AYT KÜTLE ÇEKİM KUVVETİ, UYDULAR VE KEPLER KANUNLARI

AYT kütle çekim kuvveti, uydular ve Kepler kanunları konu anlatımı kapsamında evrensel çekim yasası, yer çekimi ivmesinin konuma göre değişimi, çekim potansiyel enerjisi, yapay uyduların hızı, periyodu ve enerjisi ile Kepler’in üç kanunu işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Evrensel Kütle Çekim Yasası

Kütle Çekim Kuvvetinin Büyüklüğü

Kütlesi bulunan her iki cisim birbirini çeker. Noktasal kabul edilen m₁ ve m₂ kütlelerinin merkezleri arasındaki uzaklık r ise çekim kuvvetinin büyüklüğü F = Gm₁m₂/r² bağıntısıyla hesaplanır. G evrensel çekim sabitidir; değeri yaklaşık 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²’dir.

Küresel ve homojen cisimler, birbirlerinin dışında kalan noktalar bakımından bütün kütleleri merkezlerinde toplanmış gibi modellenebilir. Bu nedenle iki gezegen arasındaki r uzaklığı yüzeyler arasında değil, merkezler arasında ölçülür. Kuvvet, kütlelerin çarpımıyla doğru; merkezler arası uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.

Örnek - 1

K ve L gezegenlerinin kütleleri sırasıyla M ve 4M, yarıçapları R ve 2R’dir. Gezegenlerin yüzeyleri arasındaki uzaklık 3R iken birbirlerine uyguladıkları çekim kuvveti F oluyor. Yüzeyler arası uzaklık R’ye indirilirse yeni çekim kuvveti kaç F olur?

A) 9F/4
B) 2F
C) 3F/2
D) 4F/3
E) F

Cevabı Göster

İlk durumda merkezler arası uzaklık R + 3R + 2R = 6R, ikinci durumda R + R + 2R = 4R’dir. Kütleler değişmediğinden F’ ∕ F = (6R/4R)² = 9/4 olur.

Cevap: A

Kuvvetin Yönü ve Etki–Tepki Çifti

Çekim kuvveti, iki cismin merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir ve her cisim için diğer cisme yönelir. m₁‘in m₂‘ye uyguladığı kuvvet ile m₂‘nin m₁‘e uyguladığı kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Bu kuvvetler farklı cisimlere etki ettiği için birbirini yok etmez; Newton’un üçüncü yasasına göre etki–tepki çiftidir.

Kütlelerden biri çok büyük olsa da kuvvetlerin büyüklükleri eşittir. Farklı olan ivmelerdir. F = ma gereğince küçük kütleli cisim daha büyük, büyük kütleli cisim daha küçük ivme kazanır. Yalıtılmış iki cisim ortak kütle merkezlerine doğru hareket eder.

Örnek - 2

Uzayda başlangıçta durgun olan 2m ve 5m kütleli K ile L cisimleri yalnız karşılıklı çekim kuvvetlerinin etkisindedir. Cisimler birbirine yaklaşırken kuvvet büyüklükleri F_K, F_L; ivme büyüklükleri a_K, a_L; eşit süredeki hız değişimleri Δv_K, Δv_L ile gösteriliyor. Hangi ilişki doğrudur?

A) F_K < F_L, a_K = a_L
B) F_K = F_L, a_K/a_L = Δv_K/Δv_L = 5/2
C) F_K = F_L, a_K/a_L = 2/5
D) F_K > F_L, Δv_K = Δv_L
E) F_K/F_L = 2/5, a_K/a_L = 5/2

Cevabı Göster

Etki–tepki kuvvetleri her anda eşit büyüklüktedir. Bu nedenle eşit zaman aralıklarında cisimlere aktarılan itmelerin büyüklükleri eşit, dolayısıyla |Δp_K| = |Δp_L| olur. Cisimler başlangıçta durgun olduğundan 2mΔv_K = 5mΔv_L ve Δv_K/Δv_L = 5/2’dir. Ayrıca her anda a = F/m olduğundan a_K/a_L = (F/2m)/(F/5m) = 5/2 olur.

