AYT İTME, MOMENTUM VE ÇARPIŞMALAR

AYT itme, momentum ve çarpışmalar konu anlatımı kapsamında çizgisel momentum, itme-momentum teoremi, momentumun korunumu, patlamalar ile esnek ve esnek olmayan çarpışmalar işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Çizgisel Momentum ve İtme

Çizgisel momentum, bir cismin kütlesi ile hız vektörünün çarpımıdır. p=m·v bağıntısıyla tanımlanır. Kütle skaler ve pozitif olduğundan momentumun yönü hızın yönüyle aynıdır. SI birimi kg·m/s olup bu birim N·s ile eşdeğerdir.

Birden fazla parçacıktan oluşan sistemin toplam momentumu, parçacık momentumlarının vektörel toplamıdır: p_sistem=Σp_i. Tek boyutlu hareketlerde seçilen pozitif yöne göre işaret kullanılır. İki boyutlu hareketlerde ise p_x=mv_x ve p_y=mv_y bileşenleri ayrı ayrı toplanır.

Momentum Değişiminin Vektörel Hesabı

Momentum değişimi son momentumdan ilk momentumun çıkarılmasıyla bulunur: Δp=p_son−p_ilk. Hızın yalnız büyüklüğü değil yönü de değiştiğinde momentum değişimi vardır. Bu nedenle eşit süratle zıt yönde hareket eden bir cismin momentum değişimi sıfır değildir.

Örnek - 1

2 kg kütleli cismin K ve L noktalarındaki hız vektörleri bileşenleriyle birlikte verilmiştir. Buna göre K’den L’ye geçişte cismin momentum değişiminin büyüklüğü kaç kg·m/s’dir?

A) 2√13

B) 2√21

C) 2√29

D) 4√13

E) 4√29

Cevabı Göster

Görselden v_K=(4i+j) m/s ve v_L=(-i+3j) m/s okunur. Hız değişimi Δv=v_L−v_K=-5i+2j‘dir. Kütle sabit olduğundan Δp=mΔv=2(-5i+2j) olur. Büyüklük |Δp|=2√(25+4)=2√29 kg·m/s bulunur.

Cevap: C

Örnek - 2

0,25 kg kütleli top, düşey duvara duvarın normaline göre 37° açı yapacak biçimde 20 m/s süratle çarpıyor ve sürati değişmeden yansıyor. cos37°=0,8 olduğuna göre topun momentum değişiminin büyüklüğü kaç N·s’dir?

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 10

Cevabı Göster

Duvara paralel momentum bileşeni değişmez; duvara dik (duvar normaline paralel) momentum bileşeni yön değiştirir. Normal doğrultudaki ilk momentumun büyüklüğü mvcos37°=0,25·20·0,8=4 kg·m/s‘dir. Son değer bunun zıt yönlüsü olduğundan momentum değişiminin büyüklüğü 2·4=8 N·s olur.

Cevap: D

İtme-Momentum Teoremi

Bir kuvvetin belirli bir süre boyunca oluşturduğu etkiye itme denir. Sabit kuvvet için I=F·Δt‘dir. Kuvvet zamana göre değişiyorsa net itme, kuvvet-zaman grafiğinin işaretli alanıdır. Newton’ın ikinci yasası F_net=Δp/Δt biçiminde yazıldığında I_net=Δp sonucu elde edilir. Sonlu bir zaman aralığında hesaplanan Δp/Δt oranı o aralıktaki ortalama net kuvveti verir.

Kuvvet-zaman grafiğinde yatay eksenin üstündeki alan pozitif, altındaki alan negatiftir. Momentum-zaman grafiğinde bir bölümün kiriş eğimi, o bölümdeki ortalama net kuvveti verir: F_ort=Δp/Δt. Bölüm doğrusal ise kiriş eğimi sabit olduğundan ortalama net kuvvet ile her andaki anlık net kuvvet aynıdır. Grafik eğriyse belirli bir andaki anlık net kuvvet, o noktaya çizilen teğetin eğiminden belirlenir. Momentumun sıfırdan geçmesi cismin o anda durduğunu, eğimin sıfır olması ise net kuvvetin sıfır olduğunu gösterir; bu iki durum aynı değildir.

Örnek - 3

Doğrusal hareket eden bir cisme etki eden net kuvvetin zamana bağlı değişimi şekilde verilmiştir. Cismin başlangıç momentumu -6 kg·m/s olduğuna göre 9. saniyedeki momentumu kaç kg·m/s’dir?

