AYT binom açılımı konu anlatımı kapsamında binom teoremi, genel terim, terim sayısı, belirli kuvvetin katsayısı, sabit ve ortanca terimler, katsayı toplamları işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
BİNOM TEOREMİ VE AÇILIMIN YAPISI
İki Terimli İfadenin Kuvveti
x ve y reel sayılar, n negatif olmayan tam sayı olmak üzere (x + y)n ifadesinin açılımı
biçimindedir. x’in kuvveti n’den 0’a azalırken y’nin kuvveti 0’dan n’ye yükselir. Her terimde üslerin toplamı n, açılımdaki terim sayısı ise benzer terimler birleşmeden önce n + 1’dir.
Binom katsayıları Pascal üçgeninin satırlarında görülür. Her satır 1 ile başlar ve biter; içteki her sayı üstündeki iki komşunun toplamıdır. n’inci satırdaki sayılar C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) katsayılarını verir.
1
11
121
1331
14641
15101051
1615201561
C(n,r) = C(n,n − r) simetrisi, satırın iki uçtan aynı okunmasını açıklar. C(n,r − 1) + C(n,r) = C(n + 1,r) özdeşliği ise Pascal üçgenindeki komşu toplamının cebirsel karşılığıdır.
(x − y)n açılımında ikinci terim −y kabul edilir. Bu nedenle y’nin kuvveti tek olduğunda terimin işareti negatif, çift olduğunda pozitiftir. İşaret kombinasyon katsayısına değil, (−y)r çarpanına aittir.
olur. Baştan k’ıncı terim istenirse r = k − 1 alınır. Açılımda n + 1 terim bulunduğundan baştan k’ıncı terim, sondan n + 2 − k’ıncı terimdir.
Örnek - 4
(3x2 − 2y)7 açılımında x’in azalan kuvvetlerine göre baştan dördüncü terim hangisidir?
A) −3780x8y3
B) −7560x8y3
C) 7560x8y3
D) −3780x6y4
E) −22680x8y3
Baştan dördüncü terimde r = 3’tür. T4 = C(7,3)(3x2)4(−2y)3 = 35 * 81x8 * (−8y3) = −22680x8y3 olur.
Cevap: E
Örnek - 5
(x + 2)9 açılımında sondan dördüncü terimin katsayısı kaçtır?
A) 672
B) 1344
C) 2688
D) 5376
E) 10752
Açılımda 10 terim vardır. Sondan dördüncü terim baştan 7. terimdir; r = 6 alınır. Katsayı C(9,6) * 26 = 84 * 64 = 5376’dır.
Cevap: D
Hedef Kuvvetten r Değerine Geçiş
Terimler x’in farklı kuvvetlerini içeriyorsa önce genel terimde x’in toplam üssü yazılır. Bu üs hedef kuvvete eşitlenerek r bulunur. Elde edilen r değeri 0 ≤ r ≤ n aralığında bir tam sayı değilse açılımda istenen kuvvette terim yoktur.
Genel terimdeki r, terimin sıra numarası değildir; baştan sıra numarasının bir eksiğidir. Ayrıca değişken kesirdeyse üs negatif alınmalıdır. Bu iki ayrıntı sabit terim ve hedef katsayı sorularındaki en yaygın hata kaynağıdır.
ORTANCA TERİM VE SABİT TERİM
Tek ve Çift Sayıda Terim Durumu
n çiftse n + 1 tek sayıdır ve açılımın bir ortanca terimi vardır; sıra numarası n/2 + 1’dir. n tekse n + 1 çift sayıdır ve iki ortanca terim bulunur; bunlar (n + 1)/2 ve (n + 3)/2. terimlerdir.
Örnek - 8
(x2 + 2/x)8 açılımının ortanca terimi hangisidir?
A) 560x4
B) 1120x4
C) 1120x3
D) 1792
E) 2240x4
Dokuz terimin ortancası 5. terimdir; r = 4 alınır. C(8,4)(x2)4(2/x)4 = 70 * x8 * 16/x4 = 1120x4 olur.
Cevap: B
Örnek - 9
(2x − y)7 açılımındaki iki ortanca terimin katsayıları toplamı kaçtır?
