KPSS Ondalık ve Devirli Ondalık Sayılar konu anlatımı kapsamında basamak değeri, kesir-ondalık dönüşümleri, ondalık sayılarda dört işlem ve sıralama, devirli ondalıkları rasyonel sayıya çevirme ve yaklaşık değer bulma işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
ONDALIK SAYILARDA BASAMAK DEĞERİ
Tam Kısım, Ondalık Kısım ve Basamak Adları
Ondalık gösterimde virgülün sol tarafı tam kısım, sağ tarafı ondalık kısımdır. Virgülden sonraki ilk basamak onda birler, ikinci basamak yüzde birler, üçüncü basamak binde birler, dördüncü basamak on binde birler basamağıdır. Her basamak sağa gidildikçe öncekinin onda biri değerine iner.
| Basamak | Kesir Karşılığı | 47,306 Sayısındaki Rakam | Basamak Değeri |
|---|---|---|---|
| Birler | 1 | 7 | 7 |
| Onda birler | 110 | 3 | 0,3 |
| Yüzde birler | 1100 | 0 | 0 |
| Binde birler | 11000 | 6 | 0,006 |
47,306 = 4 * 10 + 7 * 1 + 3 * 110 + 0 * 1100 + 6 * 11000 biçiminde çözümlenir. Virgülden sonraki sıfırlar okunurken atlanmaz; çünkü sonraki rakamın hangi basamakta olduğunu belirler.
B) 0,08
C) 0,008
D) 0,0008
E) 8
KESİRLERİ ONDALIK SAYIYA DÖNÜŞTÜRME
Paydayı 10’un Kuvvetine Getirme ve Bölme
Bir kesrin paydası 10, 100, 1000 gibi 10’un pozitif tam sayı kuvvetlerinden birine genişletilebiliyorsa ondalık gösterim doğrudan yazılır. Payda 10 ise virgülden sonra bir; 100 ise iki; 1000 ise üç basamak bulunur. Örneğin 34 kesri 25 ile genişletilerek 75100 = 0,75 biçimine dönüşür.
Paydayı 10’un kuvvetine getirmek kolay değilse pay paydaya bölünür. Bölme işleminde tam kısım bittikten sonra payın sağına sıfır eklenebilir ve bölüme virgül konur. Sonuç ya belirli bir basamakta sona erer ya da bir rakam grubu tekrar etmeye başlar.
B) 0,125
C) 0,175
D) 0,275
E) 1,75
ONDALIK SAYIYI KESRE DÖNÜŞTÜRME
Virgülü Kaldırma ve Sadeleştirme
Sonlu bir ondalık sayı kesre çevrilirken virgül kaldırılarak elde edilen tam sayı paya yazılır. Paydaya ise virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren 10’un kuvveti yazılır. Son adımda kesir mutlaka sadeleştirilir.
| Ondalık Gösterim | İlk Kesir | En Sade Biçim |
|---|---|---|
| 0,36 | 36100 | 925 |
| 1,24 | 124100 | 3125 |
| 0,008 | 81000 | 1125 |
Ondalık kısmın sonuna eklenen sıfırlar sayının değerini değiştirmez: 3,4 = 3,40 = 3,400. Buna karşılık virgülden hemen sonra veya rakamların arasına eklenen sıfır basamak değerini değiştirir; 3,04 ≠ 3,4.
B) 6,700
C) 6710
D) 6,07
E) 6 + 710
ONDALIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA
Virgülleri Alt Alta Getirme
Toplama ve çıkarma işleminde sayıların virgülleri aynı sütuna gelecek biçimde yazılır. Böylece birler birlerle, onda birler onda birlerle, yüzde birler yüzde birlerle işleme girer. Ondalık basamak sayıları farklıysa kısa olan sayının sağına, değeri değiştirmeyen sıfırlar eklenebilir.
Örneğin 12,75 − 3,608 + 0,95 işleminde sayılar 12,750; 3,608 ve 0,950 biçiminde düşünülebilir. Virgül hizası korunmadığında 3,608 sayısındaki 6 rakamı yanlışlıkla yüzde birler sütununa kaydırılabilir.
B) 9,192
C) 10,082
D) 10,092
E) 10,902
ONDALIK SAYILARDA ÇARPMA
Toplam Ondalık Basamak Sayısını Koruma
Ondalık sayılar çarpılırken önce virgüller yokmuş gibi doğal sayı çarpması yapılır. Sonuçta sağdan sola doğru, çarpanlardaki toplam ondalık basamak sayısı kadar basamak sayılıp virgül yerleştirilir. Sonucun solunda basamak eksik kalırsa sıfırla tamamlanır.
2,35 * 0,04 işleminde 235 * 4 = 940 elde edilir. Birinci çarpanda iki, ikinci çarpanda iki olmak üzere toplam dört ondalık basamak bulunduğundan sonuç 0,0940 = 0,094 olur. Yaklaşık değer kontrolü de önemlidir: 2,35’in yüzde 4’ü 1’den küçük olmalıdır.
B) 0,54
C) 5,4
D) 54
E) 0,0054
ONDALIK SAYILARDA BÖLME
Böleni Tam Sayıya Dönüştürme
Bölme işleminde amaç böleni tam sayı yapmaktır. Bölenin virgülü sağa kaç basamak kaydırılıyorsa bölünenin virgülü de aynı sayıda basamak sağa kaydırılır. Bu işlem hem bölüneni hem böleni aynı 10 kuvvetiyle çarptığı için bölümün değerini değiştirmez.
