AYT diziler konu anlatımı kapsamında genel terim ve indirgeme bağıntısı, aritmetik ve geometrik diziler, sonlu ve sonsuz toplamlar, sigma gösterimi ve örüntüler işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
DİZİ KAVRAMI VE GENEL TERİM
Dizinin Fonksiyon Olarak Tanımı
Tanım kümesi pozitif tam sayıların tamamı ya da {1, 2, 3, …, m} gibi sonlu bir parçası olan gerçek değerli fonksiyonlara gerçek sayı dizisi denir. f(n) = an yazımında n terimin sıra numarası, an ise dizinin n. terimidir. Genel terimde değişken olarak n kullanılması, n’nin her gerçek sayıyı alabileceği anlamına gelmez; n tanım kümesindeki tam sayılarla sınırlıdır.
Sonsuz dizi(an)Terimler n = 1, 2, 3, … için sürer.
Sonlu dizi(a1, …, am)Yalnız ilk m terim tanımlıdır.
Sabit dizian = cBütün terimler aynıdır.
Eşit dizileran = bnKarşılıklı her terim eşittir.
Örnek - 1
an = (n² + 3n)/2 dizisinde an+1 − an = 10 olduğuna göre n kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
an+1 − an farkı açıldığında n + 2 elde edilir. n + 2 = 10 eşitliğinden n = 8 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 2
n ≥ 2 olmak üzere an = (3n + 2)/(n − 1) dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
an = 3 + 5/(n − 1) yazılır. n − 1 pozitif tam sayı olduğundan 5’i bölmelidir. n − 1 = 1 veya 5 olabilir; dolayısıyla iki terim tam sayıdır.
Cevap: B
Genel Terimden Terime Geçiş
Genel terim biliniyorsa istenen sıra numarası n yerine yazılır. Buna karşılık bir değerin dizinin kaçıncı terimi olduğu soruluyorsa an = verilen değer denklemi çözülür ve bulunan n’nin tanım kümesine uygun pozitif tam sayı olup olmadığı denetlenir.
İNDİRGEME BAĞINTISI VE ÖZEL DİZİLER
Önceki Terimlerden Yeni Terim Üretme
Bir terim kendinden önceki bir veya birkaç terim yardımıyla tanımlanıyorsa bu kurala indirgeme bağıntısı denir. Bağıntı tek başına yeterli değildir; diziyi başlatacak ilk terim ya da ilk terimler de verilmelidir.
Başlangıça1 veya a1, a2 verilir.
→
Bağıntıan+1, önceki terimlerle yazılır.
→
Ardışık üretimTerimler sırayla hesaplanır.
Örnek - 3
a1 = 2 ve an+1 = 2an + 1 olduğuna göre a5 kaçtır?
A) 31 B) 39 C) 43 D) 47 E) 63
a2 = 5, a3 = 11, a4 = 23 ve a5 = 47 olur.
Cevap: D
Örnek - 4
a1 = 1, a2 = 4 ve an+2 = 3an+1 − 2an olduğuna göre a5 kaçtır?
Sabit dizide ortak değer değişmez. İki dizinin eşit olması için yalnız ilk birkaç terimin değil, aynı sıra numarasındaki bütün terimlerin eşitliği gerekir. Terimlerin belirli sayıda adım sonra tekrarlandığı dizilerde ise en küçük pozitif tekrar uzunluğu periyottur.
Örnek - 5
an = n² + (k − 1)n ve bn = n² + 2n dizileri eşit olduğuna göre k kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Eşitlik her n için sağlanacağından n katsayıları eşitlenir: k − 1 = 2. Buradan k = 3 bulunur.
Cevap: C
ARİTMETİK DİZİ
Ortak Fark ve Genel Terim
Ardışık terimler arasındaki fark sabitse dizi aritmetiktir. Ortak fark d = an+1 − an, genel terim ise an = a1 + (n − 1)d bağıntısıyla bulunur. Daha genel olarak iki terim arasında an = ak + (n − k)d yazılabilir.
Görselde 3, 7, 11, 15 ve 19 sayıları sırasıyla a1, a2, a3, a4 ve a5 terimleridir. Her adımda 4 eklenmesi, ortak farkın d = 4 olduğunu gösterir.
Örnek - 6
Bir aritmetik dizide a4 = 11 ve a10 = 35 olduğuna göre a20 kaçtır?
