AYT BASİT HARMONİK HAREKET

AYT basit harmonik hareket konu anlatımı kapsamında periyodik hareket, denge konumu, uzanım, genlik, faz, konum–hız–ivme–kuvvet ilişkileri, enerji dönüşümü, yay sarkacı, eşdeğer yaylar, küçük açılı basit sarkaç, çivili sarkaç ve zaman ölçme uygulamaları işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Basit Harmonik Hareketin Temelleri

Periyodik Hareket ve Basit Harmonik Hareket

Belirli zaman aralıklarıyla aynı hareket durumunu tekrarlayan hareket periyodik hareket olarak adlandırılır. Her periyodik hareket basit harmonik değildir. Bir hareketin basit harmonik olabilmesi için cisme, denge konumuna yönelen ve denge konumundan uzaklığın büyüklüğüyle doğru orantılı olan bir geri çağırıcı kuvvet etki etmelidir.

Denge konumu x = 0 seçildiğinde tek boyutlu basit harmonik hareketin kuvvet yasası F = −kx biçimindedir. k, sistemin geri çağırma özelliğini belirleyen pozitif sabit; x ise cismin denge konumuna göre işaretli konumudur. Eksi işareti, kuvvetin uzanımın ters yönünde olduğunu bildirir. Cisim x > 0 konumundayken kuvvet negatif, x < 0 konumundayken pozitiftir.

Denge Konumu, Uzanım ve Genlik

Denge konumu, net kuvvetin sıfır olduğu ve sistem serbest bırakıldığında çevresinde salındığı konumdur. Cismin herhangi bir andaki denge konumuna göre işaretli konumu uzanım x ile gösterilir. Uzanım yönlüdür; seçilen pozitif eksene göre artı veya eksi değer alır.

Uzanımın alabileceği en büyük büyüklük genlik A’dır. Cisim −A ile +A uçları arasında hareket eder. Uçlarda |x| = A, denge konumunda x = 0’dır. Genlik, belirli bir salınımın başlangıç koşuluna bağlıdır; cismin her andaki uzanımıyla aynı kavram değildir.

Bir tam salınımda cisim bir uçtan karşı uca gider ve başlangıç ucuna döner. Bu nedenle bir uçtan denge konumuna geçiş T/4, bir uçtan karşı uca geçiş T/2 sürer.

Örnek - 2

K ve N uçları arasında salınan cismin denge konumu O’dur. Ardışık noktalar eşit aralıklı ve KO = ON = A’dır. Cisim t = 0 anında K ucundan serbest bırakılıyor. Periyodu 12 s olan cisim 17 s sonra hangi konumdadır ve hangi yönde hareket etmektedir?

A) O’da, N yönünde
B) O’da, K yönünde
C) O ile N arasında, N yönünde
D) O ile N arasında, O yönünde
E) K ile O arasında, K yönünde

Cevabı Göster

17 s = 12 s + 5 s olduğundan hareketin ilk 5 saniyesi incelenir. Cisim K’den O’ya T/4 = 3 s’de, N’ye T/2 = 6 s’de ulaşır. Beşinci saniyede O ile N arasındadır ve N ucuna doğru ilerlemektedir.

Cevap: C

Periyot, Frekans ve Açısal Frekans

Bir tam salınım için geçen süre periyot T’dir ve SI birimi saniyedir. Birim zamanda tamamlanan salınım sayısı frekans f’dir ve birimi hertzdir. Aynı hareket için f = 1/T bağıntısı geçerlidir.

Hareketin fazının zamana göre değişim hızını belirleyen açısal frekans ω, ω = 2πf = 2π/T bağıntısıyla tanımlanır ve birimi rad/s’dir. ω, cismin doğrusal hızı değildir; salınımın zaman ölçeğini belirleyen açısal büyüklüktür.

Çembersel Hareket ve Hareket Denklemleri

Düzgün Çembersel Hareketin İzdüşümü

Yarıçapı A olan bir çember üzerinde sabit açısal hızla dönen noktanın bir çap üzerindeki dik izdüşümü basit harmonik hareket yapar. Çembersel hareketin yarıçapı salınımın genliğine, açısal hızı ise salınımın açısal frekansına karşılık gelir.