Cevap: B

Çekim Kuvvetinin Değişkenlere Bağlılığı

F = Gm₁m₂/r² bağıntısında kütlelerden biri iki katına çıkarılırsa kuvvet iki katına; iki kütle de iki katına çıkarılırsa dört katına çıkar. Uzaklık iki katına çıktığında kuvvet başlangıç değerinin dörtte birine iner. Oran sorularında G sabit olduğundan doğrudan F₂/F₁ = (m_1,2m_2,2/m_1,1m_2,1)(r₁/r₂)² kullanılabilir.

Bir cismin parçalanması toplam kütleyi değiştirmese de parçaların konumları değişirse diğer cisme uygulanan bileşke kuvvet değişebilir. Çünkü her parçanın uzaklığı ve kuvvet yönü ayrı hesaplanır. Parçalar aynı noktada kabul edilebiliyorsa toplam kütle kullanılabilir.

Birden Çok Kütlenin Bileşke Çekim Kuvveti

Bir cisme birden fazla kütle çekim kuvveti uyguluyorsa her kuvvet kaynak kütleye doğru ayrı bir vektör olarak çizilir. Aynı doğrultudaki kuvvetler işaretli olarak, farklı doğrultudakiler bileşenlerine ayrılarak toplanır. Simetrik yerleşimlerde eşit kuvvetlerin bazı bileşenleri birbirini götürebilir.

Bir noktada net çekim kuvvetinin sıfır olması, o noktada hiçbir çekim etkisi bulunmadığı anlamına gelmez. Ayrı kaynakların oluşturduğu kuvvetler vektörel olarak birbirini dengelemiştir. İki kütle arasındaki sıfır kuvvet noktası, kütlesi küçük olan cisme daha yakındır.

Örnek - 4

Kare köşelerinden üçüne sırasıyla M, M ve 2M kütleli cisimler yerleştirilmiştir. Boş köşeye konan m kütleli cismin üzerine etki eden bileşke çekim kuvvetinin yönü ve büyüklüğü hangisidir? Karenin kenarı a, F₀ = GMm/a²’dir.

A) Köşegene doğru, √2F₀
B) 2M kütlesine doğru, 2F₀
C) Karenin merkezine doğru, 2F₀
D) Köşegen doğrultusunda, (√2 + 1)F₀
E) Bir kenara paralel, 3F₀/2

Cevabı Göster

Komşu köşelerdeki M kütleleri m’ye dik doğrultularda F₀ uygular; bileşkeleri köşegen boyunca √2F₀‘dır. Karşı köşedeki 2M kütlesinin uzaklığı a√2 olduğundan kuvveti G(2M)m/(2a²) = F₀ ve aynı köşegen yönündedir. Toplam (√2 + 1)F₀ olur.

Cevap: D

Yer Çekimi İvmesi

Gezegen Yüzeyinde Çekim İvmesi

M kütleli, R yarıçaplı küresel bir gezegenin yüzeyindeki m kütleli cisme uyguladığı kuvvet GMm/R²’dir. Bu kuvvet mg ağırlığına eşitlenirse g = GM/R² elde edilir. Çekim ivmesi test cisminin kütlesine bağlı değildir; gezegenin kütlesiyle doğru, yarıçapının karesiyle ters orantılıdır.

Gezegenler eş yoğunlukluysa M = ρ(4πR³/3) olduğundan yüzey çekim ivmesi g = 4πGρR/3 biçimine dönüşür. Bu özel durumda g yarıçapla doğru orantılıdır. Yalnız “kütle büyükse g büyüktür” yargısı yarıçap etkisini dışladığı için genel olarak doğru değildir.

