AYT BAĞIL HAREKET

AYT bağıl hareket konu anlatımı kapsamında referans sistemi, bir ve iki boyutta bağıl hız, hareketli ortamlar, yağmur-rüzgâr problemleri, nehir hareketi ve grafik yorumlama ayrıntılı biçimde işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Referans Sistemi ve Bağıl Hareket

Bir cismin konumu ve hızı ancak seçilen bir referans sistemine göre anlam kazanır. Yol kenarında duran gözlemciye göre hareketli olan bir yolcu, birlikte gittiği vagondaki başka bir yolcuya göre duruyor olabilir. Bu nedenle “cismin hızı” ifadesinden önce hızın kime ya da neye göre ölçüldüğü belirlenmelidir.

A cisminin B gözlemcisine göre hızı, iki cismin yere göre hızlarının vektörel farkıdır:

v_A/B = v_A − v_B

Kesrin solundaki A gözlenen, sağındaki B ise gözlemcidir. Sıra ters çevrilirse yalnız büyüklük değil yön de ters döner: v_A/B = −v_B/A. Aynı hızla aynı yönde giden iki aracın birbirine göre hızı sıfırdır; aynı doğrultuda zıt yönlerde gidenlerin bağıl hız büyüklükleri ise süratlerinin toplamıdır.

Bir Boyutta Bağıl Hız

Doğrusal harekette önce pozitif yön seçilir. Doğu pozitif seçildiyse doğuya giden hızlar pozitif, batıya gidenler negatiftir. Ardından gözlenenin hızı ile gözlemcinin hızı işaretleri korunarak çıkarılır. Örneğin A doğuya 18 m/s, B doğuya 11 m/s gidiyorsa v_A/B=+7 m/s olur; B, A’yı doğuya 7 m/s gidiyormuş gibi görür.

Birden fazla bağıl hız verisi zincir biçiminde de kullanılabilir. v_C/A=v_C/B+v_B/A bağıntısı, ortak ara gözlemci B’nin hızının birbirini götürmesinden doğar. Bu ilişki özellikle üç araçlı sorularda yere göre bilinmeyen hıza ulaşmayı hızlandırır.

Örnek - 1

Doğu pozitif yöndür. B’nin A’ya göre hızı doğuya 8 m/s, C’nin B’ye göre hızı batıya 5 m/s ve C’nin yere göre hızı doğuya 12 m/s’dir. A’nın yere göre hızı kaç m/s’dir?

A) 3

B) 5

C) 9

D) 17

E) 25

Cevabı Göster

v_B/A=v_B−v_A=8 ve v_C/B=v_C−v_B=−5’tir. İki eşitlik toplanınca v_C−v_A=3 olur. v_C=12 verildiğinden v_A=9 m/s bulunur.

Cevap: C

İki Boyutta Bağıl Hız

Düzlemde her hız x ve y bileşenlerine ayrılır. v_A=(v_Ax,v_Ay) ve v_B=(v_Bx,v_By) ise v_A/B=(v_Ax−v_Bx,v_Ay−v_By) olur. Büyüklük, bu fark bileşenlerinin kareleri toplamının kareköküdür. Yön ise işaretlere göre doğru bölge seçildikten sonra trigonometrik oranla bulunur.

Geometrik olarak v_A/B, başlangıçları ortaklaştırılmış v_B vektörünün ucundan v_A vektörünün ucuna çizilen oktur. Eş değer biçimde v_A ile −v_B uç uca eklenebilir.

Bağıl Hızın Büyüklük Sınırları

İki cismin süratleri A ve B, aralarındaki açı θ ise bağıl hız büyüklüğü kosinüs bağıntısıyla bulunur:

|v_A/B|²=A²+B²−2ABcosθ

θ=0° iken bağıl sürat |A−B| ile en küçük, θ=180° iken A+B ile en büyüktür. Bu nedenle her iki boyutlu soruda sonuç |A−B|≤|v_A/B|≤A+B aralığında olmalıdır. Bu kısa kontrol, işaret veya açı hatasını yakalar.

Örnek - 4

A ve B araçlarının süratleri sırasıyla 10 m/s ve 6 m/s, A’nın B’ye göre sürati 14 m/s’dir. Hız vektörleri arasındaki θ açısı kaç derecedir?

A) 30

B) 45

C) 60

D) 120

E) 150

Cevabı Göster

14²=10²+6²−2·10·6·cosθ yazılır. 196=136−120cosθ olduğundan cosθ=−1/2 ve θ=120° bulunur. Bağıl süratin 10+6 değerine yakın olması açının geniş çıkmasıyla uyumludur.

