AYT olasılık konu anlatımı kapsamında örnek uzay ve olay işlemleri, koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız olaylar, bileşik olaylar ve çok aşamalı deneyler işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
OLASILIK DİLİ VE TEMEL KURALLAR
Deney, Örnek Uzay ve Olay
Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen işleme rastgele deney, deneyin mümkün bütün sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır. Sonuçlar eş olasılıklıysa A olayının olasılığı
P(A) = s(A) / s(E)
biçiminde hesaplanır. Her olay için 0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1’dir.
A’A’nın gerçekleşmemesiP(A’) = 1 − P(A)
A ∩ BA ve B’nin birlikte gerçekleşmesikesişim
A ∪ BA veya B’den en az birinin gerçekleşmesibirleşim
“Veya” günlük dilde bazen yalnız birini anlatırken olasılıkta, aksi belirtilmedikçe, iki olayın birlikte gerçekleşmesini de kapsar.
Örnek - 1
5 kız ve 7 erkek öğrenciden oluşan bir gruptan rastgele 3 öğrenci seçiliyor. Seçilen öğrencilerin aynı cinsiyetten olma olasılığı kaçtır?
A) 7/44
B) 9/44
C) 5/22
D) 3/11
E) 15/44
Tüm seçim sayısı C(12,3) = 220’dir. Üçünün de kız olacağı C(5,3) = 10, üçünün de erkek olacağı C(7,3) = 35 seçim vardır. Olasılık (10 + 35)/220 = 9/44 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 2
Bir sınıftaki 100 öğrencinin 60’ı futbol, 45’i basketbol oynamakta; 20’si iki sporu da yapmamaktadır. Rastgele seçilen bir öğrencinin bu sporlardan yalnız birini yapma olasılığı kaçtır?
A) 9/20
B) 1/2
C) 11/20
D) 3/5
E) 13/20
En az bir spor yapan 80 kişidir. 60 + 45 − s(F ∩ B) = 80 eşitliğinden kesişim 25 bulunur. Yalnız bir spor yapanların sayısı (60 − 25) + (45 − 25) = 55 olduğundan olasılık 55/100 = 11/20’dir.
Cevap: C
Birleşim, Ayrık Olay ve Tümleyen
İki olayın birleşiminde kesişim iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A ve B aynı anda gerçekleşemiyorsa ayrık olaylardır ve P(A ∩ B) = 0’dır. “En az bir” sorularında çoğu kez doğrudan durum saymak yerine hiçbirinin gerçekleşmemesi bulunup 1’den çıkarılır.
Örnek - 3
Bir hedefe yapılan bağımsız dört atışın her birinde isabet olasılığı 2/5’tir. En az bir atışın hedefe isabet etme olasılığı kaçtır?
A) 256/625
B) 369/625
C) 481/625
D) 544/625
E) 609/625
Bir atışın kaçma olasılığı 3/5’tir. Dördünün de kaçma olasılığı (3/5)4 = 81/625 olur. En az bir isabetin olasılığı 1 − 81/625 = 544/625’tir.
Cevap: D
Örnek - 4
İki adil zar birlikte atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların çarpımının 6’nın katı olma olasılığı kaçtır?
A) 5/12
B) 1/2
C) 7/12
D) 11/18
E) 23/36
Çarpımın 6’nın katı olması için en az bir çarpanın çift, en az bir çarpanın 3’ün katı olması gerekir. Bu iki koşulu birlikte sağlayan 15 sıralı ikili vardır. Olasılık 15/36 = 5/12’dir.
Cevap: A
Dikkat
Ayrık olaylarla bağımsız olaylar aynı kavram değildir. Olasılığı sıfır olmayan iki ayrık olaydan biri gerçekleştiğinde diğeri gerçekleşemez; dolayısıyla bu olaylar bağımlıdır.
KOŞULLU OLASILIK
Örnek Uzayın Daralması
B olayının gerçekleştiği biliniyorsa artık bütün E değil, yalnız B içindeki sonuçlar dikkate alınır. B gerçekleşmişken A’nın olasılığı
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0
biçimindedir. Eş olasılıklı sonlu durumlarda bu oran s(A ∩ B) / s(B) olarak da yazılır.
