AYT kütle merkezi ve ağırlık merkezi konu anlatımı kapsamında kütle ve ağırlık merkezlerinin fiziksel anlamı, koordinatlarının bulunması, türdeş cisimlerde simetri, parça ekleme ve çıkarma, asılma dengesi ile devrilme koşulları işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Kütle Merkezi ve Ağırlık Merkezi Kavramları
Kütle Merkezi ile Ağırlık Merkezinin Ayrımı
Bir cismin kütlesinin tamamının toplandığı kabul edilen noktaya kütle merkezi denir. Bu nokta, cismin parçalarının kütle dağılımına bağlıdır; yer çekimi alanının varlığına bağlı değildir. Cismin her küçük parçasına etki eden yer çekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktası ise ağırlık merkezi olarak adlandırılır.
Yer çekimi ivmesi cismin bütün noktalarında aynı büyüklükte ve aynı yöndeyse her parçanın ağırlığı kendi kütlesiyle aynı oranda değişir. Bu durumda kütle merkezi ile ağırlık merkezi çakışır. Yer çekimi ivmesi cismin bir ucundan diğer ucuna anlamlı ölçüde değişiyorsa büyük ağırlıkların bulunduğu tarafa ait tork etkisi artar ve ağırlık merkezi kütle merkezinden ayrılır. Dünya yüzeyindeki yüksek yapılarda alt bölümlere etki eden yer çekimi ivmesi üst bölümlerdekinden çok az daha büyük olduğundan ağırlık merkezi kütle merkezinin biraz altında bulunur.
Dikkat
Kütle merkezi, yer çekimi olmayan bir ortamda da tanımlıdır. Ağırlık merkezi ise yer çekimi kuvvetlerinin bileşke uygulama noktası olduğundan alanın uzaysal değişimine bağlıdır. İki kavram yalnız düzgün yer çekimi alanında aynı noktayı gösterir.
Örnek - 1
Yüksekliği H olan türdeş bir kule, kütleleri eşit alt ve üst iki bölümle modelleniyor. Bölümlerin kütle merkezleri yerden sırasıyla H/4 ve 3H/4 yüksekliktedir. Alt bölümde yer çekimi ivmesi 10g/9, üst bölümde g olduğuna göre kulenin ağırlık merkezi, kütle merkezinden ne kadar aşağıdadır?
A) H/19
B) H/38
C) H/76
D) H/90
E) H/180
İki bölümün kütlesi m alınırsa ağırlıkları 10mg/9 ve mg olur. Ağırlık merkezinin yerden yüksekliği yA=[(10mg/9)(H/4)+mg(3H/4)]/(10mg/9+mg)=37H/76‘dır. Eşit kütleli bölümlerin kütle merkezi H/2=38H/76 yüksekliğindedir. Ağırlık merkezi kütle merkezinden H/76 aşağıdadır.
Cevap: C
Parçacık Sistemlerinde Kütle Merkezi
Koordinat düzleminde mi kütleli parçacığın konumu (xi,yi) ile gösterilsin. Sistemin toplam kütlesi M=Σmi olmak üzere kütle merkezinin koordinatları xKM=Σ(mixi)/M ve yKM=Σ(miyi)/M bağıntılarıyla bulunur. Her koordinat ayrı bir ağırlıklı ortalamadır.
İki parçacığın kütle merkezi, parçacıkları birleştiren doğru parçası üzerindedir ve büyük kütleye daha yakındır. Bütün kütleler pozitif olduğundan sistemin kütle merkezi, parçacıkları çevreleyen en küçük dışbükey bölgenin dışında bulunamaz. Bir kütle artırıldığında merkez, eski konumundan bu kütleye doğru yer değiştirir.
Örnek - 2
Koordinat düzleminde m, 2m ve 3m kütleli parçacıklar sırasıyla (0,0), (6,0) ve (2,4) noktalarındadır. Sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir?
A) (2,2)
B) (3,2)
C) (3,3)
D) (4,2)
E) (4,3)
Toplam kütle 6m’dir. xKM=[m·0+2m·6+3m·2]/6m=3 ve yKM=[m·0+2m·0+3m·4]/6m=2 bulunur. Kütle merkezi (3,2) noktasındadır.
Cevap: B
Örnek - 3
(0,0) ve (8,0) noktalarında 2m kütleli iki parçacık, (4,6) noktasında ise M kütleli üçüncü parçacık vardır. Sistemin kütle merkezi (4,2) olduğuna göre M kaç m’dir?
