AYT sembolik mantık ve doğruluk çizelgeleri konu anlatımı kapsamında önermelerin sembolleştirilmesi, önerme eklemleri, ana eklem, doğruluk tablosu kurma, tutarlılık, geçerlilik, eşdeğerlik ve çıkarım denetleme yöntemleri ayrıntılı biçimde işlenecektir.
AYT felsefe konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Sembolik Mantığa Giriş
Sembolik Mantığın Konusu ve Amacı
Sembolik mantık, önermeleri ve çıkarımları doğal dilin çok anlamlılığından arındırarak harfler ve eklem sembolleriyle inceler. Bu yaklaşım, bir önermenin hangi nesneden söz ettiğini değil, önermelerin nasıl bağlandığını ve hangi doğruluk koşullarına sahip olduğunu öne çıkarır. Böylece farklı içerikteki çıkarımlar aynı biçime sahipse aynı yöntemle denetlenebilir.
Örneğin “Yağmur yağarsa yol ıslanır.” ile “Çalışırsa başarılı olur.” cümlelerinin içerikleri farklıdır; fakat ikisi de p ⇒ q biçimindedir. Sembolik mantığın sağladığı ekonomi, açıklık ve kesinlik, biçimsel benzerliği görünür kılar. Bununla birlikte sembolleştirme yapılmadan önce p ve q harflerinin hangi önermeleri temsil ettiği açıkça belirlenmelidir.
Bu uygulama sembolik mantığın hangi özelliğini en iyi gösterir?
B) Sözcüklerin etimolojisini araştırması
C) İçerikten soyutlanıp önermelerin biçimsel yapısını ve doğruluk koşullarını incelemesi
D) Yalnız zorunlu doğru önermeleri kabul etmesi
E) Doğal dildeki bütün anlam ayrımlarını ortadan kaldırması
Önerme Harfleri ve İki Değerli Mantık
Önermeler mantığında basit önermeler genellikle p, q, r, s, t gibi küçük harflerle gösterilir. Her önerme yalnız iki doğruluk değerinden birini alır: D doğruyu, Y yanlışı gösterir. Bu nedenle önermeler mantığı iki değerli bir sistemdir.
Harfler, aynı çözüm boyunca aynı önermeyi temsil etmelidir. “Ali çalışkandır.” p olarak tanımlandıysa çözümün ortasında p harfi “Ayşe başarılıdır.” anlamına geçirilemez. Sembolik biçimin güvenilirliği, sembol sözlüğünün sabit tutulmasına bağlıdır.
Bu çözümün temel hatası aşağıdakilerden hangisidir?
B) Bir sembolün temsil ettiği önermeyi çözüm içinde değiştirerek sabit sembol sözlüğünü bozması
C) İki farklı önerme kullanması
D) q harfine doğruluk değeri vermesi
E) Doğal dil cümlesini sembolleştirmesi
Basit ve Bileşik Önermeler
Sembolik mantıkta içinde hiçbir önerme eklemi bulunmayan p, q gibi önermeler basit önerme; en az bir eklemle kurulmuş ~p, p ∧ q, p ⇒ q gibi yapılar bileşik önerme sayılır. Bu ölçüt, klasik mantıktaki özne–yüklem yapısından farklıdır. Özellikle olumsuz bir cümle klasik mantıkta tek yargı sayılabilse de sembolik mantıkta ~ değilleme eklemi taşıdığı için bileşiktir.
Bir formülün karmaşıklığı, kullandığı farklı harf sayısıyla aynı şey değildir. ~~~p yalnız p harfini içerir; fakat üç değilleme işlemi bulunduğundan bileşiktir. Buna karşılık p tek bir harftir ve basittir.
B) p ∧ p iki farklı harf içermediği için basittir.
C) ~p, tek önerme harfi içerse de değilleme eklemi taşıdığı için bileşiktir.
D) Bir önermenin bileşik olması için en az iki farklı harf içermesi gerekir.