10. sınıf
11. sınıf
Toplam
Kız
10
6
16
Erkek
8
14
22
Toplam
18
20
38
Tablodan seçilen öğrencinin erkek olduğu biliniyorsa payda 38 değil 22 olur. Bu öğrenci aynı zamanda 10. sınıftaysa istenen kesişim 8 kişidir; koşullu olasılık 8/22 = 4/11’dir.
Örnek - 5
İki adil zar atılıyor. Zarların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre zarlardan en az birinin 3 gelmiş olma olasılığı kaçtır?
A) 1/5
B) 2/5
C) 1/2
D) 3/5
E) 4/5
Toplamı 8 olan sıralı ikililer (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)’dir. Bunların ikisinde en az bir zar 3’tür. Olasılık 2/5 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 6
Bir kurstaki öğrencilerin dağılımı aşağıdaki gibidir. Rastgele seçilen öğrencinin B grubunda olduğu bilindiğine göre fen dersini seçmiş olma olasılığı kaçtır?
A grubu
B grubu
Fen
12
18
Matematik
16
10
İki ders
8
12
A) 2/5
B) 9/20
C) 1/2
D) 3/5
E) 3/4
B grubunda toplam 18 + 10 + 12 = 40 öğrenci vardır. Bunların 18’i yalnız fen, 12’si iki dersi seçtiği için fen seçenlerin sayısı 30’dur. Koşullu olasılık 30/40 = 3/4’tür.
Cevap: E
Örnek - 7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarından farklı iki tanesi seçiliyor. Seçilen sayıların çarpımının çift olduğu bilindiğine göre toplamlarının çift olma olasılığı kaçtır?
A) 1/5
B) 1/4
C) 2/5
D) 1/2
E) 3/5
Toplam 21 ikili vardır. Çarpımı tek olanlar dört tek sayıdan seçilen C(4,2) = 6 ikilidir; koşulu sağlayan 15 ikili kalır. Toplamın çift olması için iki sayı da çift olmalıdır. Üç çift sayıdan C(3,2) = 3 ikili seçilir. Olasılık 3/15 = 1/5’tir.
Cevap: A
Dikkat
Koşul cümlesi yeni bir bilgi verdiğinde payda değişir. “A olduğu biliniyor” ifadesinden sonra bütün örnek uzay üzerinden saymaya devam etmek, koşullu olasılık sorularındaki temel hatadır.
BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bağımsızlık Ölçütü
A’nın gerçekleşmesi B’nin olasılığını değiştirmiyorsa A ve B bağımsızdır. Eş değer ölçütler:
P(A | B) = P(A)
⇔
P(B | A) = P(B)
⇔
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Geri koymalı seçimlerde deneyin koşulları korunur ve ardışık seçimler genellikle bağımsızdır. Geri koymadan seçimde torbanın içeriği değiştiği için olaylar bağımlıdır.
Örnek - 8
A ve B bağımsız olaylar, P(A) = 3/5 ve P(A ∪ B) = 4/5 olduğuna göre P(B) kaçtır?
A) 1/4
B) 2/5
C) 1/2
D) 3/5
E) 3/4
Bağımsızlıktan P(A ∩ B) = (3/5)P(B)’dir. 3/5 + P(B) − (3/5)P(B) = 4/5 eşitliği (2/5)P(B) = 1/5 verir. P(B) = 1/2 olur.
Cevap: C
Örnek - 9
A ve B bağımsız olaylar, P(A ∩ B) = 6/25 ve P(A ∪ B) = 19/25’tir. P(A) < P(B) olduğuna göre P(A) kaçtır?
A) 1/5
B) 2/5
C) 1/2
D) 3/5
E) 4/5
P(A) = a ve P(B) = b olsun. ab = 6/25 ve a + b − ab = 19/25 olduğundan a + b = 1’dir. Kökleri a ve b olan denklem t2 − t + 6/25 = 0’dır; kökler 2/5 ve 3/5’tir. a < b olduğundan P(A) = 2/5 olur.