A) 24

B) 30

C) 36

D) 42

E) 48

Cevabı Göster

0-2 s üçgeninin alanı 12 N·s, 2-5 s dikdörtgeninin alanı 36 N·s, 5-7 s aralığındaki işaretli yamuk alanı 6 N·s, 7-9 s aralığındaki negatif dikdörtgen alanı -12 N·s‘dir. Net itme 42 N·s olur. p_son=p_ilk+I_net=-6+42=36 kg·m/s bulunur.

Cevap: C

Örnek - 4

Bir cismin doğrusal momentumunun zamana bağlı değişimi şekilde verilmiştir. Buna göre 2-8 s aralığında cisme etki eden ortalama net kuvvet kaç newtondur?

A) -2/3

B) -1/3

C) 0

D) 1/3

E) 2/3

Cevabı Göster

Grafikte 0-3 s arasında momentum -4’ten 8 kg·m/s’ye doğrusal arttığı için p(2)=4 kg·m/s‘dir. 5-10 s arasında 8’den -2 kg·m/s’ye doğrusal azaldığından p(8)=2 kg·m/s olur. Ortalama net kuvvet F_ort=[p(8)-p(2)]/(8-2)=(2-4)/6=-1/3 N‘dır.

Cevap: B

Yer Çekimi İtmesi ve Temas Süresi

Hava direncinin ihmal edildiği atış hareketinde cisme yalnız ağırlık kuvveti etki eder. Eşit zaman aralıklarında yer çekimi itmesi I_g=mgΔt olduğundan düşey momentum eşit miktarlarda değişir; yatay momentum sabit kalır. Bu sonuç, cismin çıkışta veya inişte olmasından bağımsızdır.

Bir cismin belirli ilk ve son momentumları arasındaki net itme sabittir. Aynı momentum değişimi daha uzun sürede gerçekleşirse ortalama net kuvvet küçülür. Hava yastığı, minder ve kask gibi düzenekler momentum değişimini ortadan kaldırmaz; etkileşim süresini uzatarak ortalama kuvveti azaltır.

Örnek - 5

2 kg kütleli cisim yerden 25 m/s süratle ve yatayla 37° açı yapacak biçimde atılıyor. Hava direnci önemsizdir. Atış anından tepe noktasına ulaştıktan 0,5 s sonrasına kadar cismin momentum değişimi nedir? sin37°=0,6, g=10 m/s².

A) 20 kg·m/s yukarı

B) 30 kg·m/s aşağı

C) 40 kg·m/s aşağı

D) 50 kg·m/s aşağı

E) 60 kg·m/s aşağı

Cevabı Göster

İlk düşey hız v_0y=25·0,6=15 m/s olduğundan tepeye çıkış süresi 1,5 s’dir. İncelenen toplam süre 2,0 s‘dir. Yatay momentum değişmez. Yer çekimi itmesi Δp_y=−mgΔt=−2·10·2=−40 kg·m/s olduğundan momentum değişimi 40 kg·m/s büyüklüğünde aşağı yönlüdür.

Cevap: C

Momentumun Korunumu, Geri Tepme ve Patlamalar

Bir sistemin toplam momentumundaki değişim, sisteme dışarıdan uygulanan net itmeye eşittir: J_dış,net=Δp_sistem. İncelenen sürede net dış itme sıfırsa veya ihmal edilebilecek kadar küçükse sistemin toplam momentumu korunur.

Sistemin parçaları arasındaki etki-tepki kuvvetleri eşit büyüklükte ve zıt yönlü iç kuvvetlerdir. Aynı süre boyunca etkidikleri için iç itmeler vektörel toplamda birbirini götürür. Buna karşılık sürtünme, ağırlık veya dayanak kuvveti seçilen sistemin dışında kalıyorsa toplam momentumu değiştirebilir. Momentum korunumu her doğrultu için ayrı değerlendirilir; bir doğrultudaki dış itme sıfırken diğer doğrultuda sıfır olmayabilir.

Sistem Seçimi ve Dış İtme

Örnek - 7

Sürtünmesiz yatay düzlemde K ve L arabaları sıkıştırılmış bir yayla birbirine bağlıdır. Sistem başlangıçta durmaktadır. Yay serbest bırakıldığı anda yalnız K arabasına sağa doğru kısa süreli dış itme uygulanıyor. Görselde verilenlere göre arabaların ayrılmasından hemen sonra L’nin momentumu nedir?

