AYT yatay ve eğik atış konu anlatımı kapsamında hava direncinin ihmal edildiği iki boyutlu hareketlerde hız bileşenleri, yörünge, uçuş süresi, menzil, maksimum yükseklik ve farklı seviyeler arasındaki atışlar işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
İki Boyutlu Atış Hareketinin Ortak Modeli
Atış hareketi, cismin yatay ve düşey doğrultulardaki hareketlerinin aynı zaman aralığında birlikte gerçekleşmesidir. Hava direnci ihmal edildiğinde cisme yalnız ağırlık kuvveti etki eder. Bu nedenle yatay ivme ax=0, düşey ivme ise yukarı yönün pozitif seçildiği eksende ay=-g‘dir. Cismin kütlesi, yatay ve düşey ivmeleri değiştirmez.
Konum ve hız bileşenleri birbirinden bağımsız hesaplanır; iki hareketi birbirine bağlayan büyüklük zamandır. Herhangi bir t anında x=v0xt, y=v0yt-½gt², vx=v0x ve vy=v0y-gt bağıntıları geçerlidir. Bileşke sürat v=√(vx²+vy²) ile bulunur.
Yatay ve düşey hareketler bağımsızdır; ancak uçuş süreleri ortaktır. Yatay ilk hızın değiştirilmesi, aynı başlangıç yüksekliğindeki yatay atışın düşme süresini değiştirmez. Düşey ilk hızın değiştirilmesi ise uçuş süresini ve buna bağlı olarak yatayda alınan yolu değiştirebilir.
Hız, İvme ve Net Kuvvet Vektörleri
Hız vektörü yörüngeye teğettir. İvme ve net kuvvet vektörleri hareket boyunca düşey aşağı yönlüdür. Tepe noktasında düşey hız sıfır olsa da yatay hız korunur; dolayısıyla cismin toplam hızı sıfır olmaz. Aynı noktada ivme g, net kuvvet mg büyüklüğündedir.
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda yatay atılan bir cisim, yörüngesinin P noktasından geçmektedir.
I. Cismin yatay hız bileşeni atılış anındaki değerini korur.
II. P noktasında ivme ile net kuvvet aynı yönlüdür.
III. P noktasında hız vektörü ile ivme vektörü arasındaki açı 90°’den küçüktür.
Yargılarından hangileri doğrudur?
Yatay Atış
Belirli bir yükseklikten yere paralel v0 hızıyla fırlatılan cisim yatay atış yapar. Atılış anında v0x=v0 ve v0y=0‘dır. Yatay doğrultuda sabit hızlı hareket, düşey doğrultuda ilk hızsız serbest düşme gerçekleşir.
h yüksekliğinden atılan cismin uçuş süresi t=√(2h/g), yatay menzili x=v0√(2h/g)‘dir. Uçuş süresi yalnız h ve g’ye; menzil ise bunlara ek olarak yatay ilk hıza bağlıdır.
Yerden 80 m yüksekteki bir noktadan 15 m/s yatay hızla atılan cisim yere ulaşıyor. Cismin yatayda aldığı yol ve yere çarpma sürati sırasıyla kaçtır? (g=10 m/s²)
Eşit Zaman Aralıkları ve Hızın Yönü
Yatay hız sabit olduğundan eşit zaman aralıklarında alınan yatay yollar eşittir. İlk hızsız düşey harekette başlangıçtan itibaren düşey yer değiştirmeler t, 2t ve 3t anlarında h, 4h ve 9h; ardışık aralıklarda alınan düşey yollar ise h, 3h ve 5h olur. Aynı anlarda düşey hız büyüklükleri gt, 2gt ve 3gt’dir.
Yatay atılan cismin 2t ve 3t anlarındaki hız vektörlerinin yatayla yaptığı dar açılar sırasıyla θ2 ve θ3‘tür.
tanθ3tanθ2 oranı kaçtır?
Çarpma Hızı ve Çarpma Açısı
Cismin yere çarpma anındaki yatay hız bileşeni v0, düşey hız büyüklüğü gt’dir. Hız vektörünün yatayla yaptığı θ açısı tanθ=vy/vx=gt/v0 bağıntısıyla belirlenir. Aynı yükseklikten daha büyük yatay hızla atılan cismin düşey çarpma bileşeni değişmez; toplam sürati artar ve çarpma açısı küçülür.