E) p tek harfli olduğu için bileşik, ~p iki işaretli olduğu için basittir.
Çıkarım, Öncüller ve Sonuç
Bir veya daha çok önermeden başka bir önermenin çıkarılmasına çıkarım denir. Dayanak olarak kullanılan önermeler öncül, ulaşılan önerme sonuçtur. Sembolik gösterimde öncüller virgülle ayrılır; sonuçtan önce ∴ işareti kullanılır. Örneğin p ⇒ q, p ∴ q biçimi “p ise q; p; o hâlde q” çıkarımını gösterir.
Çıkarımın geçerli olması, öncül ve sonucun günlük hayatta gerçekten doğru olmasına bağlı değildir. Denetlenen soru şudur: Öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu herhangi bir yorum var mı? Böyle bir yorum varsa çıkarım geçersiz; yoksa geçerlidir.
Bu çıkarımın yalnız biçimine bakıldığında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
B) Koşul önermesi bulunan her çıkarım geçerlidir.
C) Aynı harf iki kez kullanıldığı için çıkarım tutarsızdır.
D) q başka bir nedenle de doğru olabileceğinden, öncüller doğru ve sonuç yanlış olabilen bir yorum kurulabilir.
E) Doğal dilde anlamlı olduğu için doğruluk çizelgesine gerek yoktur.
Önerme Eklemeleri ve Sembolleştirme
Beş Temel Önerme Eklemi
Önermeler mantığında beş temel eklem kullanılır. ~ değilleme, ∧ tümel evetleme yani “ve”, ∨ tikel evetleme yani kapsayıcı “veya”, ⇒ koşul ve ⇔ karşılıklı koşul eklemidir. Doğal dilde “hem … hem”, “ama”, “ancak”, “yeter ki”, “ancak ve ancak”, “gerekli ve yeterli” gibi ifadeler bağlama göre bu eklemleri karşılar.
“Ama” sözcüğü duygusal bir karşıtlık taşısa da doğruluk bakımından çoğunlukla ∧ gibi değerlendirilir. “Veya” ise aksi açıkça belirtilmedikçe kapsayıcıdır; p ile q’nun ikisi birden doğru olabilir. “Ancak ve ancak” iki yönlü koşul kurar ve ⇔ ile gösterilir.
| Eklem | Sembol | Ayırt Edici Doğruluk Koşulu |
|---|---|---|
| Değilleme | ~p | p’nin değerini tersine çevirir. |
| Ve | p ∧ q | Yalnız D–D durumunda doğrudur. |
| Veya | p ∨ q | Yalnız Y–Y durumunda yanlıştır. |
| Koşul | p ⇒ q | Yalnız D–Y durumunda yanlıştır. |
| Karşılıklı koşul | p ⇔ q | Değerler aynıysa doğrudur. |
“Deniz sınavı ancak ve ancak çalışırsa kazanır.” cümlesinin doğru sembolik gösterimi hangisidir?
B) p ⇔ q
C) p ∨ q
D) p ⇒ q
E) ~p ⇒ q
Değilleme ve Çifte Değilleme
Değilleme, önüne geldiği önermenin doğruluk değerini tersine çevirir: p doğruysa ~p yanlış; p yanlışsa ~p doğrudur. Çifte değillemede ~~p, p ile aynı doğruluk değerini alır. Ancak bu eşitlik, yazım bakımından iki ifadenin aynı olduğu değil, doğruluk bakımından eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Değillemenin kapsamı parantezle belirlenir. ~(p ∧ q), bütün bir “ve” önermesini değiller; ~p ∧ q ise yalnız p’yi değiller. Bu iki formül genel olarak aynı değildir.
B) ~q
C) ~(p ∨ ~q)
D) ~p ∨ ~q
E) ~(~p ∧ q)
Ve ile Veya Eklemelerinin Ayrımı
p ∧ q önermesi, iki bileşenin de doğru olmasını ister. Bileşenlerden biri bile yanlışsa bütün önerme yanlıştır. p ∨ q önermesi ise bileşenlerden en az biri doğru olduğunda doğrudur; yalnız ikisi de yanlışken yanlış olur.