Örnek - 5

Türdeş K ve L gezegenlerinin yarıçapları sırasıyla R ve 2R, ortalama yoğunlukları 4ρ ve ρ’dur. Gezegen yüzeylerindeki çekim ivmelerinin oranı g_K/g_L kaçtır?

A) 1/6
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 2

Cevabı Göster

Türdeş küresel gezegen için g = 4πGρR/3’tür. Bu nedenle g_K/g_L = (4ρ·R)/(ρ·2R) = 2 olur.

Cevap: E

Yükseklikle Değişim

Gezegen yüzeyinden h yükseklikte merkeze uzaklık R + h olur. Bu noktadaki çekim ivmesi g_h = GM/(R + h)² ve yüzey değerine oranı g_h/g₀ = [R/(R + h)]² biçimindedir. Yükseklik arttıkça g azalır, fakat sonlu bir uzaklıkta sıfır olmaz.

h değeri yüzeyden, r değeri merkezden ölçülür. Bu iki uzaklığın karıştırılması sık yapılan bir hatadır. Örneğin yüzeyden R yükseklik, merkezden 2R uzaklığa karşılık gelir ve çekim ivmesi g₀/4 olur.

Derinlikle ve Gezegen İçinde Değişim

Türdeş küresel bir gezegenin içinde, merkezden r uzaklıktaki cisme yalnız r yarıçaplı kürenin içindeki kütle net çekim etkisi yapar; dıştaki küresel katmanların bileşke etkisi sıfırdır. İçeride kalan kütle M_r = M(r³/R³) olduğundan g(r) = GM_r/r² = g₀r/R elde edilir.

Yüzeyden d derinlikte r = R − d olduğundan g_d = g₀(1 − d/R) olur. Türdeşlik varsayımı altında çekim ivmesi merkezde sıfır, yüzeyde en büyük; gezegenin dışında ise 1/r² ile azalan değerdedir. Gerçek gezegenlerde yoğunluk sabit olmadığı için iç bölgedeki değişim tam doğrusal olmayabilir; AYT modellerinde aksi belirtilmedikçe türdeş küre kabulü kullanılır.

Örnek - 7

R yarıçaplı türdeş bir gezegende K noktası merkezden R/3, L noktası yüzeyden R kadar yüksektedir. K ve L’deki çekim ivmelerinin büyüklükleri g_K ve g_L olduğuna göre g_K/g_L kaçtır?

A) 2/3
B) 4/3
C) 3/2
D) 2
E) 8/3

Cevabı Göster

Gezegen içinde g_K = g₀(R/3)/R = g₀/3’tür. L noktası merkezden 2R uzakta olduğundan g_L = g₀/4’tür. Oran (1/3)/(1/4) = 4/3 olur.

Cevap: B

Örnek - 8

K ve L türdeş gezegenlerinin merkezden uzaklığa bağlı çekim ivmesi grafikleri şekilde verilmiştir. Gezegenlerin yarıçapları R ve 2R olduğuna göre ortalama yoğunluklarının oranı ρ_K/ρ_L kaçtır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 2
D) 4
E) 8

Cevabı Göster

Grafikte her iki gezegenin yüzey çekim ivmesi eşittir. Türdeş gezegen için g_yüzey ∝ ρR olduğundan ρ_KR = ρ_L(2R) olur. Buradan ρ_K/ρ_L = 2 çıkar.

Cevap: C

Çekim Potansiyel Enerjisi

Sıfır Referansı ve Negatif Enerji

İki kütle arasındaki çekim potansiyel enerjisinin sıfırı, kütleler birbirinden sonsuz uzaktayken seçilir. Aralarındaki uzaklık r olduğunda U = −GMm/r olur. Negatif işaret, bağlı sistemin enerjisinin sonsuzdaki sıfır düzeyinden düşük olduğunu gösterir.

Kütleler birbirine yaklaşırken r azalır, U daha negatif olur ve çekim kuvveti pozitif iş yapar. Kütleleri birbirinden uzaklaştırmak için dışarıdan enerji vermek gerekir; bu sırada U artarak sıfıra yaklaşır. Potansiyel enerji skaler olduğu için birden çok kaynak varsa ayrı enerji değerleri cebirsel olarak toplanır.