45 m yükseklikten 20 m/s yatay hızla atılan cismin yere çarpma hızının yatayla yaptığı dar açı θ’dır. tanθ kaçtır? (g=10 m/s²)
Farklı Yüksekliklerden Yatay Atış
Farklı yüksekliklerden atılan cisimlerin uçuş süreleri yüksekliklerin karekökleriyle orantılıdır. Aynı yatay noktaya düşme koşulunda vKtK=vLtL yazılır. Daha yüksekten atılan cismin uçuş süresi daha uzun olduğundan aynı menzil için daha küçük yatay hız yeterlidir.
K ve L cisimleri yerden sırasıyla 9h ve 4h yüksekliklerinden yatay vK ve vL hızlarıyla atılıp aynı P noktasına düşmektedir.
vK/vL oranı kaçtır?
Yörünge Denklemi ve Eğik Düzleme Çarpma
Yatay atışta x=v0t ve düşey yönde h=½gt² bağıntılarından zaman yok edilirse h=gx²/(2v0²) elde edilir. Bu bağıntı yörüngenin parabol olduğunu gösterir. Cisim eğik bir yüzeye çarpıyorsa parabol denklemi ile yüzeyin doğru denklemi birlikte çözülür.
K noktasından 20 m/s yatay hızla atılan cisim, K’den başlayan ve yatayla 45° açı yapan eğik düzleme L noktasında çarpıyor.
KL uzaklığı kaç metredir? (g=10 m/s²)
Yatay Atış Grafikleri
Yukarı yön pozitif seçildiğinde vx-t grafiği v0 değerinde yatay, vy-t grafiği eğimi -g olan doğrudur. ax=0 ve ay=-g sabittir. x-t grafiği doğrusal artarken y-t grafiği başlangıçta yatay teğetli ve aşağı yönlü açılan bir paraboldür.
Yatay atılan bir cismin hareketi boyunca vx=20 m/s, vy=-10t m/s’dir. Cisim t=4 s anında yere ulaşıyor.
I. Yatayda 80 m yol almıştır.
II. Atış noktasına göre 80 m aşağıdadır.
III. Çarpma sürati 20√5 m/s’dir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
K noktasından yatay atılan cisim t anında L, 2t anında M noktasından geçmektedir. Cismin yatay ilk hızı v0=gt’dir.
KL ve LM aralıklarındaki ortalama hız büyüklükleri sırasıyla vKL ve vLM olduğuna göre vKLvLM oranı kaçtır?
Yukarı Yönlü Eğik Atış
Yatayla α açısı yapacak biçimde v0 hızıyla atılan cismin ilk hız bileşenleri v0x=v0cosα ve v0y=v0sinα‘dır. Yatay hız hareket boyunca sabit kalır. Düşey hız çıkışta azalır, tepe noktasında sıfır olur ve inişte aşağı yönlü büyür.
Atış noktası başlangıç kabul edildiğinde hareket denklemleri x=v0cosα·t ve y=v0sinα·t-½gt²‘dir. Zaman yok edilirse yörünge denklemi aşağıdaki biçimi alır:
y=x·tanα-g·x²2v0²cos²α
Bir cismin yörünge denklemi SI birim sisteminde y=x-x²/80 biçimindedir. g=10 m/s² olduğuna göre cismin atış noktasına göre maksimum yüksekliği kaç metredir?
Yerden 50 m/s hızla ve yatayla 37° açı yapacak biçimde atılan cisim, 4 s sonra P noktasından geçmektedir.
P noktasının yerden yüksekliği ve cismin P’deki sürati sırasıyla kaçtır? (g=10 m/s², sin37°=0,6, cos37°=0,8)
Tepe Noktası ve Aynı Yükseklik Simetrisi
Tepe noktasında vy=0 olduğundan tepeye çıkış süresi tç=v0y/g, atış düzlemine göre maksimum yükseklik H=v0y²/(2g)‘dir. Hava direnci yoksa aynı yüksekliğin çıkış ve iniş geçişlerinde yatay hızlar eşit, düşey hızlar eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Toplam süratlar da eşittir.