Dönen nokta çemberin sağ veya sol ucundayken izdüşüm salınımın uç noktasındadır; nokta çemberin üst veya alt noktasındayken izdüşüm denge konumundan geçer. Bir tam tur bir tam salınıma, 90°’lik dönüş T/4 süreye karşılık gelir.

Örnek - 4

Yarıçapı A olan çember üzerinde saat yönünün tersine sabit ω açısal hızıyla dönen P noktasının yatay çap üzerindeki izdüşümü X’tir. P, t = 0 anında pozitif yatay eksenle 60° açı yapmaktadır. X’in ilk kez denge konumundan negatif yönde geçmesi için gereken süre hangisidir?

A) 2π/(3ω)
B) π/(4ω)
C) π/(3ω)
D) π/(2ω)
E) π/(6ω)

Cevabı Göster

İzdüşüm x = A cosθ’dır. X’in denge konumundan negatif yönde geçmesi için P’nin 90° konumuna gelmesi gerekir; bu konumda x sıfıra inerken hız negatiftir. Açısal yer değiştirme 90° − 60° = 30° = π/6 rad olduğundan Δt = (π/6)/ω = π/(6ω) bulunur.

Cevap: E

Konum Denklemi ve Faz

Basit harmonik hareketin konumu x = A cos(ωt + φ) veya eş değer biçimde sinüs fonksiyonuyla yazılabilir. A genlik, ω açısal frekans, φ başlangıç fazıdır. Başlangıç koşulu hangi trigonometrik biçimin daha uygun olduğunu belirler; fiziksel hareket değişmez.

Cisim t = 0 anında +A ucundan serbest bırakılıyorsa x = A cosωt seçilebilir. Denge konumundan pozitif yönde geçiyorsa x = A sinωt uygundur. Aynı A ve ω değerlerine sahip iki salınımın başlangıç koşulları farklıysa aralarındaki faz farkı zamanla değişmez.

Zaman Aralıkları ve Konum Grafiği

Bir uçtan denge konumuna veya denge konumundan karşı uca geçiş T/4 sürer. Bir uçtan karşı uca geçiş T/2’dir. Ancak eşit uzunluktaki yol parçaları eşit sürede alınmaz; cisim uçlara yakın bölgelerde yavaş, denge konumuna yakın bölgelerde hızlıdır.

Konum–zaman grafiğinin düşey ekseni uzanımı, yatay ekseni zamanı gösterir. Ardışık aynı fazlı iki nokta arasındaki süre periyottur. Grafiğin eğiminin işareti hız yönünü, eğimin büyüklüğü sürati verir; tepe ve çukur noktalarında eğim sıfırdır.

Örnek - 6

Bir cismin uzanım–zaman grafiği şekilde verilmiştir. Buna göre t = 1 s ile t = 5 s arasında cismin aldığı toplam yol kaç santimetredir?

A) 8
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24

Cevabı Göster

Grafikten genlik 4 cm ve periyot 4 s okunur. t = 1 s’de cisim +4 cm ucunda, t = 3 s’de −4 cm ucunda ve t = 5 s’de yeniden +4 cm ucundadır. İki uçtan uca geçişte alınan yol 8 + 8 = 16 cm’dir.

Cevap: C

Hız, İvme, Kuvvet ve Enerji

Hızın Konuma Göre Değişimi

Konum denkleminin zamanla değişiminden hız bağıntısı elde edilir. x = A cos(ωt + φ) için v = −ωA sin(ωt + φ)’dir. Faz elimine edildiğinde hız büyüklüğü |v| = ω√(A² − x²) olur.

Denge konumunda |x| = 0 olduğundan sürat en büyük ve v_max = ωA‘dır. Uçlarda |x| = A olduğu için hız sıfırdır. Hızın yönü yalnız konumdan belirlenemez; cismin hangi yöne hareket ettiği de bilinmelidir.

