AYT VEKTÖRLER

AYT vektörler konu anlatımı kapsamında skaler ve vektörel nicelikler, vektörlerin özellikleri, koordinat sisteminde gösterimi, toplama-çıkarma yöntemleri, bileşenlerine ayırma ve bileşke vektör hesabı işlenecektir.
AYT fizik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

Skaler ve Vektörel Nicelikler

Bir fiziksel niceliğin yalnız sayısal değeri ve birimiyle tam olarak tanımlanabilmesi, o niceliği skaler yapar. Kütle, zaman, enerji, sıcaklık, sürat ve güç skaler niceliklerdir. Vektörel niceliklerde ise büyüklüğün yanı sıra doğrultu ve yön de anlam taşır. Kuvvet, hız, ivme, yer değiştirme, momentum, elektrik alan ve manyetik alan bu gruptadır.

Vektörün Dört Temel Öğesi

Bir vektör, yönlendirilmiş doğru parçasıyla gösterilir. Başlangıç noktası vektörün uygulandığı yeri, bitiş noktası okun yöneldiği tarafı, doğrultu vektörün üzerinde bulunduğu sonsuz doğruyu, yön ise bu doğru üzerindeki iki olasılıktan birini belirtir. Okun ölçekli uzunluğu vektörün büyüklüğünü temsil eder.

Görselde K vektörü A noktasından B noktasına, yatay doğrultuda +x yönünde ve 4 birim büyüklükte çizilmiştir. K ile L aynı büyüklük ve yönde; M, K ile eşit büyüklükte ters yönde; N ise K ile aynı yönde iki kat büyüklüktedir.

Eşit, Zıt ve Skaler Kat Vektörler

İki vektörün eşit olması için büyüklükleri ve yönleri aynı olmalıdır; başlangıç noktalarının aynı olması gerekmez. Zıt vektörler eşit büyüklükte, aynı doğrultuda ve ters yöndedir. Bir vektör pozitif skalerle çarpıldığında yönü korunur, negatif skalerle çarpıldığında yönü ters döner; büyüklük skalerin mutlak değeriyle çarpılır.

Örnek - 1

Bir sporcu çembersel bir parkuru sabit süratle bir tur dönerek başladığı noktaya geliyor. Bu hareket süresince;

I. Ortalama sürati sıfırdan büyüktür.

II. Ortalama hızı sıfırdır.

III. Momentum vektörü sabittir.

IV. Kinetik enerjisi sabittir.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) I ve II
B) II ve III
C) I, II ve III
D) I, II ve IV
E) I, III ve IV

Cevabı Göster

Alınan yol pozitif olduğundan ortalama sürat sıfırdan büyüktür. Sporcu başlangıç noktasına döndüğü için yer değiştirme ve ortalama hız sıfırdır. Sürat sabit olsa da hızın yönü sürekli değiştiğinden momentum vektörü sabit değildir; kinetik enerji ise süratin karesine bağlı olduğundan sabittir.

Cevap: D

Örnek - 2

K, L ve M vektörleri için |K|=|L|=2|M| olduğu; K ile L’nin aynı yönde, M’nin ise K’ye zıt yönde bulunduğu biliniyor. Buna göre |2K-L+3M| sonucu hangisidir?

A) 0
B) |M|
C) 2|M|
D) 3|M|
E) 5|M|

Cevabı Göster

K ve L eşit, M ise ters yönlü ve bunların yarı büyüklüğünde olduğundan K=L=-2M’dir. Böylece 2K-L+3M=-4M+2M+3M=M ve işlemin büyüklüğü |M| olur.

Cevap: B

Örnek - 3

C=-32A, D=13C ve E=2D-C olduğuna göre E ile A arasındaki ilişki hangisidir?

A) Aynı yönlü, |E|=|A|/2
B) Zıt yönlü, |E|=|A|/2
C) Zıt yönlü, |E|=3|A|/2
D) Aynı yönlü, |E|=2|A|
E) Zıt yönlü, |E|=2|A|

Cevabı Göster

C=-3A/2 ve D=C/3=-A/2 olur. E=2D-C=-A-(-3A/2)=A/2 bulunduğundan E, A ile aynı yönlü ve A’nın yarı büyüklüğündedir.

