AYT permütasyon ve kombinasyon konu anlatımı kapsamında saymanın temel ilkeleri, faktöriyel, permütasyon, tekrarlı ve dairesel sıralama, kombinasyon, ızgara yolları ve kısıtlı sayma problemleri işlenecektir. AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
SAYMANIN TEMEL İLKELERİ VE FAKTÖRİYEL
Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Bir iş birbirini dışlayan farklı yollardan yapılabiliyorsa seçenek sayıları toplanır. İş, art arda tamamlanması gereken aşamalardan oluşuyorsa her aşamadaki seçenek sayıları çarpılır. “Ya bu yol ya öteki yol” toplama; “önce bunu, sonra şunu” çarpma fikrini taşır.
Alternatif yollarDurumlardan yalnız biri gerçekleşir. Sonuçlar toplanır.
Ardışık kararlarHer karar bir sonrakiyle birlikte gerçekleşir. Seçenekler çarpılır.
Kısıtlı adımlarHer aşamada kalan uygun seçenek sayısı yeniden belirlenir.
Örnek - 1
A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. Ayrıca A kentinden C kentine, B’ye uğramayan 2 doğrudan yol bulunmaktadır. A’dan C’ye kaç farklı biçimde gidilebilir?
A) 9
B) 12
C) 14
D) 18
E) 24
B üzerinden gidilen yollar için 3 × 4 = 12 seçenek vardır. Doğrudan 2 yol bu durumla aynı anda gerçekleşmediği için toplanır: 12 + 2 = 14.
Cevap: C
Örnek - 2
0, 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak rakamları farklı beş basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?
A) 240
B) 288
C) 300
D) 312
E) 360
Son basamak 0 ise ilk basamak için 5, kalan üç basamak için 4 × 3 × 2 seçenek vardır: 120. Son basamak 2 veya 4 ise 2 seçenek; ilk basamak için sıfır ve seçilen son rakam dışında 4 seçenek; orta basamaklar için 4 × 3 × 2 seçenek bulunur: 2 × 4 × 24 = 192. Toplam 120 + 192 = 312’dir.
Cevap: D
Faktöriyel ve Ardışık Çarpımlar
n pozitif tam sayı olmak üzere n! = n(n − 1)(n − 2)…2·1 ve 0! = 1’dir. Faktöriyel ifadelerde bütün çarpımı açmak yerine büyük faktöriyeli küçük olanın seviyesine kadar açmak daha güvenlidir. Örneğin (n + 2)!/n! = (n + 2)(n + 1) olur.
Örnek - 3
n pozitif tam sayı ve (n + 1)!/(n − 1)! = 72 olduğuna göre n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
(n + 1)! = (n + 1)n(n − 1)! olduğundan oran n(n + 1)’e eşittir. n(n + 1) = 72 denklemini sağlayan pozitif tam sayı n = 8’dir.
Cevap: C
Örnek - 4
0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarıyla, rakamları farklı ve 40.000’den büyük kaç beş basamaklı sayı yazılabilir?
A) 720
B) 900
C) 960
D) 1080
E) 1200
İlk basamak 4, 5 veya 6 olabilir: 3 seçenek. Kalan dört basamağa, geriye kalan 6 rakamdan sırasıyla 6, 5, 4 ve 3 seçim yapılır. Sonuç 3 × 6 × 5 × 4 × 3 = 1080’dir.
Cevap: D
Dikkat
Sayı oluşturma sorularında ilk basamağa sıfır gelemez. Çiftlik, tekliğe bölünebilme gibi son basamak koşulları varsa durumları son basamağa göre ayırmak çoğu kez sayımı sadeleştirir.
PERMÜTASYON VE DOĞRUSAL SIRALAMA
n Elemandan r Tanesini Seçip Sıralama
Bir seçimde sıra sonucu değiştiriyorsa permütasyon kullanılır. n farklı elemandan r tanesinin sıralanma sayısı P(n,r) = n!/(n − r)! bağıntısıyla bulunur. Tamamı sıralanıyorsa P(n,n) = n! olur.
Elemanları seçn elemandan r tanesi kullanılacak.
→
Sırayı kontrol etYer değişimi yeni sonuç oluşturuyor.
→
Permütasyonu uygulaP(n,r) = n!/(n − r)!
Örnek - 5
P(n,3) = 10·P(n,2) olduğuna göre n kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
P(n,3) = n(n − 1)(n − 2), P(n,2) = n(n − 1)’dir. Ortak çarpanlar sadeleşince n − 2 = 10 ve n = 12 bulunur.
Cevap: C
Blok, Boşluk ve Tümleyeni Sayma
Yan yana bulunması gereken elemanlar tek bir blok kabul edilir; blok içi sıralama ayrıca çarpılır. Yan yana olmama koşulunda ise ya bütün sıralamalardan yan yana olanlar çıkarılır ya da önce ayırıcı elemanlar dizilip oluşan boşluklar seçilir. Yöntem, koşulun yapısına göre belirlenmelidir.