İvme ve Geri Çağırıcı Kuvvet

Basit harmonik hareketin ivmesi a = −ω²x bağıntısıyla konuma bağlıdır. İvme her anda denge konumuna yönelir. Denge konumunda sıfır, uçlarda büyüklükçe en büyük değerindedir: a_max = ω²A.

Newton’un ikinci yasası F = ma ile birlikte F = −mω²x elde edilir. Yaylı sistemde bu ifade F = −kx ile karşılaştırıldığında ω² = k/m bulunur. Hız ve kuvvet dengeye yaklaşırken aynı, dengeden uzaklaşırken zıt yönlüdür.

Örnek - 8

K–L arasında salınan cisim, şekilde gösterilen P noktasından ok yönünde geçmektedir. Uzanım x, hız v, ivme a ve net kuvvet F vektörlerinin yönleri hangi seçenekte doğru verilmiştir?

A) x sola, v sola, a sağa, F sağa
B) x sağa, v sola, a sola, F sola
C) x sağa, v sağa, a sola, F sola
D) x sola, v sağa, a sağa, F sola
E) x sağa, v sola, a sağa, F sağa

Cevabı Göster

P noktası denge konumunun sağında olduğundan uzanım sağa doğrudur. Ok cismin sola hareket ettiğini gösterir. İvme ve net kuvvet daima denge konumuna yöneldiği için ikisi de sola doğrudur.

Cevap: B

Enerji Dönüşümü

Sürtünmesiz yaylı sistemde toplam mekanik enerji sabittir. Uç noktada hız sıfır olduğundan enerji bütünüyle yay potansiyel enerjisidir: E = kA²/2. Herhangi bir x konumunda U = kx²/2 ve K = k(A² − x²)/2 olur.

Denge konumunda U en küçük, K en büyük; uçlarda U en büyük, K sıfırdır. Kinetik ve potansiyel enerjiler x² ile değiştiğinden x ve −x konumlarında eşittir. Enerji skaler olduğu için hareket yönü enerji değerlerini değiştirmez.

Örnek - 9

Genliği A olan yaylı sistemde cisim x = A/2 konumundan geçerken kinetik enerjisinin yay potansiyel enerjisine oranı K/U kaçtır?

A) 1/3
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) 3

Cevabı Göster

U/E = x²/A² = 1/4’tür. K/E = 1 − 1/4 = 3/4 olduğundan K/U = (3/4)/(1/4) = 3 bulunur.

Cevap: E

Grafiklerin Birlikte Okunması

Konum, hız ve ivme aynı açısal frekansa sahiptir. Hız, konuma göre çeyrek periyot; ivme ise konuma göre yarım periyot faz farklıdır. x maksimumken v = 0 ve a en büyük negatif; x = 0’dan pozitif yönde geçerken v en büyük pozitif ve a = 0’dır.

Ortak zaman ekseninde x ile a grafiklerinin işaretleri her an zıttır. v grafiğinin sıfırları x grafiğinin uçlarına, v grafiğinin tepe ve çukurları x grafiğinin denge geçişlerine karşılık gelir. Bu ilişkiler başlangıç fazından bağımsızdır.

Örnek - 10

Bir basit harmonik harekete ait I, II ve III grafikleri aynı zaman ekseninde verilmiştir. Bu grafiklerin sırasıyla uzanım x, hız v ve ivme a olabilmesi için doğru eşleştirme hangisidir?

A) x: I, v: II, a: III
B) x: I, v: III, a: II
C) x: II, v: I, a: III
D) x: II, v: III, a: I
E) x: III, v: II, a: I

Cevabı Göster

II grafiği t = 0’da sıfırdan pozitif yönde başlar; bu nedenle uzanım x olabilir. Hız, uzanıma göre çeyrek periyot önde olduğundan t = 0’da pozitif maksimumdan başlayan III grafiğidir. İvme uzanımla ters fazlı olduğundan t = 0’da sıfırdan negatif yöne inen I grafiğidir. Eşleştirme x: II, v: III, a: I olur.