Günlük dildeki “ya … ya” bazen dışlayıcı veya anlamında kullanılır. Fakat standart önermeler mantığında ∨ sembolü kapsayıcı veya anlamındadır. Dışlayıcılık açıkça istenirse “p veya q, fakat ikisi birden değil” gibi ek bir yapı kurulmalıdır.
B) p ∧ q yanlıştır; çünkü iki doğru birlikte kullanılamaz.
C) p ⇒ q yanlıştır; çünkü ön bileşen doğrudur.
D) p ∨ q doğrudur; çünkü en az bir bileşenin doğru olması yeterlidir ve ikisinin doğru olması buna engel değildir.
E) p ⇔ q yanlıştır; çünkü iki bileşen aynı değerdedir.
Koşul ve Karşılıklı Koşul
p ⇒ q koşul önermesinde p ön bileşen, q art bileşendir. Koşul yalnız ön bileşen doğru, art bileşen yanlışken yanlıştır. p’nin yanlış olduğu satırlarda koşulun doğru çıkması, p’nin q’yu gerçek hayatta açıkladığı anlamına gelmez; bu yalnız koşul ekleminin doğruluk tanımıdır.
p ⇔ q karşılıklı koşulu, p ⇒ q ile q ⇒ p koşullarını birlikte arar. Bu nedenle p ve q aynı doğruluk değerini aldığında doğru, farklı değer aldığında yanlıştır.
B) q ⇒ p
C) q ⇔ r
D) p ⇔ q
E) q ∧ ~r ⇒ p
Parantezler ve Sembolleştirme Sırası
Doğal dildeki bileşik cümle sembolleştirilirken önce basit önermeler harflendirilir, sonra en dar bağlar kurulur ve en son bütün cümleyi birleştiren ana eklem belirlenir. Parantezler, hangi eklemin hangi bileşenleri bağladığını gösterir. (p ∧ q) ⇒ r ile p ∧ (q ⇒ r) aynı sembolleri içerse de farklı yapılardır.
“p ise hem q hem r” ifadesi p ⇒ (q ∧ r); “p ve q ise r” ifadesi (p ∧ q) ⇒ r biçimindedir. Özellikle “ise” ekleminin ön ve art bileşenlerinin nerede başladığı parantezle açıklaştırılmalıdır.
“Plan doğru hazırlanır ve kaynak yeterliyse proje zamanında biter.” cümlesinin doğru sembolleştirilmesi hangisidir?
B) p ⇒ (q ∧ r)
C) (p ⇒ q) ∧ r
D) p ⇔ (q ⇒ r)
E) (p ∧ q) ⇒ r
Ana Eklem ve Ana Bileşenler
Bir bileşik önermeyi bütünüyle kuran, başka deyişle formülde en son uygulanan ekleme ana eklem denir. Ana eklem formülü iki ana bileşene ayırır; değillemede ise tek bileşenin bütününü etkiler. Dış parantezler kaldırıldığında formülü en üst düzeyde bölen sembol aranır.
Örneğin (p ∧ ~q) ⇒ r formülünün ana eklemi ⇒; ön bileşeni p ∧ ~q, art bileşeni r’dir. İçteki ∧ ve ~ eklemleri önce hesaplanır; bütün formülün nihai doğruluk değerini en son ⇒ belirler.
B) Ana eklem ⇒, ana bileşenler p ve q’dur.
C) Ana eklem ∧, ana bileşenler p ⇒ q ile r ∨ ~p’dir.
D) Ana eklem ∨, ana bileşenler r ile ~p’dir.
E) Ana eklem ~, tek ana bileşen yalnız p’dir.