Örnek - 6
Birbirinden farklı 8 kitap rafa dizilecektir. Belirli 3 kitap yan yana olmak koşuluyla kaç farklı diziliş yapılabilir?
A) 2160
B) 2880
C) 3600
D) 4320
E) 5040
Üç kitap tek blok kabul edildiğinde bu blokla birlikte 6 nesne vardır ve 6! biçimde dizilir. Blok içindeki üç kitap 3! biçimde yer değiştirir. Sonuç 6!·3! = 4320’dir.
Cevap: D
Örnek - 7
7 kişi düz bir sıraya dizilecektir. Belirli A ve B kişileri yan yana olmayacağına göre kaç farklı diziliş vardır?
A) 2880
B) 3240
C) 3360
D) 3600
E) 4320
Bütün dizilişler 7! tanedir. A ve B tek blok kabul edilirse blokla birlikte 6 nesne 6! biçimde, A ile B kendi arasında 2 biçimde sıralanır. İstenen sayı 7! − 2·6! = 5040 − 1440 = 3600’dür.
Cevap: D
Örnek - 8
8 kişi düz bir sıraya diziliyor. A, B ve C’nin soldan sağa doğru kendi aralarındaki sırası A–B–C olmak koşuluyla kaç diziliş yapılabilir?
A) 3360
B) 5040
C) 6720
D) 10080
E) 20160
8 kişinin bütün dizilişleri 8!’dir. A, B ve C’nin kendi aralarında 3! olası göreli sırası vardır ve bunlardan yalnız biri uygundur. Bu nedenle 8!/3! = 6720 bulunur.
Cevap: C
Örnek - 9
4 kadın ve 3 erkek, aynı cinsiyetten iki kişi yan yana gelmeyecek biçimde bir sıraya dizilecektir. Kaç farklı diziliş mümkündür?
KEKEKEK
A) 72
B) 96
C) 120
D) 144
E) 288
K harfi kadın, E harfi erkek yerlerini gösterir. Sayılar 4 ve 3 olduğu için tek mümkün cinsiyet düzeni K–E–K–E–K–E–K’dir. Kadınlar kendi yerlerine 4!, erkekler 3! biçimde yerleşir. Sonuç 4!·3! = 144’tür.
Cevap: D
Örnek - 10
7 kişi düz bir sıraya dizilecektir. A uçlardan birinde bulunacak, B ile C yan yana bulunmayacaktır. Kaç farklı diziliş vardır?
A) 720
B) 840
C) 900
D) 960
E) 1080
A için 2 uç seçeneği vardır. Kalan 6 kişinin bütün dizilişleri 6!, B ile C’nin yan yana olduğu dizilişler 2·5!’tir. Sonuç 2·(6! − 2·5!) = 2·480 = 960’tır.
Cevap: D
Dikkat
“Seçiliyor” sözcüğü her zaman kombinasyon anlamına gelmez. Başkan ve yardımcının belirlenmesi gibi görevlerin farklı olduğu seçimlerde kişiler yer değiştirince sonuç değişir; bu nedenle sıralama hesaba katılır.
TEKRARLI VE DAİRESEL PERMÜTASYON
Özdeş Elemanlarla Sıralama
n elemanın içinde sırasıyla r1, r2, …, rk tane özdeş eleman bulunuyorsa farklı diziliş sayısı n!/(r1!r2!…rk!) olur. Bölme işlemi, özdeş elemanların kendi aralarındaki yer değişimlerinin yeni sonuç oluşturmamasından kaynaklanır.
Örnek - 11
MATEMATİK kelimesinin harfleri yer değiştirilerek kaç farklı dokuz harfli diziliş oluşturulabilir?
A) 22680
B) 30240
C) 40320
D) 45360
E) 90720
Kelime 9 harflidir; M, A ve T harflerinin her biri ikişer kez geçer. Farklı diziliş sayısı 9!/(2!·2!·2!) = 45360’tır.
Cevap: D
Örnek - 12
MATEMATİK kelimesinin harfleri, bütün ünlüler yan yana olacak biçimde kaç farklı sıralanabilir?
A) 1080
B) 1440
C) 1800
D) 2160
E) 4320
Ünlüler A, A, E, İ bir bloktur ve blok içinde 4!/2! = 12 diziliş vardır. Ünlü bloğu ile M, M, T, T, K toplam 6 nesne oluşturur; bunların dizilişi 6!/(2!·2!) = 180’dir. Sonuç 180·12 = 2160’tır.