Cevap: B
Örnek - 10
Adil bir zar ve adil bir madeni para birlikte atılıyor. A olayı “zarın çift gelmesi”, B olayı “zarın ve paranın gösterdiği sonuçlara göre zar çift veya para tura gelmesi” olsun. A ve B olayları için hangisi doğrudur?
A) Ayrık ve bağımsızdır.
B) Ayrık, bağımlıdır.
C) Ayrık değildir, bağımsızdır.
D) Ayrık değildir, bağımlıdır.
E) B imkânsız olaydır.
A gerçekleştiğinde B kesin gerçekleşir; dolayısıyla P(B | A) = 1, P(B) = 3/4’tür. Olaylar bağımlıdır. A, B’nin alt kümesi olduğundan kesişimleri boş değildir; ayrık da değildir.
Cevap: D
Çarpma Kuralı ve Ardışık Seçimler
Olaylar bağımsız olmak zorunda değildir. Genel çarpma kuralı
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
şeklindedir. Geri koymadan seçimde ikinci olasılığın payı ve paydası ilk seçime göre güncellenir.
Örnek - 11
Bir torbada 5 kırmızı ve 4 mavi top vardır. Geri koymadan üç top çekildiğinde tam ikisinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) 5/21
B) 8/21
C) 10/21
D) 4/7
E) 13/21
Üç top C(9,3) biçimde seçilir. İki kırmızı C(5,2), bir mavi C(4,1) biçimde seçilir. Olasılık C(5,2)C(4,1)/C(9,3) = 40/84 = 10/21’dir.
Cevap: C
Örnek - 12
Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 5 sarı top vardır. Her çekilişten sonra top geri konularak art arda üç top çekiliyor. Üç topun farklı renklerde olma olasılığı kaçtır?
A) 5/48
B) 5/36
C) 5/24
D) 5/18
E) 5/12
Renklerin 3! = 6 farklı sırası vardır. Her sıra için olasılık (4/12)(3/12)(5/12)’dir. Toplam olasılık 6 · 4 · 3 · 5 / 123 = 5/24 bulunur.
Cevap: C
BİLEŞİK OLAYLAR VE AĞAÇ DİYAGRAMI
Dallar Boyunca Çarp, Yolları Topla
Bir deneyin sonucu sonraki adımı belirliyorsa olasılık ağacı olası yolları düzenler. Aynı sonuca ulaşan farklı yolların olasılıkları toplanır; tek bir yol üzerindeki olasılıklar çarpılır.
Tek bir yol üzerindeki olasılıklar çarpılır; aynı sonuca ulaşan farklı yolların olasılıkları toplanır.
B sonucunun toplam olasılığı P(A)P(B | A) + P(A’)P(B | A’) olur. Bu yaklaşım torba aktarımı, cihaz seçimi, üretim hattı ve ardışık oyun sorularında doğrudan kullanılır.
Örnek - 13
A torbasında 3 kırmızı, 2 mavi; B torbasında 1 kırmızı, 4 mavi top vardır. A’dan rastgele bir top B’ye aktarılıyor, sonra B’den bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A) 1/5
B) 7/30
C) 4/15
D) 3/10
E) 1/3
Kırmızı aktarılırsa olasılık (3/5)(2/6), mavi aktarılırsa (2/5)(1/6)’dır. Yollar toplanınca 6/30 + 2/30 = 4/15 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 14
Bir kutu rastgele seçiliyor. I. kutunun seçilme olasılığı 2/5 ve içinde 3 sağlam, 1 kusurlu ürün; II. kutunun seçilme olasılığı 3/5 ve içinde 4 sağlam, 2 kusurlu ürün vardır. Seçilen ürünün kusurlu olduğu bilindiğine göre I. kutudan gelmiş olma olasılığı kaçtır?
A) 1/4
B) 1/3
C) 2/5
D) 1/2
E) 3/5
I. kutu ve kusurlu yolu (2/5)(1/4) = 1/10’dur. II. kutu ve kusurlu yolu (3/5)(2/6) = 1/5’tir. Kusurlu ürün olasılığı 3/10 olduğundan istenen koşullu olasılık (1/10)/(3/10) = 1/3’tür.