Cevap: D

Yay Sarkacı

Yatay, Düşey ve Eğik Düzlemde Yaylı Sistem

Yatay sürtünmesiz düzlemde yay kuvveti doğrudan geri çağırıcı kuvvettir. Düşey yayda ağırlık, yayın denge uzamasını değiştirir; cisim yeni denge konumu çevresinde salınırken ağırlığın sabit etkisi denge seçimiyle ayrılır. Eğik düzlemde de ağırlığın düzleme paralel bileşeni yalnız denge konumunu kaydırır.

Bu nedenle aynı m kütlesi ve aynı k yay sabiti için yatay, düşey ve sürtünmesiz eğik düzlemde küçük salınımların periyodu aynıdır. Yer çekimi ivmesi ya da düzlemin açısı denge konumunu etkileyebilir fakat periyot bağıntısında yer almaz.

Örnek - 11

Özdeş yaylara bağlı eşit kütleli X, Y ve Z cisimleri sırasıyla yatay düzlemde, düşey doğrultuda ve 37° eğimli sürtünmesiz düzlemde denge konumlarından eşit miktarda ayrılarak bırakılıyor. Periyotları T_X, T_Y, T_Z arasındaki ilişki nedir?

A) T_X < T_Y < T_Z
B) T_X = T_Y < T_Z
C) T_Z < T_X = T_Y
D) T_X = T_Y = T_Z
E) T_Y < T_Z < T_X

Cevabı Göster

Her üç sistem için kütle m ve yay sabiti k aynıdır. Ağırlık ya da ağırlığın eğik düzleme paralel bileşeni yalnız denge konumunu değiştirir. T = 2π√(m/k) olduğundan üç periyot eşittir.

Cevap: D

Yay Sarkacının Periyodu

m kütleli cisim k yay sabitli yaya bağlandığında kx = mω²x karşılaştırmasından ω = √(k/m) ve T = 2π√(m/k) elde edilir. Periyot kütlenin kareköküyle doğru, yay sabitinin kareköküyle ters orantılıdır.

İdeal yaylı sistemde periyot genliğe, yer çekimi ivmesine ve cismin denge konumundan hangi yönde ayrıldığına bağlı değildir. Genlik artarsa maksimum hız ωA ve toplam enerji kA²/2 artar; ω ve T değişmez.

Örnek - 12

Yay sabiti 200 N/m olan yaya bağlı 2 kg kütle, denge konumundan 10 cm çekilip serbest bırakılıyor. Cisim denge konumundan 6 cm uzaktayken sürati kaç m/s’dir?

A) 0,2
B) 0,4
C) 0,8
D) 1,0
E) 1,6

Cevabı Göster

ω = √(k/m) = √(200/2) = 10 rad/s’dir. A = 0,10 m ve x = 0,06 m için |v| = 10√(0,10² − 0,06²) = 10√0,0064 = 0,8 m/s bulunur.

Cevap: C

Eşdeğer Yay Sistemleri

Birden fazla yay birlikte kullanıldığında sistemin geri çağırıcı kuvveti eşdeğer yay sabiti k_eş ile ifade edilir. Seri bağlı yaylarda aynı kuvvet altında uzamalar toplanır ve 1/k_eş = 1/k₁ + 1/k₂ + … olur. Paralel bağlı yaylarda aynı uzanım oluşur, kuvvetler toplanır ve k_eş = k₁ + k₂ + … elde edilir.

Cisim iki yandan yaylara bağlıysa bir yöndeki küçük yer değiştirmede yaylardan biri uzarken diğeri sıkışır; iki kuvvet de dengeye yöneldiği için yay sabitleri toplanır. Sistem periyodu her durumda T = 2π√(m/k_eş) bağıntısıyla hesaplanır.

Örnek - 14

m kütlesi, sürtünmesiz yatay düzlemde solunda k ve sağında 3k yay sabitli iki yaya bağlanmıştır. Cisim denge konumundan ayrılıp bırakıldığında periyodu hangisidir?