A) 2 N·s sola

B) 4 N·s sola

C) 6 N·s sola

D) 8 N·s sola

E) 10 N·s sola

Cevabı Göster

K+L sistemi için başlangıç momentumu sıfır, dış itme sağa doğru 6 N·s olduğundan son toplam momentum +6 N·s‘dir. K’nin son momentumu görselde +10 N·s verildiğine göre p_K+p_L=6 eşitliğinden p_L=−4 N·s bulunur. L’nin momentumu 4 N·s büyüklüğünde sola yönelmiştir.

Cevap: B

Geri Tepme ve Yayla Ayrılma

Başlangıçta durmakta olan yalıtılmış bir sistem iç kuvvetlerle iki parçaya ayrılırsa parçaların momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür: m₁v₁=−m₂v₂. Daha küçük kütle daha büyük sürat kazanır. Momentum büyüklükleri eşit olsa da kinetik enerjiler kütleyle ters orantılıdır: E_k=p²/(2m).

Örnek - 8

Sürtünmesiz buz üzerinde başlangıçta yan yana duran m ve 3m kütleli iki patenci birbirini iterek ayrılıyor. Hafif patencinin kinetik enerjisi E olduğuna göre ağır patencinin kinetik enerjisi kaçtır?

A) E/9

B) E/3

C) E

D) 3E

E) 9E

Cevabı Göster

Başlangıç momentumu sıfır olduğundan patencilerin momentum büyüklükleri eşittir. Aynı p için kinetik enerji p²/(2m) olduğundan enerji kütleyle ters orantılıdır. Bu nedenle E_3m/E_m=m/(3m)=1/3 ve ağır patencinin kinetik enerjisi E/3 olur.

Cevap: B

Örnek - 9

Sürtünmesiz yatay düzlemde m ve 2m kütleli bloklar arasındaki sıkıştırılmış yay serbest bırakılıyor. Yayda başlangıçta depolanan enerji E olduğuna göre m kütleli bloğun kinetik enerjisi kaçtır?

A) E/3

B) E/2

C) 2E/3

D) 3E/4

E) E

Cevabı Göster

Toplam momentum başlangıçta sıfır olduğundan iki bloğun momentum büyüklüğü aynıdır. Kinetik enerjiler K_m=p²/(2m) ve K_2m=p²/(4m) olup oranları 2’dir. Toplam enerji E olduğuna göre enerji 2:1 oranında paylaşılır ve K_m=2E/3 bulunur.

Cevap: C

Duran ve Hareketli Cisimlerin Patlaması

Patlama sırasında ortaya çıkan kuvvetler sistemin iç kuvvetleridir. Patlama süresi çok kısa ve dış itme ihmal edilebilir olduğunda toplam momentum korunur. Başlangıçta duran bir cisim için parçaların momentum vektörleri kapalı bir çokgen oluşturur. Cisim patlamadan önce hareket ediyorsa parçaların vektörel momentum toplamı cismin patlama öncesi momentumuna eşittir.

Örnek - 10

Başlangıçta durmakta olan bir cisim üç parçaya ayrılıyor. 1 kg kütleli birinci parça doğuya 6 m/s, 2 kg kütleli ikinci parça kuzeye 4 m/s hızla hareket ediyor. Üçüncü parçanın kütlesi 1 kg olduğuna göre hızının büyüklüğü ve yönü nedir?

A) 8 m/s güneybatı

B) 10 m/s güneybatı

C) 10 m/s kuzeybatı

D) 12 m/s güneydoğu

E) 14 m/s batı

Cevabı Göster

Başlangıç momentumu sıfırdır. İlk iki parçanın momentumları 6i ve 8j kg·m/s‘dir. Üçüncü parçanın momentumu p₃=−6i−8j olmalıdır. Büyüklük √(6²+8²)=10 kg·m/s‘dir. Kütle 1 kg olduğundan sürat 10 m/s, yön güneybatıdır.

Cevap: B

Örnek - 11

4m kütleli cisim yatay doğrultuda doğuya 6 m/s hızla giderken üç parçaya ayrılıyor. m kütleli bir parça doğuya 12 m/s, m kütleli ikinci parça kuzeye 8 m/s hızla hareket ettiğine göre 2m kütleli üçüncü parçanın sürati kaç m/s’dir?