Cevap: D

Grafiklerde Bağıl Hareket

Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir. İki cismin aynı andaki eğimleri çıkarılarak anlık bağıl hız bulunur. Hız-zaman grafiğinde ise iki eğri arasındaki işaretli düşey fark doğrudan bağıl hızdır. Cisimlerin birbirine göre aldığı toplam yol aranıyorsa |v_A/B|-t grafiğinin alanı hesaplanır; işaret değişimi olduğunda mutlak değer nedeniyle alanlar pozitif toplanır.

Örnek - 5

0–6 s aralığında K’nin hızı +4 m/s’dir. L’nin hızı 0–2 s’de +8 m/s, 2–4 s’de 0, 4–6 s’de −4 m/s’dir. L’nin K’ye göre aldığı toplam yol kaç metredir?

A) 8

B) 16

C) 20

D) 24

E) 32

Cevabı Göster

Bağıl hızlar üç aralıkta sırasıyla 8−4=4, 0−4=−4 ve −4−4=−8 m/s’dir. Toplam bağıl yol |4|·2+|−4|·2+|−8|·2=8+8+16=32 m olur.

Cevap: E

Hareketli Ortamda Yere Göre Hız

Yürüyen bant, tren, hava ve su gibi hareketli ortamlarda cismin iki farklı hızı vardır: ortama göre hız ve yere göre hız. Temel bağıntı v_cisim/yer=v_cisim/ortam+v_ortam/yer biçimindedir. Toplama daima vektöreldir; ortamla aynı yönde hareket büyüklükleri artırırken ters yönde hareket azaltabilir.

Hareketli Bant ve Gidiş-Dönüş

Uzunluğu L olan bant yere göre v süratiyle ilerlerken kişinin banda göre sürati u olsun. Aynı yönde yere göre sürat u+v, ters yönde u−v’dir. Gidiş-dönüş süresi L/(u+v)+L/(u−v) olur. Paydalardan biri sıfır ya da negatif çıkarsa kişi o yönde bant ucuna ulaşamaz.

Örnek - 6

120 m uzunluğundaki bant doğuya 2 m/s gidiyor. Bir kişi banda göre sabit u süratiyle doğu ucuna gidip başlangıç noktasına dönüyor ve toplam hareket 80 s sürüyor. u kaç m/s’dir?

A) 3

B) 3,5

C) 4

D) 5

E) 6

Cevabı Göster

120/(u+2)+120/(u−2)=80 yazılır. 240u=80(u²−4), yani u²−3u−4=0 olur. Fiziksel kök u=4 m/s’dir; u=−1 sürat olamayacağı için elenir.

Cevap: C

Rüzgâr, Uçak ve Yağmur

Uçağın yere göre hızı, havaya göre hızı ile rüzgârın yere göre hızının toplamıdır. Rüzgâr rota doğrultusundaysa gidiş-dönüş sürelerinden hem rüzgâr hem mesafe bulunabilir. Yan rüzgârda uçağın havaya göre hızının karşı rüzgâr bileşeni sürüklenmeyi dengelemelidir.

Yağmur sorularında gözlemci hareketli araçtaysa v_{yağmur/araç}=v_yağmur/yer−v_araç/yer yazılır. Camda görülen iz veya şemsiyenin tutulacağı yön, bu bağıl hızın doğrultusudur.

Örnek - 7

Bir uçağın havaya göre sürati 250 km/h’dir. A’dan B’ye sabit rüzgâr altında gidiş 2 saat, aynı rotada dönüş 3 saat sürüyor. Rüzgârın sürati ve A-B uzaklığı sırasıyla nedir?

A) 25 km/h, 550 km

B) 50 km/h, 600 km

C) 50 km/h, 750 km

D) 75 km/h, 600 km

E) 100 km/h, 700 km

Cevabı Göster

Mesafeler eşit olduğundan 2(250+w)=3(250−w) yazılır ve w=50 km/h bulunur. D=2(250+50)=600 km’dir. Dönüşte yere göre sürat 200 km/h olup 600/200=3 saat kontrolünü sağlar.

Cevap: B

Örnek - 8

Yağmurun yere göre hız bileşenleri doğuya 6 m/s ve aşağı 8 m/s’dir. Tren doğuya 10 m/s gidiyor. Yağmurun trene göre sürati ve düşeyle yaptığı açının yönü hangisidir?

A) 2√5, doğu

B) 4√5, doğu; tanα=1/2

C) 4√5, batı; tanα=2

D) 4√5, batı; tanα=1/2

E) 10, düşey

Cevabı Göster

v_yağmur/tren=(6,−8)−(10,0)=(−4,−8) m/s’dir. Büyüklük √(16+64)=4√5’tir. Yatay bileşen batıya olduğundan yağmur düşeyin batı tarafında görünür ve düşeyle açı için tanα=4/8=1/2 olur.