A) 67 B) 71 C) 75 D) 79 E) 83
a10 − a4 = 6d = 24 olduğundan d = 4’tür. a20 = a10 + 10d = 35 + 40 = 75 olur.
Cevap: C
Örnek - 7
Bir aritmetik dizide a3 + a8 = 31 ve a5 + a12 = 49’dur. Buna göre a20 kaçtır?
A) 53 B) 56 C) 59 D) 62 E) 65
İlk eşitlik 2a1 + 9d = 31, ikinci eşitlik 2a1 + 15d = 49 verir. Çıkarma ile 6d = 18, d = 3; ardından a1 = 2 bulunur. a20 = 2 + 19·3 = 59’dur.
Cevap: C
Eşit Uzaklıktaki Terimler ve Aritmetik Ortalama
Aritmetik dizide sıra numaraları toplamı eşit olan terim çiftlerinin toplamı da eşittir. Bu nedenle p + r = 2q ise ap + ar = 2aq olur. İki sayı arasına aritmetik dizi oluşturacak k terim yerleştirildiğinde toplam k + 2 terim ve k + 1 eşit aralık vardır.
Örnek - 8
Bir aritmetik dizide a5 + a17 = 50 olduğuna göre a8 + a14 kaçtır?
A) 40 B) 44 C) 48 D) 50 E) 52
5 + 17 = 8 + 14 = 22’dir. Sıra numaraları toplamı aynı olduğundan iki terim toplamı da 50’dir.
Cevap: D
Örnek - 9
4 ile 40 arasına beş aritmetik ortalama yerleştiriliyor. Yerleştirilen sayıların ortancası kaçtır?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
Toplam altı eşit aralık vardır; d = (40 − 4)/6 = 6’dır. Dizi 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40 olur. Yerleştirilen beş sayının ortancası 22’dir.
Cevap: D
Dikkat
Araya k terim yerleştirildiğinde ortak farkı hesaplarken payda k değil, k + 1 olur. Çünkü iki uç sayı da diziye dahildir.
ARİTMETİK DİZİNİN İLK n TERİM TOPLAMI
Toplam Formülü ve Terim Sayısı
İlk n terimin toplamı Sn = n(a1 + an)/2 ya da Sn = n[2a1 + (n − 1)d]/2 biçiminde hesaplanır. Ardışık terimlerin toplam fonksiyonu verildiğinde n. terim an = Sn − Sn−1 farkıdır.
İlk + son biliniyorSn = n(a1 + an)/2
İlk terim + fark biliniyorSn = n[2a1 + (n−1)d]/2
Toplam fonksiyonu biliniyoran = Sn − Sn−1
Örnek - 10
İlk terimi 7 ve ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin ilk 20 teriminin toplamı kaçtır?
Bir dizinin ilk n terim toplamı Sn = 3n² + 2n’dir. Buna göre a15 kaçtır?
A) 79 B) 83 C) 85 D) 87 E) 89
an = Sn − Sn−1 = 3n² + 2n − [3(n − 1)² + 2(n − 1)] = 6n − 1’dir. a15 = 90 − 1 = 89 olur.
Cevap: E
Aralıklı Toplam ve Uygulama
Bir aritmetik dizinin k. teriminden m. terimine kadar toplamı Sm − Sk−1 ile bulunabilir. Terimler doğrudan biliniyorsa bu aralıkta m − k + 1 terim bulunduğu unutulmamalıdır.
Örnek - 12
Bir salonda ilk sırada 18 koltuk vardır ve her sonraki sırada koltuk sayısı 4 artmaktadır. 6. sıradan 20. sıraya kadar olan koltukların toplamı kaçtır?
A) 900 B) 930 C) 960 D) 990 E) 1020
a6 = 18 + 5·4 = 38 ve a20 = 18 + 19·4 = 94’tür. 6’dan 20’ye 15 sıra vardır. Toplam 15(38 + 94)/2 = 990 olur.
Cevap: D
GEOMETRİK DİZİ
Ortak Çarpan ve Genel Terim
Ardışık her terimin kendinden önceki terime oranı sabitse dizi geometriktir. Ortak çarpan r = an+1 ÷ an, genel terim ise an = a1·rn−1 bağıntısıyla bulunur. r negatifse terimlerin işaretleri sırayla değişir.
Görselde kare sayıları 1, 2, 4 ve 8’dir. Her terim bir öncekinin 2 katı olduğu için ortak çarpan r = 2’dir; n. adımdaki kare sayısı 2n−1 olur.