Doğruluk Çizelgeleri
Satır Sayısı ve Yorum Düzeni
Bir doğruluk çizelgesinde n farklı önerme harfi varsa 2n satır gerekir. Bir harf için 2, iki harf için 4, üç harf için 8, dört harf için 16 farklı yorum vardır. Aynı harfin formülde kaç kez geçtiği satır sayısını artırmaz; yalnız farklı harfler sayılır.
Düzenli sıralamada üç harf için p sütunu dört D–dört Y, q sütunu ikişer D–Y, r sütunu birer D–Y biçiminde değişir. Bu ritim, sekiz olası yorumun hiçbirini atlamadan ve yinelemeden yazmayı sağlar.
| p | q | r |
|---|---|---|
| D | D | D |
| D | D | Y |
| D | Y | D |
| D | Y | Y |
| Y | D | D |
| Y | D | Y |
| Y | Y | D |
| Y | Y | Y |
B) 6 satır, 3 D
C) 8 satır, 8 D
D) 16 satır, 8 D
E) 8 satır, 4 D
| Satır | X | Z |
|---|---|---|
| 1 | D | D |
| 2 | D | Y |
| 3 | Y | D |
| 4 | Y | Y |
| 5 | D | D |
| 6 | D | Y |
| 7 | Y | D |
| 8 | Y | Y |
Buna göre X ve Z sütunlarının ritmi hangisidir?
B) X birer, Z ikişer satırda değer değiştirir.
C) Her ikisi dörder satırda değer değiştirir.
D) X hiç değişmez, Z birer satırda değişir.
E) Her ikisi de düzensizdir.
Temel Eklemelerin Doğruluk Tabloları
Değilleme tek bileşenli olduğu için iki satırlıdır. Diğer dört eklem iki bileşenli olduğundan doğruluk çizelgeleri dört olası değerlemeden oluşur. ∧ eklemi p ve q’nun ikisi de D iken D, ∨ ikisi de Y iken Y, ⇒ ise p D ve q Y iken Y olur. ⇔, bileşenler aynı doğruluk değerini aldığında D, farklı değerler aldığında Y verir.
| p | q | ~p | p ∧ q | p ∨ q | p ⇒ q | p ⇔ q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| D | D | Y | D | D | D | D |
| D | Y | Y | Y | D | Y | Y |
| Y | D | D | Y | D | D | Y |
| Y | Y | D | Y | Y | D | D |
| p | q | K | L |
|---|---|---|---|
| D | D | D | D |
| D | Y | ? | Y |
| Y | D | D | ? |
| Y | Y | D | D |
Soru işaretlerinin yerine sırasıyla hangi değerler gelmelidir?
B) Y – Y
C) D – Y
D) Y – D
E) Y – Dışlanmış
Bileşik Önermenin Çizelgesini Kurma
Karmaşık bir formül değerlendirilirken önce temel harf sütunları yazılır, sonra en içteki eklemlerden başlanarak ara sütunlar oluşturulur. Son sütun ana eklemin sonucudur. Bir ara sütunu zihinden atlamak, özellikle değillemenin kapsamı ve koşulun yönü konusunda hata riskini artırır.
Örneğin (p ∨ q) ∧ ~p için önce p ∨ q, sonra ~p, en son bu iki ara sütunun ∧ sonucu hesaplanır. Sonuç sütununu belirleyen işlem sırası, formülün parantez yapısıyla aynıdır.
B) D; çünkü q yanlıştır.
C) Y; çünkü q ⇒ r yanlıştır.
D) Belirsiz; çünkü üç harf vardır.
E) Y; çünkü p ∧ q=Y, q ⇒ r=D, bunların veya’sı D ve dış değilleme Y’dir.
| p | q | p ∨ q | ~p | (p ∨ q) ∧ ~p |
|---|---|---|---|---|
| D | D | D | Y | Y |
| D | Y | D | Y | Y |
| Y | D | D | D | ? |
| Y | Y | Y | D | Y |
Soru işaretinin yerine hangi değer gelmeli ve bu satır neyi gösterir?