A) 2π√(m/k)
B) 2π√(m/2k)
C) 2π√(2m/3k)
D) π√(m/k)
E) π√(m/2k)

Cevabı Göster

Cisim sağa ötelenirse soldaki yay uzar, sağdaki yay sıkışır ve iki yay da sola kuvvet uygular. Bu nedenle k_eş = k + 3k = 4k’dır. T = 2π√[m/(4k)] = π√(m/k) bulunur.

Cevap: D

Yay Uzunluğunun Yay Sabitine Etkisi

Türdeş bir yayın yay sabiti, etkin yay uzunluğuyla ters orantılıdır. Yay n eşit parçaya ayrılırsa her parçanın uzunluğu L/n, yay sabiti nk olur. Parçaların daha sonra seri veya paralel bağlanması, bağlantıya göre yeni bir eşdeğer sabit oluşturur.

Yayın yalnız genliğinin artırılması k değerini değiştirmez; ideal sınırlar içinde periyot sabit kalır. Buna karşılık yayın fiziksel olarak kesilmesi etkin uzunluğu değiştirdiği için k ve dolayısıyla periyot değişir.

Örnek - 15

Yay sabiti k olan türdeş bir yay 1:2 uzunluk oranında iki parçaya ayrılıyor. Kısa ve uzun parçaların yay sabitleri sırasıyla k₁ ve k₂‘dir. Bu parçalar paralel bağlanarak m kütlesi titreştirilirse periyot, kesilmemiş yayla oluşturulan periyodun kaç katı olur?

A) √2/3
B) 1/2
C) √3/3
D) 2/3
E) 1/√2

Cevabı Göster

Parçaların uzunlukları L/3 ve 2L/3’tür. kL sabit olduğundan k₁ = 3k, k₂ = 3k/2 olur. Paralel bağlamada k_eş = 9k/2’dir. Periyot oranı √[k/(9k/2)] = √2/3 bulunur.

Cevap: A

Basit Sarkaç

Küçük Açı Koşulu ve Geri Çağırıcı Kuvvet

Kütlesi ihmal edilen L uzunluklu ipin ucundaki noktasal m kütlesi, düşey denge doğrultusundan küçük bir θ açısıyla ayrıldığında yay biçimli bir yörüngede salınır. Ağırlığın yola teğet bileşeni F_t = −mg sinθ geri çağırıcı kuvvettir.

Açı radyan cinsinden küçükse sinθ ≈ θ ve yay uzunluğu x ≈ Lθ olur. Böylece F_t ≈ −(mg/L)x elde edilir; kuvvet uzanımla doğrusal olduğundan hareket basit harmonik kabul edilir. Büyük açılarda sinθ ≈ θ yaklaşımı geçerli değildir ve periyot genlikten bağımsız sayılamaz.

Örnek - 16

Uzunluğu L olan basit sarkaç küçük θ açısıyla K noktasından serbest bırakılıyor. Cisim K’den O denge noktasına gelirken teğetsel geri çağırıcı kuvvetin büyüklüğü, cismin sürati ve ip gerilmesi nasıl değişir?

A) Üçü de artar
B) Kuvvet azalır, sürat azalır, gerilme artar
C) Kuvvet artar, sürat artar, gerilme azalır
D) Kuvvet azalır, sürat artar, gerilme azalır
E) Kuvvet azalır, sürat artar, gerilme artar

Cevabı Göster

Dengeye yaklaşırken θ küçüldüğü için mg sinθ ve geri çağırıcı kuvvet azalır. Potansiyel enerji kinetiğe dönüştüğünden sürat artar. Radyal yönde T_ip − mg cosθ = mv²/L’dir; hem cosθ hem v arttığı için ip gerilmesi artar.

Cevap: E

Basit Sarkacın Periyodu

Küçük açılı salınımda basit sarkacın açısal frekansı ω = √(g/L), periyodu T = 2π√(L/g)‘dir. Periyot ipin uzunluğunun kareköküyle doğru, yer çekimi ivmesinin kareköküyle ters orantılıdır.