A) √13

B) 2√5

C) 2√13

D) 4√5

E) 6√2

Cevabı Göster

Patlama öncesi momentum 24m i‘dir. İlk iki parçanın toplam momentumu 12m i+8m j olduğundan üçüncü parçanın momentumu 12m i−8m j‘dir. Kütlesi 2m olan parçanın hızı v₃=6i−4j olur. Sürati √(6²+4²)=2√13 m/s‘dir.

Cevap: C

Esnek Çarpışmalar

Merkezi ve Bir Boyutlu Esnek Çarpışmalar

Net dış itmenin ihmal edildiği bütün çarpışmalarda toplam momentum korunur. Esnek çarpışmada buna ek olarak toplam kinetik enerji de korunur. Cisimler çarpışmadan sonra birbirinden ayrılır ve kalıcı biçimde kenetlenmez.

Tek boyutlu merkezi esnek çarpışmada momentum ve kinetik enerji denklemleri birlikte kullanılır. Bu iki denklemden, yaklaşma bağıl süratinin uzaklaşma bağıl süratine eşit olduğu sonucu elde edilir:

Bu bağıntıda hızlar seçilen eksene göre işaretlidir. Eşit kütleli iki cismin merkezi esnek çarpışmasında cisimler hızlarını değiş tokuş eder. Cisimlerden biri başlangıçta duruyorsa hareketli cisim durur, duran cisim onun ilk hızıyla hareket eder.

Örnek - 13

Sürtünmesiz yatay doğrultuda 2 kg kütleli K cismi sağa 8 m/s, 3 kg kütleli L cismi sola 2 m/s hızla hareket ederken merkezi ve esnek çarpışıyor. Çarpışmadan sonra K ve L’nin hızları sırasıyla nedir?

A) -4 m/s, 6 m/s

B) -2 m/s, 4 m/s

C) 0, 10/3 m/s

D) 2 m/s, 2 m/s

E) 4 m/s, 0

Cevabı Göster

Sağ yön pozitif seçildiğinde momentum denklemi 2·8+3·(−2)=2v_K+3v_L, yani 10=2v_K+3v_L‘dir. Esnek çarpışmanın bağıl hız bağıntısı 8−(−2)=−(v_K−v_L) olduğundan v_L−v_K=10 bulunur. Denklemler birlikte çözüldüğünde v_K=−4 m/s ve v_L=6 m/s elde edilir.

Cevap: A

İki Boyutlu Esnek Çarpışmalar

Merkezi olmayan çarpışmalarda momentumun x ve y bileşenleri ayrı ayrı korunur. Esnek çarpışmada bu iki denkleme kinetik enerji korunumu da eklenir. Eşit kütleli iki cisimden biri başlangıçta duruyorsa çarpışma sonrasındaki hız vektörleri birbirine diktir. Bu sonuç, u=v₁+v₂ vektör eşitliği ile u²=v₁²+v₂² enerji eşitliğinin birlikte sağlanmasından doğar.

Örnek - 16

Özdeş K ve L bilyelerinden K doğuya doğru u hızıyla ilerlerken L durmaktadır. Esnek çarpışmadan sonra K yatayla 53° açı yaparak 6 m/s, L yatayın altında 37° açı yaparak 8 m/s hızla hareket ediyor. sin37°=0,6, cos37°=0,8 olduğuna göre u kaç m/s’dir?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Cevabı Göster

K’nin yatay ve düşey hız bileşenleri sırasıyla 6cos53°=3,6 m/s ve 6sin53°=4,8 m/s‘dir. L’nin bileşenleri 8cos37°=6,4 m/s ve -8sin37°=-4,8 m/s‘dir. Düşey bileşenler birbirini götürür; yatay momentum korunumu özdeş kütleler için u=3,6+6,4=10 m/s verir. Ayrıca 6²+8²=10² olduğundan kinetik enerji korunumu sağlanır.

Cevap: C

Örnek - 17

Özdeş iki bilyeden K, durmakta olan L’ye u süratiyle çarpıyor. Esnek çarpışmadan sonra K’nin sürati u/2 olduğuna göre K ile L’nin hız vektörleri arasındaki açı ve L’nin sürati nedir?

A) 60° ve u/2

B) 90° ve u/2

C) 90° ve √3u/2

D) 120° ve √3u/2

E) 180° ve u

Cevabı Göster

Eşit kütle ve duran hedef koşulunda esnek çarpışma sonrası hız vektörleri diktir. Enerji korunumu u²=(u/2)²+v_L² biçimindedir. Buradan v_L²=3u²/4 ve v_L=√3u/2 bulunur. Açı 90°’dir.