Eğik atılan bir cismin çıkış kolundaki K noktasında düşey hız bileşeni +20 m/s, iniş kolundaki L noktasında -10 m/s’dir. Yatay hız bileşeni hareket boyunca 30 m/s olduğuna göre K ile L arasındaki yatay uzaklık kaç metredir? (g=10 m/s²)
Uçuş Süresi, Menzil ve Maksimum Yükseklik
Cisim atıldığı yatay düzleme geri dönüyorsa iniş süresi çıkış süresine eşittir. Toplam uçuş süresi tu=2v0sinα/g, menzil R=v0²sin2α/g, maksimum yükseklik H=v0²sin²α/(2g)‘dir. Bu bağıntılardan R/H=4cotα sonucu elde edilir.
Yerden yukarı yönlü eğik atılan bir cismin menzili, maksimum yüksekliğinin 3 katıdır. Atış açısı α için sinα kaçtır? (0°<α<90°)
Tamamlayıcı Açılar ve En Büyük Menzil
Aynı noktadan eşit hızlarla atılan cisimler için menzil sin2α ile değişir. α ve 90°-α açıları aynı sin2α değerini verdiğinden menzilleri eşittir. 0° ile 90° arasında sin2α’nın en büyük değeri 1 olduğundan en büyük menzil 45° atışta elde edilir. Tamamlayıcı açılarda menziller eşit olsa da uçuş süreleri ve maksimum yükseklikler eşit değildir.
Aynı noktadan aynı v hızıyla 30° ve 60° açılarla atılan K ve L cisimleri aynı yatay düzleme düşmektedir.
I. Menzilleri eşittir.
II. L’nin uçuş süresi K’ninkinin √3 katıdır.
III. L’nin maksimum yüksekliği K’ninkinin 3 katıdır.
Yargılarından hangileri doğrudur?
Aynı noktadan v hızıyla 30° açıyla atılan K cismi ile u hızıyla 45° açıyla atılan L cisminin menzilleri eşittir. u²/v² oranı kaçtır?
Eğik Atış Grafikleri
Aynı düzleme dönen eğik atışta vx sabit, vy doğrusal değişir. vy-t grafiği tepe anında zaman eksenini keser ve uçuş sonunda başlangıç değerinin ters işaretlisine ulaşır. y-t grafiği başlangıç ve bitişte sıfır, tepe anında maksimum değer alan aşağı açılan paraboldür.
Aynı düzleme dönen bir eğik atışta vx=40 m/s ve vy=30-10t m/s’dir.
I. Cisim 6 s havada kalır.
II. t=1 s ve t=5 s anlarında aynı yüksekliktedir.
III. Bu iki an arasındaki yatay uzaklık 160 m’dir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
Farklı Seviyeler Arasında Eğik Atış
Cisim atıldığı düzlemden farklı bir düzleme düşüyorsa çıkış ve iniş süreleri eşit değildir; aynı düzleme dönüş için kullanılan hazır uçuş süresi ve menzil bağıntıları doğrudan uygulanamaz. Atış noktası y=0 seçildiğinde hedef düzlemin düşey koordinatı konum denklemine işaretiyle yerleştirilir. Uçuş süresi y=v0yt-½gt² denkleminden bulunan pozitif köktür.
Yüksekten Yukarı Yönlü Eğik Atış
Yerden h yüksekteki bir noktadan yukarı yönlü eğik atışta yer düzlemi, atış noktasına göre y=-h koordinatındadır. Cisim önce atış düzleminin üzerine çıkar, sonra bu düzlemi aşağı yönlü geçerek yere ulaşır. Çarpma sürati bileşenlerden bulunabileceği gibi enerji korunumu kullanılarak v²=v0²+2gh bağıntısıyla da hesaplanabilir.
Yerden 60 m yüksekteki K noktasından 25 m/s hızla ve yatayla 53° açı yapacak biçimde yukarı yönlü atılan cisim, yerdeki L noktasına düşmektedir.
Cismin yatayda aldığı yol ve yere çarpma sürati sırasıyla kaçtır? (g=10 m/s², sin53°=0,8, cos53°=0,6)
Aşağı Yönlü Eğik Atış
Yatayın altına α açısıyla yapılan atışta yatay hız bileşeni v0cosα, aşağı yönlü ilk hız bileşeni v0sinα’dır. Aşağı yön pozitif seçilirse düşey yer değiştirme h=v0sinα·t+½gt², düşey hız büyüklüğü vy=v0sinα+gt olur.