Kuvvet, İş ve Enerji Grafikleri

Merkezden dışarı doğru r ekseni pozitif seçilirse çekim kuvvetinin radyal bileşeni F_r = −GMm/r² olur. Potansiyel enerji ile kuvvet arasındaki ilişki F_r = −dU/dr biçimindedir. U-r grafiğinin eğimi pozitif olduğundan kuvvet negatiftir, yani merkeze yönelir.

Bir cisim r₁‘den r₂‘ye taşınırken çekim kuvvetinin yaptığı iş W_çekim = U(r₁) − U(r₂) olur. F-r grafiğinde eğrinin altında kalan işaretli alan aynı işi verir. Çekim alanına zıt yönde yavaşça taşıyan dış kuvvetin işi ise ΔU’dur.

Örnek - 10

M kütleli gezegenin dışında K, L ve N noktaları merkezden sırasıyla R, 2R ve 4R uzaktadır. m kütleli cisim K’den L’ye, ardından L’den N’ye yavaşça taşınıyor. Dış kuvvetlerin yaptığı işler W_KL ve W_LN olduğuna göre W_KL/W_LN kaçtır?

A) 1/2
B) 1
C) 3/2
D) 4
E) 2

Cevabı Göster

Yavaş taşıma sırasında dış kuvvetin işi potansiyel enerji değişimidir. W_KL = [−GMm/(2R)] − [−GMm/R] = GMm/(2R). W_LN = [−GMm/(4R)] − [−GMm/(2R)] = GMm/(4R). Oran 2’dir.

Cevap: E

Yapay Uyduların Hareketi

Dairesel Yörüngede Merkezcil Kuvvet

M kütleli gezegenin çevresinde r yarıçaplı dairesel yörüngede dolanan m kütleli uyduya gerekli merkezcil kuvveti çekim kuvveti sağlar. GMm/r² = mv²/r eşitliğinde uydu kütlesi sadeleşir. Çekim kuvveti ve merkezcil ivme her anda gezegen merkezine, hız vektörü yörüngeye teğettir.

“Merkezcil kuvvet” çekim kuvvetine ek yeni bir kuvvet değildir; net kuvvetin merkeze doğru bileşenine verilen addır. İdeal dairesel yörüngede çekim kuvveti hıza dik olduğundan uydu üzerinde iş yapmaz; süratin büyüklüğü ve kinetik enerji sabit kalırken hızın yönü sürekli değişir.

Örnek - 11

Bir uydu, Dünya çevresinde dairesel yörüngede saat yönünün tersine dolanmaktadır. Şekilde uydu K noktasındayken v hızının, çekim kuvveti F’nin ve merkezcil ivme a’nın yönleri hangi seçenekte doğru verilmiştir?

A) v yörüngeye teğet hareket yönünde; F ve a merkeze doğru
B) v, F ve a merkeze doğru
C) v merkeze, F teğet, a dışarı doğru
D) v teğet, F dışarı, a merkeze doğru
E) v dışarı, F ve a teğet

Cevabı Göster

Dairesel harekette hız yörüngeye teğettir. Uyduya etki eden çekim kuvveti Dünya’nın merkezine yönelir ve merkezcil ivme de net kuvvetle aynı yöndedir. Bu nedenle yalnız A seçeneği doğrudur.

Cevap: A

Yörünge Hızı

Çekim kuvveti merkezcil kuvvete eşitlendiğinde dairesel yörünge hızı v = √(GM/r) bulunur. Aynı gezegen çevresinde yörünge yarıçapı büyüdükçe uydu hızı azalır. Hız, ideal modelde uydu kütlesine bağlı değildir.