A) m/2
B) m
C) 3m/2
D) 2m
E) 3m
İlk iki kütle x=4 doğrusuna göre simetrik olduğundan x koordinatı zaten 4’tür. Düşey koordinat için 6M/(4m+M)=2 yazılır. 6M=8m+2M ve M=2m elde edilir.
Cevap: D
Örnek - 4
A, B ve C noktalarındaki pozitif kütlelerin ortak kütle merkezi G’dir. Yalnız C noktasındaki kütle artırıldığında yeni merkez G′ oluyor. Buna göre;
I. G′, G ile C’yi birleştiren doğru üzerindedir.
II. G′, G ile C arasındadır.
III. G′ üçgen ABC’nin dışında olabilir.
yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
C’deki artış, eski sistem G’de toplanmış tek bir kütle ve C’de eklenen kütle biçiminde ele alınarak incelenebilir. İki kütlenin merkezi GC doğru parçası üzerinde ve bu iki noktanın arasındadır. Pozitif kütlelerin ağırlıklı ortalaması üçgenin dışına çıkamaz. I ve II doğrudur.
Cevap: C
Türdeş Cisimlerde Kütle Merkezinin Bulunması
Simetri ve Boyuta Göre Kütle
Türdeş bir cismin özkütlesi her noktasında aynıdır. Sabit kesitli ince tel ve çubuklarda parça kütlesi uzunlukla; eşit kalınlıklı levhalarda alanla; üç boyutlu cisimlerde hacimle orantılıdır. Özkütle veya kalınlık değişiyorsa her parçanın kütlesi m=ρV bağıntısından belirlenir.
Bir cismin her simetri doğrusu kütle merkezinden geçer. Birden fazla simetri doğrusu veya düzlemi varsa bunların kesişimi merkezi verir. Düzgün çubuk, çember, dikdörtgen ve dairede geometrik merkez; üçgen levhada kenarortayların kesişimi; küre, silindir ve prizma gibi türdeş katılarda simetri düzlemlerinin kesişimi kütle merkezidir. Çembersel telde kütle merkezi tel üzerinde olmak zorunda değildir; çemberin boş merkezindedir.
Örnek - 5
Aynı doğrusal yoğunluğa sahip üç ince çubuk; (0,0)-(6,0), (6,0)-(6,4) ve (6,4)-(2,4) noktaları arasına yerleştirilmiştir. Çubuk sisteminin kütle merkezi nedir?
A) (4,2)
B) (29/7,12/7)
C) (31/7,12/7)
D) (29/7,16/7)
E) (5,2)
Çubukların uzunlukları 6, 4 ve 4 birim; merkezleri (3,0), (6,2) ve (4,4)’tür. Kütleler uzunlukla orantılıdır. xKM=(6·3+4·6+4·4)/14=29/7, yKM=(6·0+4·2+4·4)/14=12/7 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 6
Aynı maddeden ve aynı kalınlıkta yapılmış, yarıçapları sırasıyla r, 2r ve r olan üç çembersel tel dıştan teğettir. Merkezleri aynı doğru üzerinde ve ilk telin merkezine göre sırasıyla 0, 3r ve 6r konumundadır. Sistemin kütle merkezi ilk merkeze kaç r uzaklıktadır?
A) 2
B) 5/2
C) 3
D) 7/2
E) 4
Tel kütleleri çevre uzunluklarıyla orantılı olduğundan oran 1:2:1’dir. xKM=(1·0+2·3r+1·6r)/4=3r olur. Merkez, orta çemberin merkezindedir.
Cevap: C
Örnek - 7
Aynı maddeden ve aynı kalınlıkta, yarıçapları r ve 2r olan iki dairesel levha dıştan teğettir. Küçük levhanın merkezi x=0, büyük levhanın merkezi x=3r olduğuna göre ortak kütle merkezi nerededir?
A) 3r/2
B) 2r
C) 9r/4
D) 12r/5
E) 5r/2
Levha kütlesi alanla, dolayısıyla yarıçapın karesiyle orantılıdır. Kütle oranı 1:4 olur. xKM=(1·0+4·3r)/5=12r/5‘tir.
Cevap: D
Örnek - 8
Merkezleri x=0 ve x=6a noktalarında olan kare levhalardan K’nın kenarı 2a, kalınlığı t ve özkütlesi ρ; L’nin kenarı a, kalınlığı 2t ve özkütlesi 3ρ’dur. Birbirine bağlı levhaların ortak kütle merkezinin x koordinatı kaç a’dır?
