AYT bir boyutta sabit ivmeli hareket konu anlatımı kapsamında doğrultu ve işaret seçimi, hareket denklemleri, konum–zaman, hız–zaman ve ivme–zaman grafikleri, yön değiştirme, frenleme ve karşılaşma problemleri işlenecektir. AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
Doğrultu, Referans Noktası ve İşaret Seçimi
Bir boyutta sabit ivmeli hareket, hızın eşit zaman aralıklarında eşit miktarda değiştiği doğrusal harekettir. Bu konuda yalnız formül kullanmak yetmez; seçilen pozitif yön, hız ile ivmenin işaretleri, grafik alanlarının işareti ve cismin yön değiştirip değiştirmediği birlikte izlenmelidir. Aksi belirtilmedikçe hareket tek bir doğrultuda ve ivme ilgili zaman aralığında sabittir.
Konum x, seçilen başlangıç noktasına göre tanımlanır. Yer değiştirme Δx=x−x0 vektörel; alınan yol ise hareket boyunca kat edilen uzunlukların toplamı olan skaler bir büyüklüktür. Aynı hareket için başlangıç noktası değişirse x ve x0 değişebilir; fakat Δx değişmez.
Doğrultunun bir yönü pozitif seçildiğinde hızın işareti hareket yönünü, ivmenin işareti ise hızın hangi yönde değiştiğini gösterir. a<0 tek başına “cisim yavaşlıyor” demek değildir. Cisim ancak v ile a zıt işaretliyse yavaşlar; aynı işaretliyse sürati artar.
Dikkat
Hızın sıfır olduğu bir anda ivme sıfır olmak zorunda değildir. Sabit ivmeli bir cisim yön değiştirirken bir an durabilir; o anda v=0 iken a sabit ve sıfırdan farklıdır.
İşaret ve Yön Yorumu
Örnek - 1
Bir cismin bir andaki hızı −12 m/s, sabit ivmesi +3 m/s²’dir.
I. Cisim o anda negatif yönde hareket etmektedir.
II. Cismin sürati azalmaktadır.
III. Hareket koşulları değişmezse cisim 4 s sonra yön değiştirir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
v<0 olduğu için hareket yönü negatiftir. a>0 olduğundan ivme hızla zıt yönlüdür ve sürat azalır. v=v0+at bağıntısında 0=−12+3t yazılırsa t=4 s bulunur. Hız bu anda sıfır olur; ardından pozitif değer alacağı için cisim yön değiştirir.
Cevap: E
Sabit İvmenin Fiziksel Anlamı
Ortalama ivme, hız değişiminin zaman aralığına oranıdır: a=Δv/Δt. İvme sabitse bu oran her eşit zaman aralığında aynıdır. Bu nedenle hız–zaman grafiği doğrusal olur. Net kuvvet sabitse ve kütle değişmiyorsa Newton’ın ikinci yasasına göre ivme de sabittir.
Duruştan sabit ivmeyle hareket eden bir cisim için eşit zaman aralıklarındaki hızlar 0, v, 2v, 3v biçiminde artarken ardışık yer değiştirmeler 1:3:5 oranını izler. Başlangıçtan itibaren toplam yer değiştirmeler ise 1:4:9 oranındadır.
Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket Denklemleri
Başlangıç anı t=0, başlangıç konumu x0, başlangıç hızı v0 ve sabit ivme a olmak üzere temel bağıntılar şunlardır:
Hız–zamanv=v0+at
Konum–zamanx=x0+v0t+½at²
Zamansız bağıntıv²=v0²+2aΔx
Ortalama hızvort=(v0+v)/2
Son bağıntı yalnız ivmenin sabit olduğu zaman aralığında kullanılabilir. Yer değiştirme de Δx=vort·t ile bulunur. Denklemde kullanılan Δx işaretlidir; yön değişimi varsa toplam yol için hareket iki parçaya ayrılmalıdır.
Denklem Seçimi ve Yön Değişimi
Örnek - 2
x0=−20 m konumundaki bir cisim +14 m/s ilk hızla harekete başlayıp −2 m/s² sabit ivmeyle hareket ediyor. Cismin ulaşacağı en büyük konum ile başlangıç konumuna ilk kez dönene kadar aldığı yol sırasıyla kaç metredir?