Cevap: A

Kartezyen Koordinat Sisteminde Vektörler

İki Boyutlu Gösterim ve Büyüklük

Başlangıç noktası orijin olan A=(A_x, A_y) vektöründe ilk bileşen yatay, ikinci bileşen düşey eksene aittir. Bileşen işaretleri okun yönüne göre belirlenir. A vektörünün büyüklüğü |A|=√(A_x²+A_y²) bağıntısıyla bulunur. Başlangıcı P(x₁,y₁), bitişi Q(x₂,y₂) olan PQ vektörü ise (x₂-x₁, y₂-y₁) bileşenlerine sahiptir.

Örnek - 4

A(-2,1), B(4,-7) ve C(1,5) noktaları veriliyor. S=2AB-3AC olduğuna göre S vektörü ve büyüklüğü hangisidir?

A) S=(3,-28), |S|=√793
B) S=(3,-20), |S|=√409
C) S=(21,-4), |S|=√457
D) S=(-3,28), |S|=√793
E) S=(9,-12), |S|=15

Cevabı Göster

AB=(6,-8), AC=(3,4) olur. S=2(6,-8)-3(3,4)=(12,-16)-(9,12)=(3,-28) ve |S|=√(9+784)=√793 bulunur.

Cevap: A

Üç Boyutlu Gösterim

P=(P_x,P_y,P_z) vektörünün büyüklüğü |P|=√(P_x²+P_y²+P_z²) olur. Üç boyutlu sorularda her bileşen kendi eksen yönüyle birlikte okunmalı; perspektif çizimi, işaret bilgisinin yerine geçirilmemelidir.

Örnek - 5

Görselde P=(2,3,6) vektörü verilmiştir. Q=(-1,1,2) olduğuna göre S=2P-3Q vektörünün büyüklüğü kaçtır?

A) √74
B) √82
C) √86
D) √94
E) 10

Cevabı Göster

2P=(4,6,12), 3Q=(-3,3,6) olduğundan S=(7,3,6) bulunur. |S|=√(49+9+36)=√94’tür.

Cevap: D

Eğik Eksenlerde Bileşen

Bileşenlere ayırma yalnız dik x-y eksenleriyle sınırlı değildir. Birbirine eğik d₁ ve d₂ doğrultularında, vektörün ucundan bu doğrultulara paralel çizgiler geçirilir. Başlangıçtan kesişim noktalarına çizilen iki vektör, asıl vektörün eğik eksen bileşenleridir. Bu bileşenler dik değilse büyüklük hesabında doğrudan Pisagor kullanılamaz; aralarındaki açı hesaba katılır.

Örnek - 6

Görselde d₁ ve d₂ doğrultuları arasındaki açı 60°’dir. A vektörünün bu doğrultulardaki bileşen büyüklükleri 5 birim ve 7 birim olduğuna göre |A| kaç birimdir?

A) √74
B) √84
C) √99
D) √109
E) 12

Cevabı Göster

Bileşenler arasındaki açı 60° olduğundan |A|²=5²+7²+2*5*7*cos60°=25+49+35=109 ve |A|=√109 bulunur.

Cevap: D

Vektörlerde Toplama ve Bileşke

Uç Uca Ekleme ve Çokgen Yöntemi

Toplanan vektörler büyüklükleri ve yönleri değişmeden taşınabilir. Uç uca eklemede ikinci vektörün başlangıcı birincinin ucuna getirilir; bileşke ilk başlangıçtan son bitişe çizilir. Üç veya daha fazla vektörde işlem aynı şekilde sürdürülür. Son vektörün ucu ilk vektörün başlangıcına dönüyorsa kapalı çokgen oluşur ve bileşke sıfırdır.

Paralelkenar Yöntemi ve Kosinüs Bağıntısı

İki vektörün başlangıçları ortaklaştırılıp paralelkenar tamamlandığında ortak başlangıçtan karşı köşeye çizilen köşegen bileşkedir. Büyüklükleri A ve B, aralarındaki açı α ise bileşke için R²=A²+B²+2ABcosα yazılır. Açı 0° iken R en büyük, 180° iken en küçüktür.

Uç uca ekleme ile paralelkenar aynı toplamı verir. Çıkarma işleminde ise B vektörü ters çevrilerek -B elde edilir ve A+(-B) toplamı kurulur.

Örnek - 7

A+B+C+D=0 ve E=2A-B olduğuna göre E+C+D işlemi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) A-2B
B) 2A-B
C) 3A
D) A-B
E) -A

Cevabı Göster

C+D=-(A+B) olduğundan E+C+D=(2A-B)-(A+B)=A-2B olur.