A) −560
B) −280
C) 0
D) 280
E) 840
Sekiz terimin ortancaları 4. ve 5. terimlerdir. r = 3 için katsayı C(7,3) * 24 * (−1)3 = −560; r = 4 için C(7,4) * 23 = 280’dir. Toplam −280 olur.
Cevap: B
Değişkenin Üssünü Sıfırlama
Sabit terimde değişkenin toplam üssü sıfırdır. Genel terimde bulunan üs denklemi sıfıra eşitlenir. Birden fazla değişken varsa sabit terim için bütün değişkenlerin üslerinin aynı anda sıfır olması gerekir.
Örnek - 10
(x3 + 2/x)8 açılımının sabit terimi kaçtır?
A) 896
B) 1120
C) 1344
D) 1792
E) 3584
x’in üssü 3(8 − r) − r = 24 − 4r’dir. Sabit terim için r = 6 olur. Katsayı C(8,6) * 26 = 28 * 64 = 1792’dir.
x’in üssü 2(9 − r) − r = 18 − 3r’dir. 18 − 3r = 3 eşitliği r = 5 verir. Katsayı C(9,5)(−1)5 = −126’dır.
Cevap: B
KATSAYILAR TOPLAMI VE DERECE AYRIMI
P(1) ve P(−1) Yöntemi
Bir P(x) polinomunda bütün katsayıların toplamı P(1), sabit terim P(0)’dır. Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı E, tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı T olmak üzere P(1) = E + T ve P(−1) = E − T eşitlikleri kullanılır.
P(1) = 36 = 729 ve P(−1) = (−1)6 = 1’dir. Çift dereceli katsayıların toplamı (729 + 1)/2 = 365 olur.
Cevap: C
Mutlak Katsayı Toplamı ve Terim Birleşmesi
(x − a)n gibi işaretleri dönüşümlü açılımlarda katsayıların mutlak değerleri, (x + |a|)n açılımının katsayılarıyla aynıdır. İki açılım toplandığında ya da çıkarıldığında simetriden dolayı bazı terimler yok olabilir; bu durumda görünür terim sayısı n + 1 kuralından farklılaşır.
İki açılımda x’in tek dereceli terimleri zıt işaretli, çift dereceli terimleri aynı işaretlidir. Toplamda x8, x6, x4, x2 ve sabit terim kalır; toplam 5 terim vardır.
Cevap: B
PARAMETRELİ VE TERSİNE BİNOM SORULARI
Katsayı Oranından Parametre Bulma
Parametreli açılımlarda iki farklı hedef terimin genel terimleri ayrı ayrı yazılır. Ortak kombinasyon katsayıları veya simetrik r değerleri sadeleştirilerek parametre denklemi kurulur. Parametrenin işareti ve verilen sayı kümesi sonuç seçimini belirler.
Örnek - 16
a pozitif reel sayı olmak üzere (x + a/x)8 açılımında x−4lü terimin katsayısı, x4lü terimin katsayısının 81 katıdır. Buna göre a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
Genel terimde x’in üssü 8 − 2r’dir. x4 için r = 2 ve katsayı C(8,2)a2; x−4 için r = 6 ve katsayı C(8,6)a6 olur. Kombinasyonlar eşittir. a6 = 81a2 eşitliğinden a4 = 81; a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 17
(1 + ax)7 açılımında x5li terimin katsayısı 672 olduğuna göre a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
x5li terimin katsayısı C(7,5)a5 = 21a5‘tir. 21a5 = 672 olduğundan a5 = 32 ve a = 2 bulunur.
Cevap: B
Birleşik Polinomlarda Katsayı Avı
Birden fazla binomun toplamında hedef katsayı her açılımdan ayrı bulunup toplanır. Çarpım durumunda ise hedef kuvveti oluşturan üs çiftleri belirlenir. Bütün açılımları yazmak yerine yalnız hedef dereceyi üreten terimleri seçmek işlem yükünü azaltır.
İki polinom çarpılırken hedef katsayı, yalnız aynı dereceli terimlerin çarpımından gelmez. Dereceleri toplamı hedef kuvveti veren bütün terim çiftleri hesaba katılır.