A) 3
B) 16/5
C) 18/5
D) 4
E) 21/5
K levhasının kütlesi ρ·4a²·t=4ρa²t, L levhasının kütlesi 3ρ·a²·2t=6ρa²t‘dir. xKM=(4·0+6·6a)/(4+6)=18a/5 bulunur.
Cevap: C
Asılma Noktası ve Çekül Doğrusu
Bir cisim tek noktadan serbestçe asıldığında, askı noktasına göre ağırlık torku sıfır olana kadar döner. Denge konumunda askı noktasından geçen düşey doğru, ağırlık merkezinden de geçer. Düzgün olmayan ince bir levha iki farklı noktadan asılıp her durumda çekül doğrusu çizilirse doğruların kesişimi ağırlık merkezini verir.
Askı noktası ağırlık merkezinin üstündeyse küçük bir sapma geri çağırıcı tork doğurur ve denge kararlıdır. Askı noktası ağırlık merkezinin altında kalırsa küçük sapma cismi daha fazla döndürür; bu konum kararsızdır.
Örnek - 9
Türdeş olmayan ince bir levha A ve B noktalarından ayrı ayrı asıldığında çizilen çekül doğruları O noktasında kesişiyor. Levha C noktasından asıldığında dengede kalacağı doğrultu aşağıdakilerden hangisidir?
A) C’den geçen ve CO doğrultusunu düşey yapan konum
B) AB’yi yatay yapan konum
C) AC’yi düşey yapan konum
D) BC’yi yatay yapan konum
E) O’yu C’nin üstünde bırakan herhangi bir konum
İlk iki çekül doğrusunun kesişimi O, levhanın ağırlık merkezidir. C’den asılmada askı noktası ile O aynı düşey doğru üzerinde olmalı ve kararlı dengede O, C’nin altında kalmalıdır. Bu koşulu yalnız A seçeneği sağlar.
Cevap: A
Örnek - 10
Ağırlık merkezi O olan levha K, L ve M noktalarından asılarak I, II ve III konumlarına getiriliyor. Şekildeki düşey ip doğruları dikkate alındığında levha hangi konumlarda dengede kalabilir?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) II ve III
Denge için askı noktasından geçen düşey doğrultu O’dan geçmelidir. I ve III’te bu koşul sağlanırken II’de ağırlığın askı noktasına göre torku sıfır değildir. Levha I ve III konumlarında dengede kalabilir.
Cevap: D
Parça Eklenen ve Çıkarılan Cisimler
Negatif Kütle Yöntemi ve Merkezin Kayması
Bir cisme parça eklendiğinde yeni merkez, eski kütle merkezinden eklenen parçanın merkezine doğru kayar. Parça çıkarıldığında ise merkez, çıkarılan parçanın bulunduğu yönün tersine kayar. Nicel hesapta çıkarılan parça, kendi kütle merkezinde bulunan negatif kütle gibi işleme alınabilir. Böylece toplam kütle paydada azalır; moment toplamında çıkarılan parçanın mx ve my katkıları eksi işaretle yer alır.
Bir parça başka bir yere taşınıyorsa toplam kütle değişmez. Kütle merkezinin yer değiştirmesi, taşınan parçanın kütlesi ile taşıma vektörünün çarpımının sistemin toplam kütlesine bölünmesiyle bulunur: ΔrKM=(mp/M)Δrp.
Örnek - 11
Kenar uzunluğu 6a olan türdeş kare levhanın sağ üst köşesinden kenarı 2a olan kare parça çıkarılıyor. Koordinat başlangıcı büyük karenin sol alt köşesi olduğuna göre kalan levhanın kütle merkezi nedir?
A) (5a/2,5a/2)
B) (11a/4,11a/4)
C) (3a,3a)
D) (13a/4,13a/4)
E) (7a/2,7a/2)
Büyük levhanın alanı 36a² ve merkezi (3a,3a); çıkarılan parçanın alanı 4a² ve merkezi (5a,5a)’dır. xKM=[36·3a−4·5a]/32=11a/4 olur. Simetri nedeniyle y koordinatı da 11a/4‘tür.