Cevap: B
Örnek - 15
A torbasında 4 yeşil, 5 mavi; B torbasında 6 yeşil, 3 mavi; C torbasında 2 yeşil, 4 mavi top vardır. A’dan çekilen top yeşilse B’den, maviyse C’den bir top çekiliyor. İkinci çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır?
A) 11/27
B) 4/9
C) 13/27
D) 14/27
E) 5/9
Yeşil–B yolu (4/9)(6/9) = 8/27, mavi–C yolu (5/9)(2/6) = 5/27’dir. İkinci topun yeşil olasılığı 8/27 + 5/27 = 13/27 olur.
Cevap: C
Örnek - 16
Bir internet bağlantısı her 10 saniyelik aralıkta bağımsız olarak 1/2 olasılıkla donar. Donma gerçekleşirse 3 saniye bekleme olasılığı 7/10, 4 saniye bekleme olasılığı 1/5 ve 5 saniye bekleme olasılığı 1/10’dur. 20 saniyelik bir videonun tam 28 saniyede izlenme olasılığı kaçtır?
A) 1/40
B) 7/200
C) 9/200
D) 1/16
E) 7/100
İki aralıkta toplam 8 saniye gecikme için ikisinin de donup gecikmelerin (3,5), (5,3) veya (4,4) olması gerekir. Olasılık (1/2)2 · [2(7/10)(1/10) + (1/5)2] = (1/4)(18/100) = 9/200’dür.
Cevap: C
Dikkat
Ağaç diyagramında farklı yollar aynı sonuca ulaşıyorsa bu yollar birbirine alternatif olduğu için toplanır. Aynı yolun ardışık basamakları ise birlikte gerçekleştiği için çarpılır.
DENEYSEL VE TEORİK OLASILIK
Gözlenen Sıklık ile Matematiksel Model
Teorik olasılık, mümkün sonuçların matematiksel modelinden; deneysel olasılık ise yapılan denemelerdeki göreli sıklıktan elde edilir.
Deneysel olasılık = olayın gerçekleşme sayısı / toplam deneme sayısı
Deneme sayısı arttıkça deneysel değerin teorik olasılığa yaklaşması beklenir; ancak sonlu sayıda denemede iki değerin eşit olması zorunlu değildir.
Örnek - 17
Bir zar 80 kez atıldığında yüzlerin gelme sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir. Bir sonraki atışta asal sayı gelmesinin deneysel olasılığı kaçtır?
80 zar atışında yüzlerin gözlenen sıklıkları.
A) 2/5
B) 9/20
C) 1/2
D) 11/20
E) 3/5
Asal yüzler 2, 3 ve 5’tir. Bu yüzlerin toplam sıklığı 10 + 14 + 16 = 40’tır. Deneysel olasılık 40/80 = 1/2 olur.
Cevap: C
Örnek - 18
Adil bir madeni para 100 kez atıldığında 56 kez yazı gelmiştir. Yazı olayının deneysel olasılığı teorik olasılığından kaç fazladır?
Bir nokta bir doğru parçası, bölge ya da alan üzerinden düzgün biçimde seçiliyorsa olasılık uygun ölçülerin oranıdır. Doğru parçasında uzunluk, düzlemsel bölgede alan karşılaştırılır.
Örnek - 19
0 ≤ x ≤ 12 aralığından rastgele bir x reel sayısı seçiliyor. x2 − 7x + 10 < 0 olma olasılığı kaçtır?
A) 1/6
B) 1/4
C) 1/3
D) 5/12
E) 1/2
Eşitsizlik (x − 2)(x − 5) < 0 biçimindedir ve 2 < x < 5 aralığında sağlanır. Uygun aralığın uzunluğu 3, tüm aralığın uzunluğu 12 olduğundan olasılık 3/12 = 1/4’tür.
Cevap: B
Örnek - 20
Kenar uzunlukları 12 cm, 8 cm ve 4 cm olan eş merkezli karelerden oluşan hedef tahtasına yapılan bir atışın büyük kareye isabet ettiği biliniyor. Atışın yalnız mor bölgede olma olasılığı kaçtır?