B) Y; formülün tutarsız olduğunu
C) Y; formülün totoloji olduğunu
D) D; formülün geçerli olduğunu
E) Belirsiz; ara sütunlar yetersizdir.
Doğruluk Çizelgesiyle Denetleme
Tek Önermede Tutarlılık, Tutarsızlık ve Totoloji
Bir önermenin sonuç sütununda en az bir D bulunuyorsa önerme tutarlıdır; çünkü onu doğru yapan en az bir yorum vardır. Sonuç sütununun tamamı Y ise önerme tutarsızdır. Sonuç sütununun tamamı D ise önerme totoloji ve aynı zamanda geçerlidir.
Geçerlilik ile tutarlılık aynı kapsamda değildir. Her geçerli önerme tutarlıdır; fakat her tutarlı önerme geçerli değildir. Sonuç sütununda hem D hem Y bulunan olumsal bir önerme tutarlı, fakat geçersizdir.
K için aşağıdakilerden hangisi zorunludur?
B) Totoloji ve tutarlıdır.
C) Tutarlı fakat geçersizdir.
D) Geçerli fakat tutarsızdır.
E) Aynı satır sırasındaki D, Y, Y, D sonuç sütunlu L önermesiyle eşdeğerdir.
B) Her geçerli önerme tutarlıdır; ancak bir önerme tutarlı olduğu hâlde bazı yorumlarda yanlış olabilir.
C) Tutarsız bir önerme en az bir yorumda doğrudur.
D) Geçersiz her önerme tutarsızdır.
E) Totoloji, bütün satırlarında Y bulunan önermedir.
Birden Fazla Önermenin Bir Arada Tutarlılığı
Birden fazla önermenin tek tek tutarlı olması, onların birlikte tutarlı olduğunu göstermez. Önermeler bir arada tutarlı sayılabilmek için aynı yorum satırında hepsinin D olması gerekir. Böyle ortak bir doğrulayıcı satır yoksa önerme kümesi bir arada tutarsızdır.
Örneğin p ve ~p ayrı ayrı tutarlıdır; p’yi doğru yapan, ~p’yi ise yanlış yapan yorumlar vardır. Fakat aynı satırda ikisi birden doğru olamaz. Bu yüzden {p, ~p} kümesi bir arada tutarsızdır.
| Satır | K | L | M |
|---|---|---|---|
| 1 | D | Y | D |
| 2 | D | D | Y |
| 3 | Y | D | D |
| 4 | D | D | D |
Bu tabloya göre hangisi doğrudur?
B) K tek başına tutarsızdır.
C) L ile M eşdeğerdir.
D) K, L ve M’nin her biri totolojidir.
E) Üç önerme bir arada tutarsızdır.
B) p ⇒ q yalnız p yanlışken yanlış olduğu için ortak satır vardır.
C) ~q, q ile her zaman aynı değeri aldığından birlikte tutarlıdır.
D) Tek tek tutarlı olmaları, birlikte tutarlı olduklarını kanıtlar.
E) p ve ~q doğru olduğunda p ⇒ q yanlış olacağından ortak doğrulayıcı satır yoktur.
Önermelerin Geçerliliği
Bir önerme bütün yorumlarda D değerini alıyorsa geçerlidir. Tek bir yanlışlayıcı yorum bulunması, geçerliliği çürütmeye yeter. Bu nedenle geçersizlik göstermek için bütün tabloyu tamamlamak zorunlu olmayabilir; formülü Y yapan bir karşı yorum kurmak yeterlidir.
Örneğin p ∨ ~p her satırda D aldığı için geçerlidir. p ⇒ q ise p=D, q=Y satırında Y aldığı için geçersizdir; başka satırlarda doğru olması sonucu değiştirmez.
B) p=D, q=Y satırında ön bileşen doğru olduğu için yanlıştır.
C) q=Y olan her satırda yanlıştır.