Cevap: B
Örnek - 12
8a×4a boyutlu türdeş dikdörtgen levhanın solundaki 2a×2a kare parça, merkezi (a,2a) noktasından alınarak merkezi (7a,5a) olacak biçimde levhanın üstüne yapıştırılıyor. Yeni kütle merkezi nedir?
A) (9a/2,2a)
B) (19a/4,19a/8)
C) (5a,5a/2)
D) (21a/4,19a/8)
E) (19a/4,21a/8)
Toplam alan 32a² olarak kalır. İlk momentler 32·4a ve 32·2a‘dır. Taşınan 4a²’lik parçanın eski katkısı çıkarılıp yeni katkısı eklenir: xKM=[128a−4a+28a]/32=19a/4, yKM=[64a−8a+20a]/32=19a/8.
Cevap: B
Örnek - 13
Kütle merkezi O olan türdeş levhadaki özdeş kare parçaların merkezleri şekilde verilmiştir. Buna göre;
I. K ve L,
II. M ve N,
III. P ve R
parça çiftlerinden hangileri tek başına çıkarılırsa kalan levhanın kütle merkezi O’da kalır?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
Merkezin değişmemesi için çıkarılan eş kütleli parçaların ortak merkezi O olmalıdır. K-L ve M-N çiftleri O’ya göre karşılıklı konumdadır; moment toplamları sıfırdır. P ve R’nin O’ya uzaklıkları eşit olmadığından bu çiftin merkezi O değildir. I ve II uygundur.
Cevap: C
Örnek - 14
Yan yana dört özdeş kare bölmenin merkezleri soldan sağa 0,5a; 1,5a; 2,5a ve 3,5a konumundadır. Bölmelerin kat sayıları sırasıyla 1, 2, 3 ve 2 olduğuna göre levha sisteminin kütle merkezi sol kenardan kaç a uzaktadır?
A) 2
B) 17/8
C) 9/4
D) 19/8
E) 5/2
Her kat aynı kütle katkısını verir. Toplam kat sayısı 8’dir. xKM=[1·0,5a+2·1,5a+3·2,5a+2·3,5a]/8=18a/8=9a/4 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 15
Merkezi O ve yarıçapı 2r olan türdeş dairesel levhadan, merkezi O’nun r kadar sağında bulunan r yarıçaplı dairesel parça çıkarılıyor. Kalan levhanın kütle merkezi O’ya göre nerededir?
A) r/4 sola
B) r/3 sola
C) r/2 sola
D) r/3 sağa
E) r/2 sağa
Büyük levhanın kütlesi alan nedeniyle 4 birim, çıkarılan parçanın kütlesi 1 birim alınabilir. O başlangıç seçilirse xKM=[4·0−1·r]/(4−1)=−r/3 olur. Eksi işaret merkezin sola kaydığını gösterir.
Cevap: B
Denge, Destek Alanı ve Devrilme
Ağırlık Doğrultusu ve Destek Bölgesi
Yatay ya da eğik bir yüzeyde duran cisme temas kuvvetleri, cismin yüzeyle temas ettiği noktaların oluşturduğu destek bölgesi içinden uygulanır. Ağırlık merkezinden geçen düşey doğrunun yüzeyi kestiği nokta destek bölgesinin içindeyse temas kuvvetleri ağırlığın torkunu dengeleyebilir. Bu nokta sınırın dışına çıktığında temasın bir kenarında tepki sıfır olur ve cisim diğer kenar çevresinde devrilmeye başlar.
Kararlılık, ağırlık merkezinin alçaltılması ve destek bölgesinin genişletilmesiyle artar. Eğik düzlemde düşey ağırlık doğrultusu, cismin tabanı üzerinde aşağı eğim yönüne doğru kayar. Cismin kayma koşulu sürtünmeyle, devrilme koşulu ise ağırlık doğrultusunun taban sınırına ulaşmasıyla belirlenir; iki olay aynı fiziksel koşul değildir.
Örnek - 16
Taban genişliği a, yüksekliği b olan türdeş dikdörtgen blok 37° eğimli düzlemde kaymadan durmaktadır. Bloğun devrilmemesi için b/a oranının alabileceği en büyük değer nedir? tan37°=3/4.
A) 3/4
B) 1
C) 4/3
D) 3/2
E) 5/3
Ağırlık doğrultusunun taban merkezinden aşağı eğim yönündeki kayması (b/2)tan37°‘dir. Devrilme sınırında bu değer a/2 olur. b tan37°=a ve b/a=cot37°=4/3 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 17
Uzunluğu L olan özdeş ve türdeş iki blok yatay olarak üst üste konuyor. Üst blok, alt bloğa göre devrilme sınırına kadar sağa; iki blok birlikte, masa kenarına göre devrilme sınırına kadar sağa kaydırılıyor. Üst bloğun sağ ucu masa kenarından en çok ne kadar taşabilir?