Örnek - 13
Bir geometrik dizide a3 = 12 ve a6 = 96’dır. Buna göre a8 kaçtır?
A) 192 B) 256 C) 320 D) 384 E) 512
a6 ÷ a3 = r³ = 8 olduğundan r = 2’dir. a8 = a6·r² = 96·4 = 384 bulunur.
Cevap: D
Örnek - 14
İlk terimi 3 ve ortak çarpanı −2 olan geometrik dizinin ilk altı teriminin toplamı kaçtır?
A) −75 B) −63 C) −51 D) 51 E) 63
Terimler 3, −6, 12, −24, 48, −96’dır ve toplam −63’tür. Aynı sonuç S6 = 3[1 − (−2)6]/[1 − (−2)] formülünden de elde edilir.
Cevap: B
Eşit Uzaklıktaki Terimler ve Geometrik Ortalama
Geometrik dizide sıra numaraları toplamı eşit olan terim çiftlerinin çarpımı eşittir. p + r = 2q ise ap·ar = aq² olur. Pozitif x ve y arasına yerleştirilen tek geometrik ortalama √(xy)’dir. Birden çok ara terimde ortak çarpanın işareti ayrıca değerlendirilir.
Örnek - 15
Pozitif terimli bir geometrik dizide a2·a8 = 729 olduğuna göre a5 kaçtır?
A) 9 B) 18 C) 21 D) 27 E) 81
2 + 8 = 2·5 olduğundan a2a8 = a5²’dir. a5² = 729 ve terimler pozitif olduğu için a5 = 27’dir.
Cevap: D
Örnek - 16
2 ile 162 arasına pozitif üç geometrik ortalama yerleştiriliyor. Yerleştirilen ikinci sayı kaçtır?
A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 54
Beş terimli dizide 2r⁴ = 162, r⁴ = 81 olur. Pozitif ortak çarpan r = 3’tür. Dizi 2, 6, 18, 54, 162 olduğundan ikinci yerleştirilen sayı 18’dir.
Cevap: B
Dikkat
Geometrik dizide ortak çarpanı bulurken kök derecesi çiftse işaret bilgisi kaybolabilir. “Pozitif terimli” veya “artan” gibi koşullar okunmadan yalnız pozitif kök seçilmez.
GEOMETRİK DİZİNİN TOPLAMI
Sonlu Geometrik Toplam
r ≠ 1 için ilk n terimin toplamı Sn = a1(1 − rn)/(1 − r) bağıntısıyla bulunur. r = 1 ise bütün terimler a1 olduğundan toplam n·a1’dir. Ortak çarpan negatif olduğunda rn’nin işareti n’nin tek veya çift olmasına bağlıdır.
Örnek - 17
İlk terimi 3, ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı 3069’dur. Buna göre n kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Sn = 3(2n − 1) = 3069’dur. 2n − 1 = 1023 ve 2n = 1024 = 210 olduğundan n = 10’dur.
Cevap: C
Sonsuz Geometrik Toplam
|r| < 1 olduğunda terimler sıfıra yaklaşır ve sonsuz geometrik toplam S∞ = a1/(1 − r) değerine yakınsar. |r| ≥ 1 iken terimlerin sıfıra gitmemesi nedeniyle bu formül kullanılamaz.
Örnek - 18
İlk terimi 12 ve ortak çarpanı −1/3 olan sonsuz geometrik dizinin terimleri toplamı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
|−1/3| < 1 olduğundan toplam vardır. S∞ = 12/[1 − (−1/3)] = 12/(4/3) = 9 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 19
12 metre yükseklikten bırakılan bir top, her yere çarpışında bir önceki yüksekliğin 2/3’ü kadar yükseliyor. Top duruncaya kadar toplam kaç metre yol alır?
A) 48 B) 54 C) 60 D) 66 E) 72
İlk 12 metrelik iniş bir kez alınır. Sonraki yükselme yükseklikleri 8, 16/3, … olup toplamları 8/(1 − 2/3) = 24’tür. Her yükselişe aynı uzunlukta iniş eşlik ettiğinden toplam yol 12 + 2·24 = 60 metredir.
Cevap: C
ARİTMETİK VE GEOMETRİK YAPININ BİRLİKTE KULLANILMASI
İki Koşulu Aynı Anda Okuma
Bazı sorularda aynı sayıların bir grubu aritmetik, başka bir grubu geometrik dizi oluşturur. Aritmetik koşul için orta terim iki ucun aritmetik ortalaması; geometrik koşul için pozitif orta terim iki ucun geometrik ortalaması olarak yazılır. Koşullar ayrı denklemlere dönüştürülmeden zihinden oran kurmak hata üretir.