D) Koşulun ön bileşeni doğru olduğunda q da doğru olmak zorunda kaldığından K bütün satırlarda doğrudur.
E) Yalnız p ve q doğruyken doğrudur.
B) p=Y, q=D
C) p=D, q=Y
D) p=Y, q=Y iken dış koşulun ön bileşeni Y’dir.
E) Hiçbir yorum çürütemez.
Önermelerin Eşdeğerliği
İki önerme, doğruluk çizelgesinin her satırında aynı değeri alıyorsa eşdeğerdir ve aralarına ≡ yazılır. Yalnız bazı satırlarda aynı olmaları eşdeğerlik için yeterli değildir. Bir tek farklı satır, eşdeğerliği bozar.
Eşdeğerlik, iki formülün yazılışının aynı olması demek değildir. Örneğin p ⇒ q ile ~p ∨ q farklı görünür; fakat dört satırda aynı sonuç sütununa sahip olduklarından eşdeğerdir. Aynı şekilde ~~p ≡ p’dir.
| Satır | K | L |
|---|---|---|
| 1 | D | D |
| 2 | Y | Y |
| 3 | D | D |
| 4 | D | D |
Tablo hangi sonucu kesin olarak gösterir?
B) K ile L bir arada tutarsızdır.
C) K ≡ L; çünkü her satırdaki değerleri aynıdır.
D) K geçerli, L geçersizdir.
E) K ve L yalnız ikinci satırda eşdeğerdir.
B) ~p ∨ q
C) p ∨ ~q
D) ~p ∧ q
E) q ⇒ p
B) K totoloji, L tutarsızdır.
C) p=Y, q=Y satırında farklı değer alırlar.
D) Her yorumda aynı değeri aldıklarından eşdeğerdirler.
E) Eşdeğerlik yalnız biçimleri aynıysa kurulabilir.
Çıkarım Geçerliliğini Denetleme: Birinci Yol
Bir çıkarımın geçerliliği doğruluk çizelgesiyle iki yoldan denetlenebilir. Birinci yolda bütün öncüller ∧ ile birleştirilir ve bu birleşik yapı, sonuç önermesine ⇒ ile bağlanır. Elde edilen (öncüllerin tümel evetlemesi) ⇒ sonuç formülü bütün satırlarda D ise çıkarım geçerlidir.
İki öncüllü p ⇒ q, p ∴ q çıkarımı [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q biçimine dönüştürülür. Bu formül totoloji olduğundan çıkarım geçerlidir. Dönüştürülen formülde tek bir Y bulunursa öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu karşı örnek bulunmuş demektir.
| p | q | p ⇒ q | ~q | ~p | [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p |
|---|---|---|---|---|---|
| D | D | D | Y | Y | D |
| D | Y | Y | D | Y | D |
| Y | D | D | Y | D | D |
| Y | Y | D | D | D | D |
Bu tabloya göre çıkarım için hangisi söylenir?
B) Öncüller birlikte tutarsız olduğu için otomatik geçersizdir.
C) Sonuç sütununda Y aranmaz; yalnız öncüller değerlendirilir.
D) İkinci satırda sonuç ~p yanlış olduğu için çıkarım geçersizdir.
E) Çıkarımın geçerliliği q’nun gerçek hayattaki doğruluğuna bağlıdır.
Çıkarım Geçerliliğini Denetleme: İkinci Yol
İkinci yolda öncüller aynen korunur, sonuç önermesinin değili alınır ve bunların bir arada tutarlı olup olmadığı araştırılır. Öncüller ile değillenmiş sonuç bir arada tutarsızsa çıkarım geçerlidir. Çünkü öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan hiçbir yorum yoktur.
Eğer öncüller ve değillenmiş sonuç aynı satırda birlikte D olabiliyorsa bu satır çıkarımın karşı örneğidir ve çıkarım geçersizdir. İkinci yolun mantığı, geçersizliğin tam koşulunu doğrudan aramaktır.