A) L/2
B) 5L/8
C) 2L/3
D) 3L/4
E) L
Üst bloğun merkezi alt bloğun sağ kenarına geldiğinde iki blok arasındaki en büyük kayma L/2‘dir. Bu konumda iki bloğun ortak merkezi, alt bloğun merkezinden L/4 sağdadır. Ortak merkez masa kenarına getirildiğinde alt blok merkezinin masa kenarına göre kayması L/4 olur. Toplam taşma L/2+L/4=3L/4‘tür.
Cevap: D
Örnek - 18
Bir gemide toplam kütle değiştirilmeden yoğun malzeme gövdenin altındaki salma bölümüne taşınarak ağırlık merkezi aşağı çekiliyor. Geminin suya batan hacmi karşılaştırma boyunca sabit tutulduğuna göre;
I. Küçük yatışlarda ağırlık ve kaldırma kuvvetlerinin etki doğruları bir kuvvet çifti oluşturabilir.
II. Ağırlık merkezinin aşağı alınması geri döndürücü torku artırır.
III. Yalnız ağırlık merkezinin yerinin değişmesi kaldırma kuvvetinin büyüklüğünü değiştirmez.
yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
Gemi yatınca kaldırma kuvvetinin uygulama doğrusu yer değiştirir; ağırlıkla birlikte geri döndürücü bir kuvvet çifti doğabilir. Ağırlık merkezinin aşağı alınması bu iki doğrultu arasındaki kolu büyütür. Batan hacim ve sıvı değişmediği için kaldırma kuvvetinin büyüklüğü değişmez. Üç yargı da doğrudur.
Cevap: E
Sistemin Kütle Merkezi ve Destek Tepkileri
Başlangıçta yatay doğrultuda durgun olan ve dış kuvvetlerin yatay bileşkesi sıfır kalan bir sistemde kütle merkezinin yatay konumu değişmez. Sistemin başlangıçta yatay hızı varsa dış yatay kuvvet sıfırken kütle merkezinin yatay hızı sabit kalır. Sistemin parçaları birbirine göre hareket edebilir; ancak bir parçanın bir yöndeki yer değiştirmesine karşılık kalan sistem ters yönde yer değiştirir. Durgun bir platformda destek kuvvetlerinin toplamı ağırlığa eşittir. Destek kuvvetlerinin momentleri de toplam ağırlığın kütle merkezinden geçen doğrultuda oluşturduğu momente eşit olmalıdır.
Örnek - 19
Kütlesi 3m, uzunluğu L olan türdeş bir sal sürtünmesiz su üzerinde durmaktadır. Kütlesi m olan kişi salın sol ucundan sağ ucuna yürür. Suya göre yatay dış kuvvet ihmal edildiğine göre sal hangi yönde ne kadar yer değiştirir?
A) Sağa L/4
B) Sola L/4
C) Sağa L/3
D) Sola L/3
E) Sola L/2
Salın suya göre sola yer değiştirmesi x olsun. Kişinin sala göre sağa yer değiştirmesi L olduğundan suya göre yer değiştirmesi L−x‘tir. Kütle merkezi sabitliği 3m(−x)+m(L−x)=0 verir. Buradan x=L/4; sal sola hareket eder.
Cevap: B
Örnek - 20
Kütlesiz yatay üçgen platform A(0,0), B(6a,0) ve C(0,6a) noktalarındaki üç düşey destek üzerinde durmaktadır. Platform üzerindeki cismin ağırlığı W ve ağırlık doğrultusunun platformu kestiği nokta (2a,a)’dır. A, B ve C desteklerinin tepki kuvvetleri sırasıyla NA, NB ve NC olduğuna göre oran nedir?
A) 1:1:1
B) 2:1:1
C) 3:2:1
D) 3:1:2
E) 4:2:1
Düşey kuvvet dengesi NA+NB+NC=W‘dir. y eksenine göre moment eşitliği 6aNB=2aW olduğundan NB=W/3. x eksenine göre 6aNC=aW ve NC=W/6. Böylece NA=W/2 ve oran 3:2:1‘dir.