Cevap: A

Örnek - 8

Büyüklükleri 7 ve 8 birim olan A ve B vektörleri için |A+B|=13 olduğuna göre |A-B| kaç birimdir?

A) √41
B) 7
C) √57
D) 8
E) √73

Cevabı Göster

|A+B|²=A²+B²+2A·B olduğundan 169=113+2A·B ve 2A·B=56’dır. |A-B|²=113-56=57 olduğuna göre |A-B|=√57 bulunur.

Cevap: C

Örnek - 9

Büyüklükleri 12 ve 5 birim olan birbirine dik A ve B vektörlerinin bileşkesi R’dir. R ile A arasındaki θ açısı için hangisi doğrudur?

A) sinθ=12/13
B) cosθ=5/13
C) tanθ=12/5
D) sinθ=5/13
E) θ=45°

Cevabı Göster

R=13 olur. θ açısına göre karşı bileşen 5, hipotenüs 13 olduğundan sinθ=5/13’tür. Bileşke, büyük olan A vektörüne açısal olarak daha yakındır.

Cevap: D

Örnek - 11

Büyüklükleri 11 ve 4 birim olan A ve B vektörleri arasındaki açı dar açıdır. R=A+B bileşkesinin büyüklüğü bir tam sayı olduğuna göre |R| kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Cevabı Göster

A ile B arasındaki açı α için 0°<α<90° olduğundan 0<cosα<1’dir. Bu nedenle |R|²=11²+4²+2·11·4·cosα bağıntısından 137<|R|²<225, yani √137<|R|<15 elde edilir. Bu açık aralıkta bulunan tam sayılar 12, 13 ve 14’tür. Dolayısıyla |R| üç farklı tam sayı değeri alabilir.

Cevap: B

Fark Vektörü ve Çıkarma İşlemi

A-B Vektörünün İki Gösterimi

A-B işlemi, B’nin ters vektörüyle toplama anlamına gelir: A-B=A+(-B). Vektörlerin başlangıçları ortaksa A-B, B’nin ucundan A’nın ucuna yönelen doğru parçasıyla da gösterilebilir. Bu ikinci gösterimde okun yönü pozitif işaretli A vektörünün ucuna doğrudur.

Örnek - 12

Görselde A=(4,3) ve B=(-2,5) verilmiştir. C=2A-B olduğuna göre |C| kaçtır?

A) √85
B) 10
C) √101
D) √109
E) 11

Cevabı Göster

2A=(8,6) ve 2A-B=(8-(-2),6-5)=(10,1) olur. |C|=√(100+1)=√101’dir.

Cevap: C

Örnek - 13

|A|=10, |B|=6 ve A ile B arasındaki açı 120° olduğuna göre |A-B| kaçtır?

A) 2√19
B) 4√7
C) 12
D) 14
E) 16

Cevabı Göster

|A-B|²=A²+B²-2ABcos120°=100+36-120*(-1/2)=196 olduğundan |A-B|=14’tür.

Cevap: D

Dik Bileşenlere Ayırma ve Çoklu Vektörler

Bir Vektörün x ve y Bileşenleri

A vektörü +x ekseniyle α açısı yapıyorsa, işaretler bölgeye göre belirlenmek koşuluyla A_x=Acosα ve A_y=Asinα yazılır. Açı +y ekseninden verilmişse sinüs ve kosinüsün hangi bileşene ait olduğu yeniden kurulmalıdır; ezberlenen yerleşim doğrudan kullanılmaz.

Örnek - 14

A vektörü 20 birim büyüklüğünde ve +x ekseniyle 37°; B vektörü 15 birim büyüklüğünde ve +x ekseniyle 143° açı yapıyor. sin37°=0,6 ve cos37°=0,8 olduğuna göre |A+B| kaçtır?

A) √377
B) √409
C) √425
D) √441
E) √457

Cevabı Göster

A vektörü birinci bölgede olduğundan iki bileşeni de pozitiftir: A_x=20cos37°=20·0,8=16 ve A_y=20sin37°=20·0,6=12; dolayısıyla A=(16,12) olur. B vektörünün yön açısı 143°=180°−37° olduğundan ikinci bölgededir. Bu yüzden x bileşeni negatif, y bileşeni pozitiftir: B_x=15cos143°=−15cos37°=−12 ve B_y=15sin143°=15sin37°=9; yani B=(−12,9). Bileşke R=A+B=(16−12,12+9)=(4,21)’dir. Son olarak |R|=√(4²+21²)=√(16+441)=√457 bulunur.