İdeal modelde periyot sarkaç kütlesine ve küçük açısal genliğe bağlı değildir. İpin boyu, askı noktasından cismin kütle merkezine kadar ölçülür. Ortam değiştirilip g azalırsa sarkaç yavaşlar ve periyot artar.

Örnek - 17

K gezegeninde L uzunluklu bir sarkacın periyodu T’dir. Aynı sarkaç, çekim ivmesi K’nin 4/9’u olan L gezegenine götürülüp ip uzunluğu 4L/9 yapılırsa yeni periyot kaç T olur?

A) 2/3
B) 3/4
C) 1
D) 3/2
E) 9/4

Cevabı Göster

Periyot oranı √[(L’/g’)/(L/g)]’dir. L’ = 4L/9 ve g’ = 4g/9 olduğundan L’/g’ = L/g olur. Bu nedenle periyot değişmez.

Cevap: C

Çivili Sarkaç ve Parçalı Yörünge

Sarkaç ipi denge konumundan geçerken bir çiviye takılırsa hareketin bir bölümü uzun L, diğer bölümü daha kısa ℓ etkin uzunlukla gerçekleşir. Her uçtan dengeye geçiş ilgili sarkacın periyodunun dörtte biri kadar sürer.

Bir tam döngü iki uzun ve iki kısa çeyrek salınımdan oluşuyorsa toplam periyot T = (T_L + T_ℓ)/2 olur. Çivinin konumu ipin etkin uzunluğunu belirler; yalnız şeklin simetrisine bakılarak tek bir sarkaç periyodu kullanılamaz.

Örnek - 18

L uzunluklu sarkaç, denge konumundan geçerken askı noktasının 3L/4 aşağısındaki çiviye takılmaktadır. Küçük açılı hareketin toplam periyodu, çivi bulunmadığındaki T₀ periyodunun kaç katıdır?

A) 1/2
B) 3/4
C) 1
D) 5/4
E) 3/2

Cevabı Göster

Çiviye takılan tarafta etkin uzunluk ℓ = L − 3L/4 = L/4’tür. Bu kısa sarkacın periyodu T_ℓ = T₀√(1/4) = T₀/2 olur. Toplam periyot (T₀ + T₀/2)/2 = 3T₀/4’tür.

Cevap: B

Saat ve Metronom Uygulamaları

Sarkaçlı saat, her salınımı zaman birimi olarak kullanır. Gerçek periyot büyürse mekanizma aynı gerçek sürede daha az salınım sayar ve saat geri kalır; periyot küçülürse daha çok salınım sayar ve ileri gider. Küçük değişimlerde saat hızı, periyotla ters orantılı değerlendirilir.

Metronomda hareketli kütlenin dönme eksenine uzaklığı değiştirilerek etkin sarkaç uzunluğu ayarlanır. Kütle eksenden uzaklaştırıldığında periyot artar ve tempo düşer; eksene yaklaştırıldığında periyot azalır ve tempo yükselir.

Örnek - 19

Bir metronomda sürgü K konumundayken dönme eksenine uzaklık d, L konumundayken 9d/4’tür. Metronom basit sarkaç gibi modellenirse periyotların T_K/T_L oranı kaçtır?

A) 3/2
B) 3/4
C) 1
D) 4/3
E) 2/3

Cevabı Göster

Periyot etkin uzunluğun kareköküyle orantılıdır. T_K/T_L = √[d/(9d/4)] = √(4/9) = 2/3 olur.

Cevap: E

Örnek - 20

Dünya’da doğru çalışan basit sarkaçlı saat, çekim ivmesinin Dünya’dakinin 16/25’i olduğu bir gezegene götürülüyor. Saat bu gezegende 5 gerçek saat çalıştığında kaç saat gösterir?

A) 4
B) 25/4
C) 5
D) 16/5
E) 20/3

Cevabı Göster

Yeni periyot T’ = T√(g/g’) = T√(25/16) = 5T/4 olur. Saatin gösterdiği süre gerçek süreyle T/T’ oranında ilerler. Bu nedenle 5·(4/5) = 4 saat gösterir ve geri kalır.

Cevap: A