KPSS katı cisimler konusu; açınım, yüzey alanı, hacim ve benzerlik oranlarını üç boyutlu şekiller üzerinde birlikte kullanmayı gerektirir. Formülü ezberlemek yerine taban, yükseklik, yanal yüz ve dik kesit ayrımını görmek karma soruları kolaylaştırır.
PRİZMALAR
Taban Alanını Yükseklikle Çarpma
Prizmada paralel ve eş iki taban bulunur. Dik prizmanın hacmi taban alanı·yükseklik; yanal alanı taban çevresi·yüksekliktir. Toplam alan, yanal alana iki taban alanının eklenmesiyle bulunur.
B) 160
C) 172
D) 184
E) 196
B) 512
C) 540
D) 576
E) 600
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI VE KÜP
Yüz ve Uzay Köşegenini Ayırma
Ayrıtları a,b,c olan dikdörtgenler prizmasının hacmi abc, toplam alanı 2(ab+ac+bc), uzay köşegeni √(a²+b²+c²)dir. Küpte a=b=c; uzay köşegeni a√3, toplam alan 6a² olur.
| Cisim | Hacim | Toplam alan | Uzay köşegeni |
|---|---|---|---|
| Dikdörtgenler prizması | abc | 2(ab+ac+bc) | √(a²+b²+c²) |
| Küp | a³ | 6a² | a√3 |
B) 160
C) 192
D) 240
E) 288
B) 40
C) 48
D) 56
E) 64
SİLİNDİR
Dikdörtgen Yanal Yüzü ve Daire Tabanları Birleştirme
Silindirin hacmi πr²h, yanal alanı 2πrh, toplam alanı 2πr(r+h)dir. Yanal yüz açıldığında kenarları 2πr ve h olan dikdörtgen elde edilir.
B) 250π
C) 300π
D) 360π
E) 480π
B) 96π
C) 120π
D) 144π
E) 168π
PİRAMİT VE KONİ
Aynı Taban ve Yükseklikte Prizmanın Üçte Birini Alma
Piramit ve koninin hacmi taban alanı·yükseklik/3’tür. Dik konide ana doğru l=√(r²+h²), yanal alan πrl, toplam alan πr(r+l) olur.
B) 198π
C) 207π
D) 216π
E) 225π
B) 64π
C) 72π
D) 96π
E) 128π
KÜRE
Yarıçapın Karesi ve Küpünü Doğru Kullanma
Kürenin yüzey alanı 4πr², hacmi 4πr³/3’tür. Merkezden d uzaklıktaki düzlemsel kesit bir dairedir ve kesit yarıçapı √(r²−d²) olur.
B) 120π
C) 132π
D) 144π
E) 156π
BENZER KATI CİSİMLER VE HACİM ORANI
Uzunluk Oranını Alan ve Hacme Taşıma
Benzer katılarda karşılıklı uzunlukların oranı k ise yüzey alanlarının oranı k², hacimlerin oranı k³ olur. Aynı malzemeden yapılmış cisimlerde ağırlık da hacimle orantılıdır.
B) 256
C) 280
D) 296
E) 320
KATI CİSİMLERDE TEMEL NOKTALAR
açmak gerekirım, Kesit ve Hacmi Aynı Modelde Okuma
Önce cismin tabanını ve tabana dik yüksekliğini belirlemek gerekir. Eğik bir ayrıt ya da koninin ana doğrusu yükseklik değildir. Prizma ve silindirde hacim taban alanı·yükseklik; piramit ve konide bunun üçte biridir. Aynı taban ve yüksekliğe sahip cisimleri karşılaştırmak, formülü yeniden kurmadan hacim oranına ulaşmayı sağlar.
Yüzey alanında cismin açık mı kapalı mı olduğuna dikkate almak gerekirır. Kapalı silindirde iki daire taban, açık silindirde yalnız bulunan tabanlar eklenir. Prizmada yanal yüzlerin toplamı taban çevresi·yüksekliktir. açmak gerekirım verildiğinde ortak kenarlar cisim kapatılınca içte kalmaz; her görünen yüz yalnız bir kez sayılmalıdır.
Dikdörtgenler prizmasında yüz köşegeni iki ayrıtla, uzay köşegeni üç ayrıtla hesaplanır. Küpün uzay köşegenini bulurken a√2 yerine a√3 kullanılmasının nedeni üçüncü boyutun da Pisagor toplamına katılmasıdır. Cisim içine yerleştirilen en uzun çubuk ya da iki uzak köşe arası mesafe sorularında aranan uzunluk genellikle uzay köşegenidir.
Koni sorularında yarıçap, yükseklik ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur. Yanal alan ana doğruyu, hacim ise dik yüksekliği kullanır. Kürede düzlemsel kesit merkezden uzaklaştıkça küçülür; kesit yarıçapı, küre yarıçapı ve merkezin düzleme uzaklığı yine dik üçgen bağıntısıyla ilişkilidir.
Benzer cisimlerde uzunluk oranını doğrudan hacme uygulanmamalıdır. Uzunluk k, alan k², hacim k³ oranında değişir. Yoğunluk aynıysa kütle ve ağırlık hacimle aynı oranda değişir. Son kontrolde yüzey alanının kare, hacmin küp birimle yazılması boyut hatalarını görünür kılar.