Cevap: E

Örnek - 15

Bir cisim F₁=(6,8) ve F₂=(-10,0) kuvvetlerinin etkisinde dengede tutuluyor. Dengeyi sağlayan F₃ kuvvetinin büyüklüğü kaç birimdir?

A) 2√5
B) 4√5
C) 6√2
D) 8
E) 10

Cevabı Göster

Dengede F₁+F₂+F₃=0’dır. İlk iki kuvvetin toplamı (-4,8) olduğundan F₃=(4,-8) ve büyüklüğü √80=4√5 olur.

Cevap: B

Örnek - 16

|A|=7, |B|=9 ve |A+B|=8 olduğuna göre A ile B arasındaki α açısı için cosα kaçtır?

A) -11/21
B) -5/21
C) 5/21
D) 11/21
E) 13/21

Cevabı Göster

İki vektörün toplamının büyüklüğü için |A+B|²=|A|²+|B|²+2|A||B|cosα bağıntısı kullanılır. Verilenler yerleştirilirse 8²=7²+9²+2·7·9·cosα olur. Buradan 64=49+81+126cosα, 126cosα=−66 ve cosα=−66/126=−11/21 bulunur. Kosinüsün negatif çıkması, A ile B arasındaki α açısının 90° ile 180° arasında, yani geniş açı olduğunu da doğrular.

Cevap: A

Bileşenleri Toplayarak Bileşke Bulma

Çok sayıda vektörde her vektörün x bileşenleri kendi aralarında, y bileşenleri kendi aralarında toplanır. R_x=ΣA_x ve R_y=ΣA_y bulunduktan sonra R=√(R_x²+R_y²) hesaplanır. R_x=R_y=0 ise bileşke sıfırdır; kuvvetler söz konusuysa bu durum dengedir.

Örnek - 17

Bir cisme F₁=(4,3), F₂=(-3,5), F₃=(-5,-2) ve F₄=(3,-4) kuvvetleri uygulanıyor. Bileşke kuvvetin büyüklüğü ve yön bölgesi hangisidir?

A) 1 birim, +x yönü
B) 2 birim, +y yönü
C) √5 birim, ikinci bölge
D) √5 birim, dördüncü bölge
E) 5 birim, üçüncü bölge

Cevabı Göster

R_x=4-3-5+3=-1 ve R_y=3+5-2-4=2 olur. R=(-1,2) ikinci bölgededir ve büyüklüğü √5’tir.

Cevap: C

Örnek - 18

A vektörü ikinci, B vektörü dördüncü bölgededir. |A_x|=|B_x|=3, |A_y|=2|B_y| ve |B|=5 olduğuna göre |A+B| kaç birimdir?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 8

Cevabı Göster

B dördüncü bölgede ve |B_x|=3, |B|=5 olduğundan B=(3,-4)’tür. A ikinci bölgede, x bileşeni -3 ve y bileşeninin büyüklüğü 8 olduğundan A=(-3,8) olur. A+B=(0,4) ve |A+B|=4 bulunur.

Cevap: C

Örnek - 19

Eşit büyüklükteki A, B ve C vektörlerinin yönleri ikişer ikişer 120° ayrılmıştır. Buna göre 2A+B+C işlemi hangisine eşittir?

A) 0
B) A
C) 2A
D) -A
E) B-C

Cevabı Göster

Eşit büyüklükte ve aralarında 120° bulunan üç vektörün toplamı sıfırdır: A+B+C=0. Bu nedenle 2A+B+C=A olur.

Cevap: B

Örnek - 20

A ve B vektörlerinin büyüklükleri 10 birimdir. A, +x ekseniyle 37°; B, +x ekseniyle 143° açı yapıyor. C=(0,-4) ve D=(k,0) eklendiğinde toplam vektör +x ekseniyle 45° açı yapıyor. sin37°=0,6 ve cos37°=0,8 olduğuna göre k ve toplam vektörün büyüklüğü nedir?

A) k=4, R=4√5
B) k=6, R=10
C) k=8, R=8√2
D) k=10, R=2√41
E) k=12, R=4√13

Cevabı Göster

A=(8,6), B=(-8,6) olduğundan A+B=(0,12) ve A+B+C=(0,8) olur. D eklenince R=(k,8)’dir. R, +x ile 45° yaptığı için bileşenler eşit ve pozitif olmalıdır; k=8, R=√(64+64)=8√2 bulunur.

Cevap: C