A) 29 ve 49
B) 29 ve 78
C) 49 ve 78
D) 29 ve 98
E) 49 ve 98
Yön değiştirme anında v=0’dır. 0=14−2t eşitliğinden t=7 s bulunur. Bu andaki konum x=−20+14·7−7²=29 m’dir. Cisim başlangıç noktasından 49 m ileri gitmiştir. Başlangıç konumuna dönerken aynı 49 m’yi geri aldığı için toplam yol 98 m olur. İkinci kök doğrudan Δx=14t−t²=0 eşitliğinden t=14 s olarak da bulunabilir.
Cevap: D
Örnek - 3
Pozitif yönde sabit ivmeyle hareket eden bir cisim ilk 3 saniyede 18 m, sonraki 3 saniyede 45 m yer değiştiriyor. Cismin 6. saniye sonundaki hızı kaç m/s’dir?
A) 12
B) 15
C) 19,5
D) 21
E) 24
Eşit uzunluktaki ardışık iki zaman aralığının yer değiştirme farkı aT²’dir. T=3 s olduğundan 45−18=9a ve a=3 m/s² bulunur. İlk aralık için 18=3v0+½·3·3² yazılır; v0=1,5 m/s çıkar. Böylece v(6)=1,5+3·6=19,5 m/s olur.
Cevap: C
Konum–Zaman, Hız–Zaman ve İvme–Zaman Grafikleri
Konum–zaman grafiğinin bir andaki eğimi anlık hızı verir. Eğimin işareti hareket yönünü, eğimin büyüklüğünün artıp azalması ise süratin değişimini gösterir. Sabit ivmede x–t grafiği paraboldür. Eğrinin yatay teğetli tepe veya çukur noktası v=0 anıdır ve çoğu durumda yön değişimini gösterir.
Hız–zaman grafiğinin eğimi ivmedir. Grafiğin zaman ekseniyle arasında kalan işaretli alan yer değiştirmeyi; alanların büyüklükleri toplamı alınan yolu verir. İvme–zaman grafiğinin zaman ekseniyle arasındaki işaretli alan ise hız değişimidir. İvme grafiği tek başına hareket yönünü söylemez; ilk hız bilgisi gerekir.
Konum–Zaman Grafiğinde Eğim ve Kıvrım
Örnek - 4
Bir cismin konum–zaman grafiği aşağıda verilmiştir. Hız ve ivme vektörlerinin zıt yönlü olduğu zaman aralıkları hangileridir?
A) Yalnız 0–1 s
B) 0–1 s ve 2–3 s
C) 1–2 s ve 3–4 s
D) 1–2 s ve 2–3 s
E) 0–1 s ve 3–4 s
0–1 s aralığında eğim negatiftir ve daha negatif hâle gelir; v<0, a<0 olduğundan cisim hızlanır. 1–2 s’de eğim negatifken sıfıra yaklaşır; v<0, a>0 ve cisim yavaşlar. 2–3 s’de v>0, a>0; 3–4 s’de ise v>0, a<0’dır. Bu nedenle zıt yönlülük 1–2 s ve 3–4 s aralıklarında görülür.
Cevap: C
Hız–Zaman Grafiğinde Yol ve Yer Değiştirme
Örnek - 5
Bir cismin hız–zaman grafiği şekildeki gibidir.
I. 0–9 s aralığındaki yer değiştirme +3 m’dir.
II. Aynı aralıkta alınan yol 33 m’dir.
III. Cisim 2. ve 7. saniyelerde yön değiştirmiştir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
Pozitif alanlar 0–2 s’de 12 m ve 7–9 s’de 6 m’dir. Negatif alanların büyüklükleri 2–5 s’de 9 m, 5–7 s’de 6 m’dir. İşaretli toplam Δx=12−9−6+6=3 m; toplam yol 12+9+6+6=33 m olur. Hız işaretinin değiştiği 2 ve 7 s anlarında cisim yön değiştirir.
Cevap: E
İvme–Zaman Grafiğinden Harekete Geçiş
Örnek - 6
İlk hızı −4 m/s olan cismin ivme–zaman grafiği aşağıdaki gibidir. Cismin 8. saniye sonundaki hızı ve 0–8 s aralığında aldığı yol kaçtır?
A) −2 m/s ve 14 m
B) −2 m/s ve 18 m
C) 0 ve 18 m
D) 2 m/s ve 20 m
E) 4 m/s ve 22 m
Hız değişimleri sırasıyla +4·2=+8, −2·4=−8 ve +1·2=+2 m/s’dir. Son hız −4+8−8+2=−2 m/s olur. Yol için hızın sıfır olduğu anlar bulunmalıdır: ilk evrede t=1 s, ikinci evrede t=4 s’de yön değişir. Hız–zaman alanlarının büyüklükleri 2+2+4+4+6=18 m’dir.