Cevap: D

Hareketli Platformdan Atış

Sabit hızlı bir platformda yukarı atılan cisim, hava direnci yoksa platformdaki gözlemciye göre düşey çıkıp aynı noktaya döner. Yerdeki gözlemci ise cismin platformla ortak yatay hızını da görür ve yörüngeyi parabol olarak algılar. Platform ivmeli olsaydı iki gözlem çerçevesi artık basit sabit hızlı dönüşümle eş değer olmazdı.

Örnek - 9

Doğuya sabit hızla ilerleyen açık bir platformdaki yolcu, topu platforma göre düşey yukarı atıyor. Hava direnci yoktur. Yolcunun ve yerdeki durgun gözlemcinin gördüğü yörüngeler sırasıyla hangisidir?

A) İkisi de düşey doğru

B) İkisi de parabol

C) Yolcu parabol, yer gözlemcisi düşey

D) Yolcu eğik doğru, yer gözlemcisi parabol

E) Yolcu düşey doğru, yer gözlemcisi parabol

Cevabı Göster

Top, yolcuyla aynı yatay hıza sahip olduğundan yolcuya göre yatay bağıl hızı sıfırdır ve hareket düşey görünür. Yerdeki gözlemci topun sabit yatay hızını ve düşey ivmeli hareketini birlikte görür; yörünge paraboldür.

Cevap: E

Nehir Problemlerinde Bağıl Hareket

Nehir sorularında üç vektör ayrılır: teknenin ya da yüzücünün suya göre hızı, suyun yere göre hızı olan akıntı ve cismin yere göre hızı. Bağıntı v_cisim/yer=v_cisim/su+v_su/yer biçimindedir. Kıyıya paralel hareketlerde hızlar aynı doğrultuda; karşıya geçişlerde ise bileşenler iki boyutludur.

Akıntı Boyunca Gidiş-Dönüş

Cismin suya göre sürati u, akıntı sürati v ve u>v ise akıntı yönünde yere göre sürat u+v, akıntıya karşı u−v’dir. Eşit mesafeli gidiş-dönüşte ortalama sürat aritmetik ortalama değildir; toplam yol toplam zamana bölünür ve 2(u²−v²)/(2u)=(u²−v²)/u elde edilir.

Örnek - 10

K-L arası 240 m’dir. Kayığın suya göre sürati 8 m/s, K’den L’ye akıntı 2 m/s’dir. Kayık K’den L’ye gidip K’ye dönüyor. Toplam süre ve ortalama sürat nedir?

A) 60 s ve 8 m/s

B) 64 s ve 8 m/s

C) 64 s ve 7,5 m/s

D) 72 s ve 7,5 m/s

E) 80 s ve 6 m/s

Cevabı Göster

Gidiş sürati 10 m/s ve süre 24 s; dönüş sürati 6 m/s ve süre 40 s’dir. Toplam süre 64 s, toplam yol 480 m olduğundan ortalama sürat 480/64=7,5 m/s olur. Ortalama hız ise başlangıç noktasına dönüldüğü için sıfırdır.

Cevap: C

Akıntıya Dik Giriş ve Sürüklenme

Yüzücü suya göre tam karşı kıyıya dik yönelirse geçiş süresini yalnız kıyıya dik hız bileşeni belirler: t=d/v_dik. Akıntı, bu süre boyunca yüzücüyü kıyı doğrultusunda x=v_akıntıt kadar sürükler. Yere göre yolun uzunluğu, dik geçiş ve sürüklenmenin oluşturduğu dik üçgenden bulunur.

Örnek - 11

120 m genişliğindeki nehirde yüzücü suya göre karşı kıyıya dik 5 m/s hızla yüzüyor. Akıntı doğuya 3 m/s’dir. Geçiş süresi ve yüzücünün yere göre aldığı yol kaçtır?

A) 20 s, 120 m

B) 24 s, 144 m

C) 24 s, 24√29 m

D) 24 s, 24√34 m

E) 30 s, 30√34 m

Cevabı Göster

Dik bileşen 5 m/s olduğundan t=120/5=24 s’dir. Bu sürede sürüklenme 3·24=72 m olur. 120=24·5 ve 72=24·3 yazılırsa yere göre yol √(120²+72²)=24√(25+9)=24√34 m bulunur.