B) Sonuç q öncüllere aynen eklenir; ortak D bulunursa geçerlidir.
C) Yalnız p ⇒ q önermesinin totoloji olup olmadığına bakılır.
D) p ⇒ q, p ve ~q’nun bir arada tutarlılığı araştırılır; ortak D satırı yoksa çıkarım geçerlidir.
E) Öncüllerin değilleri alınır ve q ile birleştirilir.
| p | q | p ⇒ q | q | ~p |
|---|---|---|---|---|
| D | D | D | D | Y |
| D | Y | Y | Y | Y |
| Y | D | D | D | D |
| Y | Y | D | Y | D |
Tablonun üçüncü satırı neyi kanıtlar?
B) p ⇒ q tutarsızdır.
C) Öncüller ve değillenmiş sonuç birlikte doğru olabildiği için çıkarım geçersizdir.
D) Sonuç p zorunlu olarak doğrudur.
E) Çıkarım geçerlidir; çünkü bir öncül doğrudur.
İki Denetleme Yolunun İlişkisi
Birinci ve ikinci yol aynı geçerlilik ölçütünü iki farklı biçimde uygular. Birinci yol, “öncüller doğruysa sonuç da doğru olmalıdır” koşulunu totoloji olarak arar. İkinci yol, bunun karşıtı olan “öncüller doğru ve sonuç yanlış” durumunun imkânsızlığını araştırır.
Bu nedenle bir çıkarım birinci yolda geçerliyse ikinci yolda da geçerli çıkmalıdır. Yöntemlerin farklı sonuç vermesi, doğruluk tablosunda, değillemede veya öncülleri birleştirme işleminde hata yapıldığını gösterir.
I. [(Öncül 1 ∧ Öncül 2) ⇒ Sonuç] formülü bütün satırlarda D’dir.
II. Öncül 1, Öncül 2 ve ~Sonuç aynı satırda birlikte D olabilmektedir.
Bu iki bulgu için hangisi söylenmelidir?
B) I yalnız tutarlılığı, II yalnız eşdeğerliği gösterir.
C) II bulunmuşsa I’in son sütunu yine de bütünüyle D olabilir.
D) Bulgular çelişir; çünkü I geçerliliği, II ise geçersizliği gösterir ve hesaplardan en az biri hatalıdır.
E) Sonucun günlük doğruluğu bilinmeden karar verilemez.
B) p ∨ q, p ∴ ~q
C) p ⇒ q, ~p ∴ ~q
D) p ⇔ q, ~p ∴ q
E) p ⇒ q, q ⇒ r, p ∴ r
Çıkarımın Doğruluk Çizelgesiyle Denetlenmesi
Geçerlilik Ölçütü
Bir formülde n farklı önerme harfi varsa doğruluk çizelgesinde 2n olası değerleme bulunur. Bileşik önermelerin doğruluk değeri, alt formüllerin değerleri ile ana eklemin doğruluk kuralına bağlıdır.
En az bir satırında D bulunan formül tutarlıdır; bütün satırları D olan formül totolojiktir, bütün satırları Y olan formül çelişiktir. İki formül, karşılık gelen sütunları her değerlemede aynı doğruluk değerini alıyorsa eşdeğerdir.
Bir çıkarımda bütün öncüllerin tümel evetlemesi sonuç önermesine koşul olarak bağlandığında, kurulan bileşik formül bütün satırlarda D ise çıkarım geçerlidir. Aynı ölçüt, öncüller tümü D iken sonucun Y olduğu bir değerlemenin bulunmaması biçiminde ifade edilir. Koşullu önerme yalnız ön bileşen D, art bileşen Y olduğunda Y aldığı için böyle bir değerleme çıkarıma karşı örnek oluşturur.
Önceki Konu: Mantık ve Dil
Sonraki Konu: Çözümleyici Çizelge, Niceleme Mantığı ve Çok Değerli Mantık