Cevap: C

Esnek Olmayan Çarpışmalar ve Bileşik Sistemler

Esnek Olmayan ve Tamamen Esnek Olmayan Çarpışmalar

Esnek olmayan çarpışmalarda yalıtılmış sistemin toplam momentumu korunur; toplam kinetik enerji korunmaz. Kinetik enerjideki azalma ısı, ses ve kalıcı deformasyon gibi iç enerji türlerine dönüşür. Tamamen esnek olmayan çarpışma, cisimlerin çarpışma sonrasında kenetlenerek ortak hızla hareket ettiği özel durumdur. Her esnek olmayan çarpışmada cisimlerin yapışması gerekmez.

Bir boyutlu tamamen esnek olmayan çarpışmada ortak hız V=(m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂) bağıntısıyla bulunur. İki boyutta aynı işlem x ve y bileşenlerine ayrı uygulanır. Kinetik enerji kaybı, çarpışma öncesi ve sonrası toplam kinetik enerjilerin farkıdır.

Örnek - 18

2 kg kütleli K cismi doğuya 6 m/s, 1 kg kütleli L cismi kuzeye 9 m/s hızla hareket ederken çarpışıp kenetleniyor. Ortak hızın büyüklüğü, yönü ve çarpışmada azalan kinetik enerji nedir?

A) 3 m/s, 53° kuzeydoğu, 30 J

B) 4 m/s, 37° kuzeydoğu, 36 J

C) 5 m/s, 37° kuzeydoğu, 39 J

D) 5 m/s, 53° kuzeydoğu, 42 J

E) 7 m/s, 37° kuzeydoğu, 39 J

Cevabı Göster

Toplam momentum p=12i+9j kg·m/s, toplam kütle 3 kg’dır. Ortak hız V=4i+3j m/s; büyüklüğü 5 m/s ve yönü doğunun 37° kuzeyidir. İlk kinetik enerji ½·2·6²+½·1·9²=76,5 J, son kinetik enerji ½·3·5²=37,5 J‘dır. Azalma 76,5−37,5=39 J olur.

Cevap: C

Balistik Sarkaç ve Çok Aşamalı Düzenekler

Çarpışma ile enerji dönüşümünün art arda gerçekleştiği düzeneklerde süreç aşamalara ayrılır. Balistik sarkaçta mermi bloğa saplanırken çarpışma tamamen esnek değildir; bu kısa aşamada yatay momentum korunur, mekanik enerji korunmaz. Mermi-blok sistemi birlikte yükselirken gerilme iş yapmaz ve hava direnci ihmal edilirse mekanik enerji korunur.

Örnek - 19

0,020 kg kütleli mermi, iplerle asılı duran 1,98 kg kütleli bloğa yatay olarak saplanıyor. Birleşik sistem çarpışmadan sonra en fazla 0,20 m yükseldiğine göre merminin çarpışma öncesi sürati kaç m/s’dir? g=10 m/s².

A) 100

B) 150

C) 200

D) 250

E) 400

Cevabı Göster

Yükselme aşamasında mekanik enerji korunur: ½(M+m)V²=(M+m)gh. Buradan V=√(2gh)=√(2·10·0,20)=2 m/s bulunur. Çarpışma aşamasında yatay momentum korunur: 0,020·v=(1,98+0,020)·2. Böylece v=200 m/s elde edilir.

Cevap: C

Örnek - 20

Sürtünmesiz yatay düzlemde 1 kg kütleli K bloğu 10 m/s süratle ilerleyerek durmakta olan 3 kg kütleli L bloğuna çarpıp kenetleniyor. Birleşik bloklar daha sonra yay sabiti 300 N/m olan yayı sıkıştırdığına göre yayın en büyük sıkışması kaç metredir?

A) 1/(2√3)

B) 1/3

C) √3/4

D) 1/2

E) √3/2

Cevabı Göster

Çarpışma aşamasında momentum korunur: 1·10=(1+3)V; ortak hız V=2,5 m/s‘dir. Çarpışmada mekanik enerji korunmaz. Çarpışmadan sonra yay sıkışırken mekanik enerji korunur: ½·4·(2,5)²=½·300·x². 12,5=150x² eşitliğinden x²=1/12 ve x=1/(2√3) m bulunur.

Cevap: A