Cevap: D
Dairesel Sıralama
Yuvarlak masa çevresinde yalnız dönmeyle elde edilen oturuşlar aynı kabul edilir. Bu nedenle n farklı kişinin dairesel sıralama sayısı (n − 1)!’dir. Bir kişi sabitlenip diğerleri onun çevresine dizilerek dönme tekrarları ortadan kaldırılır. Ayna görüntülerinin de aynı kabul edildiği kolye-bileklik türü sorular ayrıca değerlendirilir.
Örnek - 13
8 kişi yuvarlak bir masa çevresine oturacaktır. A ile B yan yana olmak koşuluyla kaç farklı oturma düzeni vardır?
A) 720
B) 1080
C) 1200
D) 1440
E) 2880
A ve B tek blok kabul edildiğinde çevrede 7 nesne vardır; dairesel diziliş sayısı 6!’dir. A ile B blok içinde 2 biçimde yer değiştirir. Sonuç 2·6! = 1440’tır.
Cevap: D
Örnek - 14
Dört evli çift yuvarlak bir masa çevresine, kadınlar ve erkekler dönüşümlü olacak biçimde kaç farklı oturabilir?
EKEKEKEK
A) 72
B) 96
C) 120
D) 144
E) 288
Şekilde E erkek, K kadın yerlerini gösterir. Erkekler dairesel olarak (4 − 1)! = 6 biçimde oturur. Aralarındaki dört boşluğa kadınlar 4! biçimde yerleşir. Sonuç 6·24 = 144’tür.
Cevap: D
KOMBİNASYON VE SEÇİM PROBLEMLERİ
Sırasız Seçim ve Kombinasyon Özellikleri
Bir grupta yalnız kimlerin seçildiği önemli, seçilme sırası önemsizse kombinasyon kullanılır. n farklı elemandan r tanesini seçme sayısı C(n,r) = n!/[r!(n − r)!]’dir. C(n,r) = C(n,n − r) eşitliği, seçilenleri belirlemekle dışarıda kalanları belirlemenin aynı sayıda sonuç vermesini anlatır.
Durum
Sıra etkili mi?
Model
Üç kişilik ekip seçmek
Hayır
C(n,3)
Başkan, yardımcı ve yazman belirlemek
Evet
P(n,3)
Ekibi seçip başkanını belirlemek
Kısmen
C(n,r)·r
Örnek - 15
C(n,2) = 45 olduğuna göre n kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 15
n(n − 1)/2 = 45 olduğundan n(n − 1) = 90’dır. Ardışık pozitif tam sayılar 10 ve 9 olduğuna göre n = 10 bulunur.
Cevap: B
Örnek - 16
C(10,3) + C(10,4) işleminin sonucu kaçtır?
A) 210
B) 252
C) 300
D) 330
E) 462
Pascal özdeşliğine göre C(n,r − 1) + C(n,r) = C(n + 1,r). Bu nedenle C(10,3) + C(10,4) = C(11,4) = 330’dur.
Cevap: D
Zorunlu, Yasak ve En Az Koşulları
Zorunlu kişiler önce seçime yerleştirilir; yasak kişiler aday havuzundan çıkarılır. “En az” ve “en çok” koşullarında birbirini dışlayan durumlar ayrı ayrı sayılıp toplanabilir. Uygun olmayan durum sayısı daha azsa tümleyen yöntemi daha kısa çözüm verir.
Örnek - 17
6 kadın ve 5 erkek arasından en az 2 kadın bulunan 5 kişilik bir ekip kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 401
B) 420
C) 431
D) 441
E) 462
Bütün 5 kişilik ekipler C(11,5) = 462’dir. Uygun olmayanlar hiç kadın içermeyen C(5,5) = 1 ekip ile tam 1 kadın içeren C(6,1)·C(5,4) = 30 ekiptir. Sonuç 462 − 1 − 30 = 431’dir.
Cevap: C
Örnek - 18
10 kişilik bir gruptan 4 kişilik ekip seçilecektir. Belirli A ve B kişileri ya birlikte ekipte bulunacak ya da ikisi de ekipte bulunmayacaktır. Kaç ekip seçilebilir?
A) 84
B) 90
C) 98
D) 112
E) 126
A ve B birlikte seçilirse kalan 2 kişi diğer 8 kişiden C(8,2) biçimde seçilir. İkisi de seçilmezse 4 kişi 8 kişiden C(8,4) biçimde seçilir. Toplam 28 + 70 = 98’dir.
Cevap: C
Örnek - 19
8 kişilik bir gruptan başkan, başkan yardımcısı ve bu ikisinden farklı bir denetçi belirlenecektir. Kaç farklı görevlendirme yapılabilir?
A) 168
B) 280
C) 320
D) 336
E) 560
Başkan ve yardımcı için sıra önemlidir: P(8,2) = 56. Kalan 6 kişiden denetçi seçilir. Sonuç 56·6 = 336’dır.