Örneğin 4,62 ÷ 0,14 işleminde her iki sayı 100 ile çarpılır ve 462 ÷ 14 elde edilir. Bölünenin basamakları yetmezse sağına sıfır eklenebilir. Yalnız bölene sıfır eklemek veya virgülü yalnız bir sayıda kaydırmak hatalıdır.
B) 3,3
C) 30
D) 33
E) 330
ONDALIK SAYILARI SIRALAMA
Basamak Sayılarını Eşitleyerek Karşılaştırma
Pozitif ondalık sayılar sıralanırken önce tam kısımlar karşılaştırılır. Tam kısımlar eşitse onda birler, ardından yüzde birler ve diğer basamaklar incelenir. Sayıların ondalık basamak sayıları farklı olduğunda sağlarına sıfır ekleyerek basamaklar eşitlenebilir.
0,507 = 0,5070 iken 0,57 = 0,5700 olduğundan 0,507 < 0,57 olur. Negatif sayılarda önce mutlak değerler karşılaştırılıp sıra ters çevrilir; −0,8 < −0,75’tir, çünkü −0,8 sayı doğrusunda daha soldadır.
B) a = c < b
C) b < a = c
D) a < c < b
E) a = b = c
DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR
Devreden ve Devretmeyen Kısmı Ayırma
Ondalık kısmındaki bir rakam veya rakam grubu sonsuza kadar aynı sırayla tekrar eden sayılara devirli ondalık sayı denir. Tekrarlanan bölümün üstü çizilerek gösterilir: 0,3 = 0,333… ve 2,145 = 2,1454545… biçimindedir.
Virgülden hemen sonra tekrar başlayan basamaklara devreden kısım denir. Tekrar başlamadan önce bulunan basamaklar devretmeyen kısımdır. 0,27 sayısında 2 devretmeyen, 7 devreden rakamdır. Çizgi yalnız gerçekten tekrar eden en kısa bloğun üstüne konur.
Dönüşümün nedeni: x = 0,27 olsun. Devir bloğu iki basamaklı olduğundan 100x = 27,27 olur. Eşitlikleri taraf tarafa çıkarınca 100x − x = 27, yani 99x = 27 elde edilir. Buradan x = 2799 = 311 bulunur. Paydadaki 99, 100 − 1 farkından gelir.
B) 49
C) 14
D) 59
E) 94
DEVİRLİ ONDALIK SAYIYI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME
Dokuzlar ve Sıfırlar Kuralı
Karışık devirli sayıda: x = 1,2333… olsun. Devretmeyen basamağı hizalamak için 10x = 12,3333…; devirli basamağı hizalamak için 100x = 123,3333… yazılır. Bu eşitlikleri çıkarınca 100x − 10x = 90x = 111 olur ve x = 11190 = 3730 bulunur. Paydadaki 90, 100 − 10 farkıdır.
Genel olarak virgülden sonra m basamak devretmiyor, r basamak devir yapıyorsa devirli kısımları yok etmek için 10m+rx − 10mx çıkarılır. Katsayı farkı 10m(10r − 1) olduğundan payda r tane 9’un ardından m tane 0’dan oluşur. Pay, virgül kaldırılarak yazılan sayıdan devretmeyen basamakların tam kısımla birlikte yazıldığı sayının çıkarılmasıyla bulunur.
Devirli ondalık sayıyı kesre çevirirken paya, virgül kaldırılmış bütün sayıdan devretmeyen bölüm çıkarılarak bulunan fark yazılır. Paydaya devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır. Tam kısım varsa virgül kaldırılmış bütün sayıya dahil edilir.
| Sayı | Pay İşlemi | Payda | Kesir |
|---|---|---|---|
| 0,6 | 6 | 9 | 69 = 23 |
| 0,16 | 16 − 1 | 90 | 1590 = 16 |
| 2,45 | 245 − 24 | 90 | 22190 |
Devirli ondalık sayılarla uzun işlem yapmak yerine önce her sayı kesre çevrilip rasyonel sayı kuralları uygulanabilir. Bu yöntem özellikle toplama, çıkarma ve iç içe kesirlerde virgül basamağı hatasını azaltır.
B) 6890
C) 419
D) 40990
E) 3415
SONLU, DEVİRLİ VE YUVARLANMIŞ GÖSTERİMLER
Paydanın Asal Çarpanları ve Yaklaşık Değer
En sade hâlde bulunan bir kesrin paydasında yalnız 2 ve 5 asal çarpanları varsa ondalık gösterim sonludur. Paydada 2 ve 5 dışında bir asal çarpan bulunuyorsa bölme işlemi bir rakam grubunu tekrar ettirir ve sonuç devirli olur. Örneğin 740 sonludur; çünkü 40 = 23 * 5’tir. 512 devirlidir; çünkü 12 = 22 * 3 paydasında 3 çarpanı vardır.
Yuvarlamada korunacak basamağın hemen sağındaki rakama bakılır. Bu rakam 5 veya daha büyükse korunan basamak 1 artırılır; 5’ten küçükse değiştirilmez. Örneğin 6,3587 sayısı yüzde birlere yuvarlandığında binde birler basamağındaki 8 nedeniyle 6,36 olur.
B) 7,24
C) 7,25
D) 7,247
E) 7,30