Basit eşitsizlikler, bir niceliğin diğerinden büyük, küçük, büyük veya eşit ya da küçük veya eşit olduğunu gösterir. KPSS Matematik sorularında eşitsizliği çözmek kadar çözüm kümesini sayı doğrusunda ve aralık biçiminde göstermek, tam sayı değerlerini saymak ve değişkenli ifadelerin alabileceği sınırları belirlemek de önemlidir.
Önceki Ondalık ve Devirli Ondalık Sayılar yazısında sayıların karşılaştırılması ele alınmıştı. Bu yazıda karşılaştırma, cebirsel işlemlerle birlikte kullanılacaktır. Sıradaki Mutlak Değer konusu ise eşitsizliklerin uzaklık yorumunu geliştirecektir.
EŞİTSİZLİK KAVRAMI VE SEMBOLLER
Büyük, Küçük ve Eşitlik İçeren Karşılaştırmalar
a < b, a sayısının b’den küçük; a > b, a sayısının b’den büyük olduğunu belirtir. a ≤ b ifadesi a’nın b’den küçük olmasına veya b’ye eşit olmasına izin verir. Benzer biçimde a ≥ b, a’nın b’den büyük ya da b’ye eşit olabileceğini gösterir.
| Sembol | Okunuş | Sınır Dâhil mi? | Örnek |
|---|---|---|---|
| < | Küçüktür | Hayır | x < 4 |
| > | Büyüktür | Hayır | x > −2 |
| ≤ | Küçük veya eşittir | Evet | x ≤ 7 |
| ≥ | Büyük veya eşittir | Evet | x ≥ 0 |
Bir eşitsizliği doğru yapan sayıların tamamına çözüm kümesi denir. Değişkenin gerçel sayı olduğu belirtilmişse sonuç bir aralık; tam sayı olduğu belirtilmişse aralık içindeki tek tek tam sayılar olarak değerlendirilir.
A) [−2, 5]B) [−2, 5)C) (−2, 5]D) (−2, 5)E) (−∞, 5]
SAYI DOĞRUSU VE ARALIK GÖSTERİMİ
Açık, Kapalı ve Yarı Açık Aralıklar
Sayı doğrusunda eşitsizliğin sınır noktası çözüm kümesine dâhil değilse açık nokta, dâhilse dolu nokta kullanılır. Küçük değerler sınırın solunda, büyük değerler sağında bulunur. Aralık gösteriminde açık nokta normal parantezle, kapalı nokta köşeli parantezle eşleşir.
Sonsuzluk bir sayı ve erişilebilen bir uç nokta değildir. Bu nedenle −∞ ve +∞ yanında daima normal parantez kullanılır. Örneğin x ≤ 3 çözümü (−∞, 3]; x > −1 çözümü (−1, +∞) biçimindedir.
A) [−∞, 3]B) (−∞, 3]C) (−∞, 3)D) [3, +∞)E) (3, +∞)
EŞİTSİZLİĞİN İKİ TARAFINDA İŞLEM YAPMA
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir; eşitsizliğin yönü değişmez. a < b ise her gerçel c için a + c < b + c ve a − c < b − c olur.
Bu kural, bilinmeyenli terimleri bir tarafa ve sabitleri diğer tarafa toplamak için kullanılır. “Terim karşı tarafa geçince işareti değişir” sözü, aslında eşitsizliğin iki tarafına aynı terimin eklenmesi veya çıkarılmasıdır. Eşitsizlik yönünü değiştiren işlem bu değildir.
A) x < 2B) x < 4C) x < 5D) x < 7E) x > 7
POZİTİF VE NEGATİF SAYIYLA ÇARPMA VE BÖLME
Eşitsizlik Yönünün Değiştiği Durum
Eşitsizliğin iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön korunur. İki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön tersine döner. Bunun nedeni sayı doğrusunda negatif çarpmanın sayıları sıfırın karşı tarafına taşıması ve sıralamayı ters çevirmesidir.
| Başlangıç | İşlem | Sonuç | Yön |
|---|---|---|---|
| a < b | c > 0 ile çarpma | ac < bc | Korunur |
| a < b | c > 0’a bölme | a/c < b/c | Korunur |
| a < b | c < 0 ile çarpma | ac > bc | Değişir |
| a < b | c < 0’a bölme | a/c > b/c | Değişir |
A) [−2, 4)B) (−2, 4]C) [−4, 2)D) (−4, 2]E) (−∞, 4]
ZİNCİR EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜMÜ
Üç Bölümde Aynı İşlemi Uygulama
a < ifade ≤ b biçimindeki zincir eşitsizliklerde yapılan işlem sol sınıra, ortadaki ifadeye ve sağ sınıra birlikte uygulanır. Amaç, ortadaki bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. Negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapılırsa zincirdeki iki işaret de ters döner; sonuç yeniden küçükten büyüğe sıralanır.
Kesirli ifadelerde payda sabit ve pozitifse önce bütün bölümler bu paydayla çarpılabilir. Payda negatifse çarpma sırasında yönler çevrilir. Paydada bilinmeyen varsa işareti belirlenmeden doğrudan çarpma yapılamaz; bu tür sorular işaret incelemesi gerektirir.