Yüzeyin hemen üstünde dolanan uydu için r ≈ R ve g = GM/R² olduğundan v = √(gR) yazılabilir. Yörünge yarıçapı yüzeyden yükseklik değil, gezegen merkezinden uzaklıktır.

Örnek - 12

Aynı gezegen çevresinde 2r ve 8r yarıçaplı dairesel yörüngelerde dolanan K ile L uydularının kütleleri sırasıyla m ve 4m’dir. Yörünge hızlarının oranı v_K/v_L ve uydulara etki eden çekim kuvvetlerinin oranı F_K/F_L kaçtır?

A) 1/2 ve 1
B) 2 ve 4
C) 2 ve 1
D) 4 ve 1/2
E) 4 ve 1

Cevabı Göster

v ∝ 1/√r olduğundan v_K/v_L = √(8r/2r) = 2’dir. F = GMm/r² olduğundan F_K/F_L = [m/(2r)²]/[4m/(8r)²] = (1/4)/(1/16) = 4’tür.

Cevap: B

Yörünge Periyodu

Bir tam tur süresi T = 2πr/v bağıntısında yörünge hızı yerine √(GM/r) yazılırsa T = 2π√(r³/GM) elde edilir. Aynı merkezî cisim çevresindeki dairesel yörüngeler için T²/r³ = 4π²/(GM) sabittir.

Yörünge yarıçapı arttıkça uydunun yolu uzar ve sürati azalır; iki etki de periyodu büyütür. Uydu kütlesi periyodu değiştirmez. Eş merkezli iki yörüngede periyot oranı T₂/T₁ = (r₂/r₁)^3/2 biçimindedir.

Yörüngede Ağırlıksızlık

Uydudaki astronot da uyduyla birlikte gezegene doğru sürekli serbest düşme hâlindedir. Yer çekimi kuvveti ortadan kalkmamıştır; uyduyu yörüngede tutan kuvvet yine çekimdir. Astronota temas kuvveti uygulayan bir zemin bulunmadığı için ölçülen görünür ağırlık, yani normal kuvvet sıfırdır.

Ağırlıksızlık “g = 0” anlamına gelmez. Dairesel yörüngede g(r) = GM/r² değerindedir ve merkezcil ivmeyi sağlar. Bir tartı uyduya sabitlenmiş olsa bile tartı ve astronot aynı ivmeyle düştüğünden tartı sıfır gösterir.

Örnek - 14

Dünya çevresinde dairesel yörüngede dolanan uzay istasyonundaki astronotun elinden bıraktığı cisim, istasyona göre yakınında kalır. Bu durumla ilgili aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

A) İstasyonda çekim alanı sıfırdır.
B) Cisme yalnız eylemsizlik kuvveti etki eder.
C) Astronotun kütlesi yörüngede sıfır olur.
D) Cisim ve istasyon yaklaşık aynı çekim ivmesiyle serbest düşer.
E) Cismin Dünya’ya göre hızı sıfırdır.

Cevabı Göster

İstasyon ve serbest bırakılan cisim birbirine çok yakın oldukları için yaklaşık aynı çekim alanında bulunur ve aynı ivmeyle Dünya’ya doğru serbest düşer. Ortak yörünge hareketleri nedeniyle birbirlerine göre yakın kalırlar. Çekim alanı ve kütle sıfır değildir.

Cevap: D

Uydu Enerjisi ve Yörünge Değişimi

Dairesel Yörüngede Kinetik, Potansiyel ve Mekanik Enerji

Dairesel yörüngede v² = GM/r olduğundan uydunun kinetik enerjisi K = GMm/(2r) olur. Çekim potansiyel enerjisi U = −GMm/r, toplam mekanik enerji ise E = K + U = −GMm/(2r) biçimindedir.

Böylece dairesel yörüngede U = −2K ve E = −K = U/2 ilişkileri geçerlidir. Mekanik enerjinin negatif olması uydunun gezegene kütle çekimiyle bağlı olduğunu gösterir. Yörünge yarıçapı büyüdükçe K azalır, U ve E ise artarak sıfıra yaklaşır.