Örnek - 20
Pozitif a, b, c sayıları artan bir aritmetik dizi; a, b, c + 8 sayıları ise geometrik dizi oluşturuyor. a + c = 12 olduğuna göre c kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Aritmetik diziden 2b = a + c = 12, yani b = 6’dır. Geometrik diziden b² = a(c + 8) olur. c = 12 − a yazılırsa 36 = a(20 − a), buradan a = 2 veya a = 18 bulunur. Dizi pozitif ve artan olduğu için a = 2, c = 10 seçilir.
Cevap: C
FİBONACCİ, ÖZEL SAYI DİZİLERİ VE SİGMA
Fibonacci ve Şekil Sayıları
Fibonacci dizisi F1 = F2 = 1 ve Fn = Fn−1 + Fn−2 indirgeme bağıntısıyla tanımlanır. İlk n Fibonacci sayısının toplamı Fn+2 − 1’dir. Üçgensel sayılar 1 + 2 + … + n toplamından, karesel sayılar ise ardışık tek sayıların toplamından doğar.
Örnek - 21
F1 = F2 = 1 olan Fibonacci dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
A) 88 B) 120 C) 132 D) 143 E) 144
Toplam F12 − 1’dir. Fibonacci dizisinde F12 = 144 olduğundan sonuç 143’tür.
Cevap: D
Örnek - 22
Aşağıdaki şekillerde n. adımdaki nokta sayısı Tn ile gösteriliyor.
T12 − T8 farkı kaçtır?
A) 36 B) 40 C) 42 D) 44 E) 48
Tn = n(n + 1)/2’dir. T12 = 78 ve T8 = 36 olduğundan fark 42’dir.
Cevap: C
Toplam Sembolü
Sigma gösterimi ardışık terimleri kısa biçimde toplar. Σk=1n c = nc, Σk=1n k = n(n + 1)/2 ve Σk=1n k² = n(n + 1)(2n + 1)/6 temel bağıntılardır. Toplamın alt sınırı ve üst sınırı değiştirilirken terim sayısı korunmalıdır.
Örnek - 23
Σk=1n(3k − 2) = 92 olduğuna göre n kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Toplam 3·n(n + 1)/2 − 2n = n(3n − 1)/2’dir. n(3n − 1) = 184 eşitliğini n = 8 sağlar.
Cevap: C
DİZİ PROBLEMLERİNDE MODEL KURMA
Şekil Örüntüsünden Genel Terime
Şekil örüntüsünde her adımda eklenen parça sayısı sabitse toplam parça sayısı aritmetik dizi oluşturur. Ortak kenar, ortak köşe veya üst üste gelen parçalar iki kez sayılmamalıdır. Genel terim kurulduktan sonra tek bir adım değil, gerekirse adımların toplamı da hesaplanabilir.
Örnek - 24
Aşağıdaki ortak kenarlı kare örüntüsünde Mn, n. adımda kullanılan kibrit sayısıdır.
M1 + M2 + … + M12 toplamı kaçtır?
A) 228 B) 234 C) 240 D) 246 E) 252
İlk kare 4 kibrit, her yeni kare 3 kibrit getirir; Mn = 4 + 3(n − 1) = 3n + 1’dir. İlk 12 terimin toplamı 3(1 + 2 + … + 12) + 12 = 3·78 + 12 = 246’dır.
Cevap: D
Modeli Doğrulama
Bir problemde “her adımda aynı miktar ekleniyor” ifadesi aritmetik, “her adımda aynı katına çıkıyor” ifadesi geometrik modele işaret eder. Ancak yüzde artışı sabit bir miktar artışı değil, sabit oran artışıdır. Kurulan model ilk iki veya üç adımda verilen sayılarla sınanmalıdır.
Örnek - 25
Bir bakteri kültüründe bakteri sayısı her 30 dakikada %50 artıyor. Başlangıçta 320 bakteri bulunduğuna göre 3 saatin sonunda kaç bakteri vardır?
A) 2430 B) 3240 C) 3645 D) 4860 E) 5120
3 saatte altı yarım saatlik dönem vardır. Her dönemde sayı 1,5 ile çarpılır: 320·(3/2)6 = 320·729/64 = 3645 bulunur.