A) −8 < x ≤ 4B) −7 ≤ x < 112C) −7 < x ≤ 112D) −5 < x ≤ 7E) x ≤ 112
TAM SAYI DEĞERLERİNİ BULMA VE SAYMA
Sınırların Dâhil Olmasına Göre Terim Sayısı
Çözüm aralığı bulunduktan sonra değişkenin tam sayı olduğu söyleniyorsa açık uçlardaki tam sayılar alınmaz, kapalı uçlardakiler alınır. İki uç da tam sayı olduğunda sayma kuralları şöyledir:
| Eşitsizlik | Tam Sayı Adedi | Koşul |
|---|---|---|
| a < x < b | b − a − 1 | İki uç da dışarıda |
| a ≤ x < b veya a < x ≤ b | b − a | Yalnız bir uç içeride |
| a ≤ x ≤ b | b − a + 1 | İki uç da içeride |
Uçlardan biri tam sayı değilse ezber formül yerine aralıktaki ilk ve son tam sayı belirlenmelidir. Örneğin −2,4 < x ≤ 3,1 aralığındaki tam sayılar −2, −1, 0, 1, 2 ve 3’tür.
A) 9B) 10C) 11D) 12E) 13
İKİ DEĞİŞKENLİ İFADELERDE DEĞER ARALIĞI
Toplam ve Farkın En Küçük–En Büyük Değeri
Bağımsız x ve y değişkenlerinin sınırları verildiğinde doğrusal bir ifadenin en küçük ve en büyük değeri katsayıların işaretine göre bulunur. ax + by ifadesinde pozitif katsayıya bağlı değişken büyüdükçe ifade büyür; negatif katsayıya bağlı değişken büyüdükçe ifade küçülür.
Örneğin −2 ≤ x < 4 ve 1 < y ≤ 5 iken 2x − y ifadesinin en küçük değeri için x en küçük, y en büyük seçilir. En büyük değer için x en büyük, y en küçük seçilir. Uçların açık ya da kapalı olması, bulunan sınırın çözüm aralığına dâhil olup olmadığını belirler.
A) (−9, 7)B) [−9, 7)C) (−9, 7]D) [−9, 7]E) [−8, 6)
TERS ALMA, ÇARPMA VE BÖLMEDE İŞARET KONTROLÜ
Sıfırı İçermeyen Aralıklarda Ters Sıralama
Aynı işaretli ve sıfırdan farklı iki sayının çarpma işlemine göre tersi alınırken sıralama tersine döner. 0 < a < b ise 1b < 1a olur. Negatif iki sayıda da tersler karşılaştırılırken uçların sırası değiştirilir.
Aralık sıfırı içeriyorsa doğrudan ters alınamaz; çünkü sıfırın çarpma işlemine göre tersi yoktur ve aralık sıfırın iki yanında ayrı ayrı incelenmelidir. Çarpım ve bölüm sorularında da yalnız sınırları yan yana çarpmak yeterli değildir. Değişkenlerin işaretleri belirlenmeli, gerekirse mümkün uç çarpımları karşılaştırılmalıdır.
A) 12 < 1a < 15B) 2 < 1a < 5C) 15 < 1a < 12D) 0 < 1a < 15E) 1a > 1
EŞİTSİZLİKLERDE KUVVET ALMA
Tek ve Çift Kuvvetlerin Sıralamaya Etkisi
Tek kuvvetler gerçel sayılar üzerinde artan davranır; a < b ise a³ < b³ olur. Çift kuvvetlerde ise işaret kaybolduğu için aralığın sıfırın hangi tarafında bulunduğu kontrol edilir.
- 0 ≤ a < b ise a² < b².
- a < b ≤ 0 ise a² > b².
- Aralık sıfırı içeriyorsa karesinin en küçük değeri 0’dır; en büyük değer için mutlak değeri büyük olan uç incelenir.
A) (0, 9)B) [0, 4)C) (0, 9]D) [0, 9]E) [4, 9]
PROBLEMLERDE EŞİTSİZLİK KURMA
Sözel Koşulu Matematiksel İfadeye Dönüştürme
“En az” ifadesi ≥, “en çok” ifadesi ≤, “daha fazla” >, “daha az” < sembolüne karşılık gelir. Günlük ücret, indirim, yaş, kapasite ve bütçe sorularında önce nicelikler aynı birime dönüştürülür; ardından koşul eşitsizlik olarak yazılır.
Sonucun problem bağlamına uygunluğu ayrıca kontrol edilir. Saat, kişi veya ürün sayısı isteniyorsa negatif değerler elenir; değişkenin tam sayı olması gerekiyorsa gerçel çözüm aralığındaki uygun tam sayılar seçilir.
A) h < 5B) h < 6C) h > 6D) h ≥ 6E) h ≤ 6
BASİT EŞİTSİZLİK SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
- Değişkenin gerçel sayı mı, tam sayı mı olduğunu belirlemek gerekir.
- < ve > için açık; ≤ ve ≥ için kapalı uç kullanılır.
- Sonsuzluk yanında hiçbir zaman köşeli parantez kullanmamak gerekir.
- Toplama ve çıkarmada eşitsizlik yönünün değişmediğini göz önünde bulundurmak gerekir.
- Negatif sayıyla çarpma veya bölmede bütün eşitsizlik işaretlerini ters çevirmek gerekir.
- Zincir eşitsizlikte işlemi üç bölüme birden uygulamak gerekir.
- Paydada bilinmeyen varsa işaretini ve sıfır olma durumunu incelemek gerekir.
- Tam sayı sayarken açık ve kapalı uçları ayrı değerlendirmek gerekir.
- Doğrusal ifadelerin sınırlarında katsayıların işaretlerini kullanmak gerekir.
- Ters alma, çarpma ve kuvvet alma işlemlerinden önce sayıların işaretini kontrol edilir.