Yerden 60 m yüksekteki K noktasından 25 m/s hızla, yatayın altına doğru 53° açıyla atılan cisim L noktasında yere çarpıyor.
Cismin yatayda aldığı yol ve çarpma sürati sırasıyla kaçtır? (g=10 m/s², sin53°=0,8, cos53°=0,6)
Düşey Hedef ve Engel Soruları
Düşey bir hedefin yatay uzaklığı verildiğinde hedefe ulaşma süresi yatay hareketten t=x/v0x ile bulunur. Bu süre düşey konum denkleminde kullanılarak çarpma yüksekliği belirlenir. Hesaplanan yüksekliğin hedefin fiziksel sınırları içinde olup olmadığı ayrıca kontrol edilir.
K noktasından 50 m/s hızla ve yatayla 53° açı yapacak biçimde atılan cisim, K’den yatayda 160 m uzaktaki düşey duvarın L noktasına çarpıyor. Duvarın tabanı M’dir.
LM uzaklığı kaç metredir? (g=10 m/s², sin53°=0,8, cos53°=0,6)
Atış Hareketinin Diğer Mekanik Konularla Birleşimi
Atış hareketi bir yay, çarpışma veya hareketli araç tarafından başlatılabilir. Atış anına kadar enerji ya da momentum bağıntıları; cisim serbest kaldıktan sonra ise atış denklemleri kullanılır. Evreler arasındaki ortak büyüklük, cismin ayrılma anındaki hızıdır.
Yay Enerjisiyle Yatay Atış
Sürtünmesiz düzlemde sıkıştırılan yayın esneklik potansiyel enerjisi cismin kinetik enerjisine dönüşür: ½kx²=½mv². Buradan ayrılma hızı v=x√(k/m)‘dir. Masa yüksekliği h ise yatay menzil R=x√(k/m)·√(2h/g) olur.
Esneklik katsayısı k olan yay x kadar sıkıştırılıp önündeki m kütleli cisim serbest bırakıldığında cisim, yüksekliği h olan masanın kenarından yatay ayrılarak R noktasına düşüyor.
Cismin yatay menzilini iki katına çıkarmak için;
I. yayı 2x kadar sıkıştırmak,
II. cismin kütlesini m/4 yapmak,
III. masa yüksekliğini 4h yapmak
işlemlerinden hangileri tek başına uygulanabilir?
Düşey Duvarla Esnek Çarpışma
Pürüzsüz düşey duvara tam esnek çarpan cismin yatay hız bileşeni büyüklüğünü koruyup yön değiştirir. Düşey hız bileşeni ve düşey hareket çarpışmadan etkilenmez. Bu nedenle toplam uçuş süresi yalnız başlangıç yüksekliğiyle belirlenmeye devam eder.
Yerden 45 m yüksekteki K noktasından 10 m/s yatay hızla atılan top, yatayda 20 m uzaktaki pürüzsüz düşey duvara tam esnek çarpıp L noktasında yere düşüyor.
Duvar ile L noktası arasındaki yatay uzaklık kaç metredir? (g=10 m/s²)
Hareketli Araçtan Bırakılan Cisim
Yatay hareket eden uçaktan veya araçtan serbest bırakılan cismin bırakılma anındaki yatay hızı, aracın o andaki yere göre hızına eşittir. Temas kesildikten sonra aracın hız ya da ivmesindeki değişiklik pakete aktarılmaz. Paket yatay atış yaparken araç kendi hareket denklemlerine göre ilerler.
Yerden 125 m yüksekte 40 m/s sabit yatay hızla uçan bir uçak, taşıdığı paketi serbest bırakıyor. Aynı anda uçak yatay doğrultuda 2 m/s² sabit ivmeyle hızlanmaya başlıyor.
Paket yere ulaştığı anda uçak ile paket arasındaki yatay uzaklık kaç metredir? (Hava direnci önemsizdir, g=10 m/s².)
Önceki Konu: Serbest Düşme ve Düşey Atış
Sonraki Konu: İş, Güç, Enerji ve Enerjinin Korunumu