Cevap: B
Aynı Doğrultuda İki Hareketlinin Karşılaşması
İki hareketli aynı konumdan başlasa bile hız–zaman grafiklerinin kesişmesi yalnız o anda hızlarının eşit olduğunu gösterir. Yeniden buluşma için aynı başlangıç anından itibaren yer değiştirmelerin, yani hız–zaman alanlarının eşit olması gerekir. Başlangıç konumları farklıysa xK(t)=xL(t) denklemi kurulur.
Örnek - 7
Doğrusal yolda t=0 anında aynı konumdan geçen K ve L araçlarının hız–zaman grafikleri şekildeki gibidir. Araçlar ilk kez kaç saniye sonra ve başlangıç noktasından kaç metre uzakta yeniden yan yana gelir?
A) 4 s, 32 m
B) 4 s, 48 m
C) 6 s, 48 m
D) 8 s, 64 m
E) 8 s, 80 m
Grafikten K için vK=2t, L için vL=12−t yazılır. Konum değişimleri K için t², L için 12t−t²/2’dir. Eşitlik t²=12t−t²/2 olduğunda t=0 dışında t=8 s bulunur. Ortak konum değişimi 8²=64 m’dir. t=4 s’de yalnız hızlar eşittir; araçlar o anda yan yana değildir.
Cevap: D
Parçalı Hareket, Tepki ve Frenleme
İvme farklı zaman aralıklarında farklı sabit değerler alıyorsa hareket her aralıkta ayrı incelenir. Bir evrenin son hızı ve son konumu, sonraki evrenin başlangıç değerleridir. Hız süreklidir; fakat kuvvet değiştiğinde ivme bir anda değişebilir.
Trafikte durma hareketi iki evreden oluşur. Tepki süresinde sürücü henüz fren yapmadığından araç yaklaşık sabit hızla gider. Frenleme evresinde hız sabit negatif ivmeyle azalır. Toplam durma yolu, tepki yolu ile fren yolunun toplamıdır.
Örnek - 8
25 m/s hızla giden bir aracın sürücüsü 80 m ilerideki engeli görüyor. Tepki süresi 0,8 s, frenleme ivmesi −5 m/s² olduğuna göre araç engele çarpar mı; çarparsa çarpma hızı kaç m/s olur?
A) Çarpmaz; 2,5 m önce durur
B) Çarpar; 5 m/s
C) Çarpar; 10 m/s
D) Çarpar; 15 m/s
E) Çarpmaz; engelde durur
Tepki yolu 25·0,8=20 m’dir; fren için 60 m kalır. Fren sırasında v²=v0²+2aΔx bağıntısından v²=25²+2·(−5)·60=25 bulunur. v=5 m/s olduğundan araç duramadan engele çarpar. Tam fren yolu 62,5 m, toplam durma yolu 82,5 m olacaktı.
Cevap: B
Örnek - 9
Bir aracın hız–zaman grafiği şekildeki gibidir. 0–16 s aralığındaki yer değiştirme, alınan yol ve yön değiştirme anı sırasıyla hangisidir?
A) 108 m, 120 m, 10 s
B) 108 m, 126 m, 14 s
C) 114 m, 120 m, 14 s
D) 120 m, 126 m, 16 s
E) 114 m, 126 m, 14 s
0–4 s alanı 24 m, 4–10 s alanı 72 m’dir. 10–14 s arasında hız pozitiftir ve alan 24 m; 14–16 s arasında hız negatiftir ve alanın büyüklüğü 6 m’dir. Yer değiştirme 24+72+24−6=114 m, yol 24+72+24+6=126 m olur. Hızın işaret değiştirdiği an 14 s’dir.
Cevap: E
Örnek - 10
Sabit ivmeli bir cismin konum değerleri tabloda verilmiştir.
t (s)
0
2
4
x (m)
5
17
45
Buna göre cismin 6. saniyedeki konumu kaç metredir?
A) 69
B) 77
C) 89
D) 93
E) 101
x=5+v0t+½at² yazılır. t=2 için 2v0+2a=12; t=4 için 4v0+8a=40 olur. İlk denklemin iki katı ikinciden çıkarılırsa a=4 m/s², ardından v0=2 m/s bulunur. x(6)=5+2·6+½·4·36=89 m’dir.