Yörünge Yükseltme ve Alçaltma

Bir uyduyu daha büyük yarıçaplı dairesel yörüngeye taşımak için sisteme enerji verilmelidir. Yeni yörüngede toplam mekanik enerji daha büyük, yani daha az negatiftir; potansiyel enerji artar, dairesel yörünge sürati ve kinetik enerji azalır. Geçiş sırasında uygulanan itkiyle hızın geçici olarak artırılması, son dairesel yörünge hızının daha küçük olmasıyla çelişmez.

Daha küçük yarıçaplı dairesel yörüngede ise uydu daha hızlı dolanır; kinetik enerjisi daha büyük, potansiyel ve mekanik enerjisi daha küçüktür. Yörünge değişimlerinde başlangıç ve son durumların dairesel olduğu açıkça belirtilmedikçe yalnız v = √(GM/r) bağıntısıyla ara hareket yorumlanamaz.

Örnek - 16

m kütleli uydu, M kütleli gezegen çevresindeki r yarıçaplı dairesel yörüngeden 4r yarıçaplı dairesel yörüngeye çıkarılıyor. Son ve ilk değerlerin oranları v₂/v₁, K₂/K₁ ve E₂/E₁ sırasıyla kaçtır?

A) 1/2, 1/4, 1/4
B) 1/2, 1/2, 1/4
C) 1/4, 1/4, 4
D) 2, 4, 1/4
E) 2, 1/4, 4

Cevabı Göster

Dairesel yörüngede v ∝ r^−1/2 olduğundan v₂/v₁ = 1/2’dir. K = GMm/(2r) ve E = −GMm/(2r) olduğundan hem K hem de işaretli E değeri 1/r ile orantılıdır; oranları 1/4’tür. E₂ daha az negatif olsa da E₂/E₁ iki negatif sayının oranı olarak 1/4’tür.

Cevap: A

Bağlanma Enerjisi, Kurtulma Enerjisi ve Kurtulma Hızı

Dairesel yörüngedeki uydunun mekanik enerjisini sıfıra çıkararak sonsuza sıfır hızla ulaştırmak için verilmesi gereken en az enerji bağlanma enerjisidir. Büyüklüğü E_b = GMm/(2r), yani başlangıç mekanik enerjisinin mutlak değeridir.

Gezegen yüzeyinde başlangıçta durgun m kütleli cismi sonsuza sıfır hızla götürmek için gereken en az enerji E_kurtulma = GMm/R olur. Cisim bu enerjiyi başlangıç kinetik enerjisi olarak alırsa mv_k²/2 = GMm/R ve v_k = √(2GM/R) = √(2gR) elde edilir. Kurtulma hızı fırlatılan cismin kütlesine bağlı değildir.

Kepler Kanunları

Birinci Kanun: Eliptik Yörüngeler

Gezegenler, Güneş’in odaklardan birinde bulunduğu eliptik yörüngelerde dolanır. Güneş elipsin merkezinde olmak zorunda değildir. Gezegenin Güneş’e en yakın konumu günberi, en uzak konumu günöte olarak adlandırılır.

Eliptik yörüngede gezegen–Güneş uzaklığı değiştiği için çekim kuvvetinin büyüklüğü ve gezegenin sürati sabit değildir. Günberide uzaklık daha küçük olduğundan çekim kuvveti ve ivme daha büyük; günötede daha küçüktür. Hız her noktada yörüngeye teğettir, fakat kuvvet Güneş’e yönelir.

Örnek - 18

Bir gezegenin eliptik yörüngesindeki K noktası Güneş’e en yakın, L noktası en uzak konumdur. Gezegenin K ve L’deki süratleri v_K, v_L; çekim kuvvetleri F_K, F_L; açısal momentum büyüklükleri L_K, L_L ile gösteriliyor. Hangi ilişki doğrudur?