Cevap: D

Tam Karşıya Çıkış

Yüzücü tam karşıdaki noktaya ulaşacaksa yere göre hızının kıyıya paralel bileşeni sıfır olmalıdır. Bu nedenle suya göre hızın akıntıya ters bileşeni akıntıyı tam dengeler. Suya göre sürat u ve akıntı v ise kıyıya dik etkin hız √(u²−v²) olur; geçiş süresi d/√(u²−v²)’dir.

Örnek - 12

96 m genişliğindeki nehirde akıntı doğuya 4 m/s’dir. Suya göre sürati 5 m/s olan yüzücü, tam karşıdaki L noktasına çıkıyor. Geçiş süresi kaç saniyedir?

A) 24

B) 32

C) 36

D) 40

E) 48

Cevabı Göster

Suya göre hızın batı bileşeni 4 m/s olup akıntıyı dengeler. Kıyıya dik bileşen √(5²−4²)=3 m/s kalır. Yere göre hız tam karşıya 3 m/s olduğundan t=96/3=32 s’dir.

Cevap: B

Aynı Akıntıdaki İki Cismin Bağıl Hızı

Aynı sabit akıntıda hareket eden iki cismin yere göre hızları çıkarıldığında ortak akıntı vektörü birbirini götürür. Bu nedenle v_K/L=v_K/su−v_L/su yazılabilir. Bu sonuç karşılaşma, yaklaşma ve iki tekne arasındaki doğrultu sorularını belirgin biçimde kısaltır.

Bileşenlerle Geçiş Süresi ve Sürüklenme

Yüzücünün suya göre hızı bileşenleriyle verilmişse önce akıntı vektörü eklenerek yere göre hız bulunur. Kıyıya dik bileşen geçiş süresini, kıyıya paralel bileşen ise bu süredeki sürüklenmenin yönünü ve büyüklüğünü belirler.

Parçalı Akıntı

Akıntı nehrin farklı bölgelerinde değişiyorsa her bölgenin geçiş süresi, o bölgenin genişliği ve kıyıya dik hız bileşeniyle ayrı bulunur. Kıyıya paralel sürüklenmeler işaretli toplanır. Akıntı yalnız paralel bileşeni değiştiriyorsa toplam geçiş süresi akıntıdan bağımsız kalabilir; fakat çıkış noktası değişir.

Hareketli Hedefle Buluşma

Hedef de hareket ediyorsa buluşma, iki cismin aynı anda aynı yere ulaşması koşuluyla incelenir. Sabit hızlı nehir sorularında yüzücünün kıyıya dik hız bileşeni karşı kıyıya ulaşma süresini belirler; kıyıya paralel yere göre hız bileşeni ile hedefin başlangıç konumu ve sabit hızı ise buluşma noktasını belirler. Bu nedenle yüzücü ve hareketli hedef için aynı zaman değişkeni kullanılarak kıyıya paralel konumlar eşitlenir.

Örnek - 16

120 m genişliğindeki bir nehir doğuya doğru sabit 2 m/s hızla akmaktadır. O noktasından suya göre sabit 5 m/s süratle yüzmeye başlayan yüzücüyle aynı anda, karşı kıyıda O’nun tam karşısındaki L noktasının 30 m doğusunda bulunan motorlu tekne doğuya doğru sabit 4 m/s hızla hareket etmektedir. Yüzücü ve tekne karşı kıyıda buluştuğuna göre yüzücünün suya göre doğu ve kuzey yönlü hız bileşenleri ile buluşma noktasının L’ye uzaklığı sırasıyla nedir?

A) (0, 5) m/s; 120 m

B) (3, 4) m/s; 150 m

C) (4, 3) m/s; 160 m

D) (−3, 4) m/s; 30 m

E) (3, 4) m/s; 120 m

Cevabı Göster

Yüzücünün suya göre doğu ve kuzey bileşenleri sırasıyla u_x ve u_y, buluşma süresi t olsun. Nehrin genişliğinden u_yt=120 yazılır. Yüzücünün yere göre doğu bileşeni u_x+2 olduğundan, L noktası başlangıç kabul edilirse buluşma anındaki kıyı doğrultusu konum eşitliği

(u_x+2)t=30+4t ⇒ (u_x−2)t=30

olur. Buradan u_x=2+30/t ve u_y=120/t bulunur. Yüzücünün suya göre sürati 5 m/s olduğuna göre

(2+30/t)²+(120/t)²=25

eşitliği elde edilir. Pozitif kök t=30 s’dir. Böylece u_x=3 m/s ve u_y=4 m/s olur. Buluşma noktası L’nin doğusunda (u_x+2)t=(3+2)·30=150 m uzaklıktadır. Aynı sonuç tekne için 30+4·30=150 m olarak da doğrulanır.

Cevap: B