12 cm
8 cm
4 cm
A) 1/9
B) 2/9
C) 1/3
D) 4/9
E) 5/9
Mor bölge orta kare ile iç kare arasındadır. Alanı 82 − 42 = 48, büyük karenin alanı 122 = 144’tür. Olasılık 48/144 = 1/3’tür.
Cevap: C
AYT DÜZEYİNDE KARMA OLASILIK UYGULAMALARI
Sayma, Koşul ve Çok Aşamalı Model
Karma sorularda önce deneyin bütün aşamaları belirlenir. Eş olasılıklı seçimlerde kombinasyon ve permütasyon, sonuçların olasılıkları farklıysa çarpma kuralı ve ağaç modeli kullanılır. Koşul bilgisi en son değil, örnek uzay kurulurken hesaba katılır.
Örnek - 21
Aralarında Ozan ve Cüneyt’in de bulunduğu 7 kişi rastgele düz bir sıraya diziliyor. Ozan’ın Cüneyt’in solunda olduğu bilindiğine göre aralarında tam üç kişi bulunma olasılığı kaçtır?
A) 1/14
B) 2/21
C) 1/7
D) 4/21
E) 5/21
Ozan’ın solda olduğu koşulunda ikilinin yerleri C(7,2) = 21 eş olasılıklı seçimdir. Aralarında üç kişi olması için konum çiftleri (1,5), (2,6), (3,7) olmak üzere 3 tanedir. Olasılık 3/21 = 1/7’dir.
Cevap: C
Örnek - 22
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere A’dan B’ye tanımlanabilecek fonksiyonlardan biri rastgele seçiliyor. f(2) < f(4) < f(3) olma olasılığı kaçtır?
A) 2/25
B) 1/10
C) 3/25
D) 4/25
E) 1/5
f(2), f(4) ve f(3) değerleri beş değerden bağımsız seçilir. Sıkı sıralama için bu üç değer farklı olmalıdır. Üç farklı değer C(5,3) biçimde seçilir ve yalnız bir sıralama koşulu sağlar. f(1) serbesttir. Uygun fonksiyon sayısı C(5,3) · 5 = 50, tüm fonksiyon sayısı 54 = 625 olduğundan olasılık 50/625 = 2/25’tir.
Cevap: A
Örnek - 23
Bir elektronik tartı bir ölçümde gerçek değerden 1 kg fazla gösterme olasılığı 1/5, 1 kg eksik gösterme olasılığı 3/10 ve doğru gösterme olasılığı 1/2’dir. Gerçek ağırlıkları 80 ve 81 kg olan iki kişi birer kez tartılıyor. Ölçüm sonuçlarının eşit olma olasılığı kaçtır?
A) 1/10
B) 3/20
C) 1/5
D) 1/4
E) 3/10
Sonuçların eşit olması 80 kg olan kişi 81, diğeri 81 gösterildiğinde veya birincisi 80, ikincisi 80 gösterildiğinde mümkündür. Olasılık (1/5)(1/2) + (1/2)(3/10) = 1/10 + 3/20 = 1/4’tür.
Cevap: D
Örnek - 24
Bir oyunda adil zar atılıyor. Asal sayı gelirse Sinem, tek asal olmayan sayı gelirse Ela, çift asal olmayan sayı gelirse Deren kazanıyor. Oyunu Deren’in kazanma olasılığı kaçtır?
A) 1/6
B) 1/4
C) 1/3
D) 5/12
E) 1/2
Asal yüzler 2, 3 ve 5; tek asal olmayan yüz 1’dir. Çift asal olmayan yüzler 4 ve 6 olduğundan Deren iki sonuçta kazanır. Olasılık 2/6 = 1/3’tür.
Cevap: C
Dikkat
Soruda bütün sonuçlar eş olasılıklı değilse “uygun durum sayısı / tüm durum sayısı” doğrudan kullanılamaz. Her yol kendi olasılığıyla hesaplanmalı; yalnız eş olasılıklı sonuçlar sayma yöntemiyle oranlanmalıdır.