A) v_K = v_L, F_K > F_L, L_K > L_L
B) v_K > v_L, F_K = F_L, L_K = L_L
C) v_K > v_L, F_K > F_L, L_K = L_L
D) v_K < v_L, F_K > F_L, L_K = L_L
E) v_K > v_L, F_K < F_L, L_K < L_L

Cevabı Göster

Günberide uzaklık daha küçük olduğu için F = GMm/r² gereğince F_K > F_L‘dir. Merkezî kuvvetin Güneş’e göre torku sıfır olduğundan açısal momentum korunur ve L_K = L_L olur. Yakın noktada r küçük olduğundan mrv sabitliği için v_K > v_L‘dir.

Cevap: C

İkinci Kanun: Eşit Zamanlarda Eşit Alanlar

Gezegeni Güneş’e birleştiren yarıçap vektörü eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Bir kısa zaman aralığında taranan alan yaklaşık ΔA = rv_dikΔt/2 olduğundan alan tarama hızı dA/dt = L/(2m) ile ilişkilidir. Çekim kuvveti merkezî olduğu için Güneş’e göre tork sıfırdır; açısal momentum ve alan tarama hızı sabit kalır.

Gezegen günberiye yaklaşırken r azalır ve açısal momentum korunacağı için teğetsel hız artar. Günötede r büyük, hız küçüktür. Eşit yay uzunluklarının alınma süreleri eşit olmak zorunda değildir; yasa eşit zamanlarda taranan alanların eşitliğini belirtir.

Örnek - 19

Bir gezegenin eliptik yörüngesinde Güneş’e yakın K–L aralığında taranan alan A, uzak M–N aralığında taranan alan 2A’dır. Gezegenin bu aralıkları alma süreleri t_KL, t_MN; aralıklardaki ortalama süratleri v_KL, v_MN ile gösteriliyor. Hangisi doğrudur?

A) t_MN = t_KL, v_MN > v_KL
B) t_MN = 2t_KL, v_MN = v_KL
C) t_MN = t_KL/2, v_MN < v_KL
D) t_MN = 2t_KL, v_MN < v_KL
E) t_MN = 4t_KL, v_MN > v_KL

Cevabı Göster

Alan tarama hızı sabit olduğundan taranan alan süreyle doğru orantılıdır. M–N aralığında alan iki kat olduğu için t_MN = 2t_KL olur. M–N Güneş’ten daha uzakta bulunduğundan gezegenin sürati daha küçüktür.

Cevap: D

Üçüncü Kanun: Periyotlar Kanunu

Aynı yıldız çevresinde dolanan gezegenler için yörünge periyodunun karesi, elipsin büyük yarı ekseninin küpüyle orantılıdır: T²/a³ = 4π²/(GM). Dairesel yörüngede büyük yarı eksen a, yörünge yarıçapı r’ye eşittir.

Farklı merkezî cisimler için sabit aynı değildir; sağ tarafta merkezî cismin kütlesi M bulunur. Uydu veya gezegen kütlesi M’ye göre ihmal edilemeyecek kadar büyükse daha genel iki-cisimli ifade T² = 4π²a³/[G(M + m)] olur; AYT sorularında çoğunlukla m ≪ M kabul edilir.

Örnek - 20

Aynı yıldız çevresinde eliptik yörüngelerde dolanan K ve L gezegenlerinin yıldıza en yakın ve en uzak uzaklıkları tabloda verilmiştir. K’nin periyodu T olduğuna göre L’nin periyodu kaç T’dir?

A) 3/2
B) 2
C) 2√2
D) 3
E) 3√3

Cevabı Göster

Elipsin büyük yarı ekseni a = (r_min + r_max)/2’dir. Görselde K için uzaklıklar 2R ve 4R olduğundan a_K = 3R; L için 4R ve 14R olduğundan a_L = 9R’dir. T ∝ a^3/2 olduğundan T_L/T_K = (9R/3R)^3/2 = 3√3 olur.

Cevap: E