangi işlemin önce yapılacağı da belirleyicidir.
Çarpma ile bölme kendi aralarında, toplama ile çıkarma da kendi aralarında aynı öncelik düzeyindedir. Bu nedenle 24 / 6 * 2 ifadesinde önce çarpma yapılmaz; soldan sağa gidilerek 24 / 6 = 4, ardından 4 * 2 = 8 bulunur. Bir işlemin önüne keyfî olarak öncelik vermek, parantezsiz ifadelerde sık rastlanan hata kaynaklarından biridir.
Değişme, Birleşme ve Dağılma Özellikleri
Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yeri değiştirilebilir: a + b = b + a ve a * b = b * a. Bu işlemler aynı zamanda birleşme özelliğine sahiptir: (a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c). Çıkarma ve bölme işlemlerinde genel olarak değişme ve birleşme özelliği yoktur.
Çarpma işlemi toplama ve çıkarma üzerine dağılır: a * (b + c) = a * b + a * c. Ortak çarpan parantezine alma bunun tersidir. Örneğin 17 * 38 + 17 * 62 = 17 * (38 + 62) = 1700 biçiminde kısa yoldan hesaplanabilir.
Dağılma özelliği bölme için aynı biçimde kullanılamaz. a + bc ifadesi, c ≠ 0 olmak üzere ac + bc biçiminde ayrılabilir; fakat ab + c ifadesi ab + ac değildir. Parantezin paydada bulunması, bütünüyle tek bir bölen oluşturur.
Etkisiz Eleman, Ters Eleman ve Sıfır
Toplama işleminin etkisiz elemanı 0, çarpma işleminin etkisiz elemanı 1’dir: a + 0 = a ve a * 1 = a. Bir sayının toplama işlemine göre tersi -a’dır; toplamları 0 olur. Sıfırdan farklı a sayısının çarpma işlemine göre tersi 1a olur.
Bir sayının 0 ile çarpımı 0’dır. Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü 0 olabilir; ancak herhangi bir sayının 0’a bölümü tanımsızdır. Bu ayrım, sadeleştirme yapılırken gizlice 0’a bölme hatası yapılmasını önler.
“Çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır.” kuralı gerçel sayılarda geçerlidir ve denklem çözümünde sık kullanılır. Buna karşılık iki sayının toplamı 0 ise sayılardan birinin sıfır olması gerekmez; sayılar birbirinin toplama işlemine göre tersi olabilir. Örneğin 7 + (-7) = 0’dır.