Cevap: C
Yön Değiştirme, Ortalama Hız ve Ortalama Sürat
Ortalama hız toplam yer değiştirme/toplam zaman, ortalama sürat ise toplam yol/toplam zaman ile bulunur. Cisim yön değiştirmiyorsa yol ile yer değiştirme büyüklüğü eşittir ve iki ortalama değerin büyüklükleri aynı çıkar. Yön değiştirme varsa hareket, hızın sıfır olduğu anlardan parçalanmalıdır.
Örnek - 11
İlk hızı −18 m/s, sabit ivmesi +6 m/s² olan bir cismin ilk 5 saniyedeki ortalama hızı ve ortalama sürati sırasıyla kaç m/s’dir?
A) −3 ve 7,8
B) −3 ve 9
C) 3 ve 7,8
D) 3 ve 9
E) 7,8 ve 3
Beş saniyedeki yer değiştirme Δx=−18·5+½·6·25=−15 m’dir; ortalama hız −15/5=−3 m/s olur. Cisim v=0 için −18+6t=0 eşitliğinden 3 s’de yön değiştirir. İlk bölümde 27 m, sonraki 2 s’de 12 m yol alır. Toplam yol 39 m ve ortalama sürat 39/5=7,8 m/s’dir.
Cevap: A
Örnek - 12
Pozitif yönde sabit ivmeli hareket eden bir cismin x=0 konumundaki hızı 6 m/s, x=8 m konumundaki hızı 10 m/s’dir. Cisim x=8 m konumundan geçtikten sonraki 3 saniyede kaç metre yer değiştirir?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 48
E) 54
İlk iki konum arasında zamansız bağıntı kullanılır: 10²=6²+2a·8. Buradan a=4 m/s² bulunur. x=8 m’den sonraki 3 s için başlangıç hızı 10 m/s’dir. Δx=10·3+½·4·3²=30+18=48 m olur.
Cevap: D
Grafikler Arasında Geçiş
Bir grafik türünden diğerine geçerken şekil ezberlemek yerine fiziksel bağ izlenir. x–t grafiğinin eğimi v’yi, v–t grafiğinin eğimi a’yı verir. Sabit pozitif ivmede v–t doğrusu artan, sabit negatif ivmede azalandır. x–t grafiğinin yukarı kıvrımlı olması a>0; aşağı kıvrımlı olması a<0 anlamına gelir. Ancak grafiğin yükselmesi yalnız v>0, alçalması v<0 bilgisini verir.
Örnek - 13
Aynı sabit ivmeli harekete ait x–t, v–t ve a–t grafikleri aşağıda verilmiştir.
I. Cisim 2t anında yön değiştirir.
II. 0–4t aralığındaki yer değiştirme sıfırdır.
III. Cisim 4t anında başlangıç konumuna döner.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III
v–t doğrusu 2t’de zaman eksenini geçerek hızın işaretini değiştirdiği için I doğrudur. 0–2t arasındaki pozitif üçgen alanı ile 2t–4t arasındaki negatif üçgen alanı eşit büyüklüktedir; işaretli toplam sıfırdır. Bu da 4t anındaki konumun başlangıç konumuna eşit olduğunu gösterir. Üç yargı da doğrudur.
Cevap: E
Örnek - 14
İlk hızı +6 m/s olan cismin ivme–zaman grafiği şekildeki gibidir. Cismin 0–7 s aralığındaki yer değiştirmesi ile aldığı yol sırasıyla kaç metredir?
A) −12 ve 18
B) −9 ve 18
C) −9 ve 21
D) 9 ve 21
E) 12 ve 24
İlk evrede v=6−3t olur; t=2 s’de sıfırı geçer ve t=4 s’de −6 m/s’ye ulaşır. Bu evrede pozitif ve negatif hız alanları eşit olduğundan yer değiştirme sıfır, yol 6+6=12 m’dir. İkinci evrede hız −6’dan 0’a çıkar; yer değiştirme −9 m, yol 9 m’dir. Toplam yer değiştirme −9 m, toplam yol 21 m olur.
Cevap: C
Takip, Çarpışma ve Farklı İlk Konumlar
Takip sorularında araçlar arasındaki uzaklık ayrı bir hareket büyüklüğü gibi izlenebilir. Arkadaki aracın öndekine göre başlangıç hızı kapanma hızıdır. Arkadaki araç yavaşlarken göreli hız sıfıra ulaşmadan önce kapanan mesafe başlangıç aralığını aşmamalıdır. Bu yorum bağıl hareket fikrini kullanır; hesap yine her aracın konum denklemleriyle doğrulanabilir.
Örnek - 15
Aynı yönde hareket eden araçlardan L, 18 m/s sabit hızla giderken 45 m arkasındaki K aracı 30 m/s hızla frenlemeye başlıyor. K’nin L’ye çarpmaması için sabit yavaşlama ivmesinin büyüklüğü en az kaç m/s² olmalıdır?
A) 1,2
B) 1,6
C) 2
D) 2,4
E) 3,2
K’nin L’ye göre başlangıç hızı 30−18=12 m/s’dir. Çarpışma sınırında bu göreli hız, 45 m kapanma sonunda sıfır olur. 0=12²−2a·45 eşitliğinden a=144/90=1,6 m/s² bulunur. Daha küçük ivmede K, göreli hız sıfırlanmadan 45 m’yi kapatır ve L’ye çarpar.
Cevap: B
Örnek - 16
K ve L hareketlilerinin konum–zaman grafikleri aşağıda verilmiştir. K sabit hızlı, L ise duruştan sabit ivmeli hareket yaptığına göre ilk karşılaşmaları ne zaman ve hangi konumda olur?
A) 2 s, 8 m
B) 3 s, 6 m
C) 4 s, 0 m
D) 4 s, 4 m
E) 5 s, 0 m
Grafikten K için xK=20−4t, L için xL=−12+t² yazılır. Karşılaşmada konumlar eşittir: 20−4t=−12+t². t²+4t−32=0 denkleminin pozitif kökü t=4 s’dir. Ortak konum x=20−4·4=4 m olur. Grafiklerin kesişim noktası da aynı sonucu gösterir.
Cevap: D
Seçici AYT Uygulamaları
Örnek - 17
Bir cismin hız–zaman grafiği şekildeki gibidir. 0–9 s aralığındaki ortalama süratinin, ortalama hızının büyüklüğüne oranı kaçtır?
A) 1
B) 6/5
C) 4/3
D) 3/2
E) 5/3
Pozitif alanlar 0–3 s’de 18 m ve 3–7 s’de 24 m; negatif alanın büyüklüğü 7–9 s’de 6 m’dir. Toplam yol 48 m, yer değiştirme 42−6=36 m’dir. Zaman her iki ortalamada da aynı olduğundan oran doğrudan 48/36=4/3 olur.
Cevap: C
Örnek - 18
Başlangıçta durmakta olan K, L ve M cisimlerinin 0–2t aralığındaki ivme–zaman grafikleri verilmiştir. Son hızları vK, vL, vM; yer değiştirmeleri xK, xL, xM olduğuna göre hangisi doğrudur?
A) vK>vL>vM ve xK>xL>xM
B) vK=vL=vM ve xK=xL=xM
C) vL>vK>vM ve xL>xK>xM
D) vK=vL=vM ve xL>xK>xM
E) vK=vL=vM ve xM>xK>xL
Üç ivme grafiğinin alanı 2at olduğundan son hızlar eşittir. K için xK=½a(2t)²=2at²’dir. L ilk t’de x=at² alır ve 2at hıza ulaşır; sonraki t’de 2at² daha gider, toplam xL=3at² olur. M ilk t’de durur, ikinci t’de 2a ivmeyle xM=at² gider. Dolayısıyla xL>xK>xM.
Cevap: D
Örnek - 19
t=0 anında L aracı x=0 noktasından +8 m/s sabit hızla geçiyor. Aynı anda K aracı x=−32 m konumundan +4 m/s ilk hız ve +2 m/s² sabit ivmeyle harekete başlıyor. Araçlar ilk kez yan yana geldiğinde buluşma konumu ve K’nin hızı kaçtır?
A) 32 m ve 12 m/s
B) 40 m ve 14 m/s
C) 48 m ve 16 m/s
D) 56 m ve 18 m/s
E) 64 m ve 20 m/s
L için xL=8t, K için xK=−32+4t+t² yazılır. Eşitlik t²−4t−32=0 olur; pozitif kök t=8 s’dir. Buluşma konumu 8·8=64 m’dir. K’nin hızı vK=4+2·8=20 m/s olur.
Cevap: E
Örnek - 20
Bir cismin 0–3 s aralığındaki konum–zaman grafiği şekildeki gibidir. Bu aralıkta aldığı yolun, yer değiştirmesinin büyüklüğüne oranı kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
Cisim 2x konumundan 5x’e giderken 3x, 5x’ten −x’e giderken 6x, −x’ten 3x’e giderken 4x yol alır. Toplam yol 3x+6x+4x=13x’tir. Başlangıç 2x, son konum 3x olduğundan yer değiştirme +x ve büyüklüğü x’tir. Oran 13x/x=13 olur.