Cevap: D
Dikkat
C(n,r) ile P(n,r) arasındaki fark yalnız formül farkı değildir. Aynı kişiler farklı sıraya geçtiğinde yeni bir sonuç doğuyorsa seçimden sonra sıralama çarpanı da bulunmalıdır.
IZGARA, GEOMETRİ VE DAĞITMA UYGULAMALARI
En Kısa Yol ve Belirli Noktadan Geçme
Bir ızgarada en kısa yol, gerekli sağ ve yukarı adımlarının sıralanmasıdır. Örneğin 5 sağ ve 4 yukarı adımdan oluşan yol sayısı 9!/(5!4!) = C(9,4)’tür. Belirli bir noktadan geçme koşulunda başlangıçtan o noktaya ve o noktadan bitişe giden yol sayıları çarpılır.
Örnek - 20
A noktasından B noktasına yalnız sağa ve yukarı hareket edilerek gidilecektir. C noktası, A’dan 2 birim sağda ve 1 birim yukarıdadır; B ise A’dan 5 birim sağda ve 4 birim yukarıdadır. C’den geçen kaç en kısa yol vardır?
ACB
A) 40
B) 50
C) 60
D) 72
E) 90
A’dan C’ye 2 sağ, 1 yukarı adımı C(3,1) = 3 biçimde sıralanır. C’den B’ye 3 sağ, 3 yukarı adımı C(6,3) = 20 biçimde sıralanır. Çarpım 3·20 = 60’tır.
Cevap: C
Örnek - 21
A’dan B’ye yalnız sağa ve yukarı gidilen en kısa yollarda 5 sağ, 4 yukarı adımı gerekmektedir. A’dan 2 birim sağda ve 2 birim yukarıdaki D noktasından geçmek yasaktır. Kaç yol kullanılabilir?
A×DB
A) 56
B) 60
C) 64
D) 66
E) 70
Bütün yollar C(9,4) = 126’dır. D’den geçen yollar A–D için C(4,2) = 6, D–B için 3 sağ ve 2 yukarıdan C(5,2) = 10; toplam 60’tır. Yasak noktadan geçmeyen yollar 126 − 60 = 66’dır.
Cevap: D
Noktalardan Geometrik Şekil Sayma
Köşeleri verilen noktalardan seçilen üçgen sayılırken üç noktanın doğrusal olmaması gerekir. Önce bütün üçlüler seçilir; aynı doğru üzerinde kalan ve üçgen oluşturmayan üçlüler çıkarılır. Çember üzerindeki noktalardan seçilen her dört farklı nokta ise bir dörtgen belirler.
Örnek - 22
Paralel iki doğrunun birinde 5, diğerinde 4 nokta işaretlidir. Aynı doğru üzerindeki noktalar dışında herhangi üç nokta doğrusal değildir. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen vardır?
A) 60
B) 64
C) 68
D) 70
E) 74
Dokuz noktadan seçilen bütün üçlüler C(9,3) = 84’tür. Üst doğru üzerindeki C(5,3) = 10 ve alt doğru üzerindeki C(4,3) = 4 üçlü üçgen oluşturmaz. Sonuç 84 − 10 − 4 = 70’tir.
Cevap: D
Örnek - 23
Bir çember üzerinde 12 farklı nokta işaretlenmiştir. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç dörtgen çizilebilir?
A) 330
B) 440
C) 480
D) 495
E) 660
Çember üzerindeki herhangi dört farklı nokta bir dörtgen oluşturur. Bu nedenle sayı C(12,4) = 495’tir.
Cevap: D
Dağıtma ve Boş Kalmama Koşulu
Özdeş nesnelerin kutulara dağıtılmasında kutulardaki adetler önemlidir; her kutunun en az bir nesne alması koşulu varsa önce her kutuya bir nesne verilir. Farklı nesnelerde ise her nesne için kutu seçimi yapılır; boş kutu yasaksa tümleyen ya da içerme-dışlama yöntemi kullanılır.
Örnek - 24
Birbirinin aynı 10 kalem, dört öğrenciye her öğrenci en az bir kalem alacak biçimde kaç farklı dağıtılabilir?
A) 56
B) 72
C) 84
D) 90
E) 120
Her öğrenciye önce birer kalem verilir; kalan 6 özdeş kalem dört öğrenci arasında sıfır da alabilecek biçimde dağıtılır. Pozitif çözüm sayısı doğrudan C(10 − 1,4 − 1) = C(9,3) = 84’tür.
Cevap: C
Örnek - 25
Birbirinden farklı 5 hediye, üç çocuğa her çocuk en az bir hediye alacak biçimde kaç farklı dağıtılabilir?
A) 120
B) 135
C) 144
D) 150
E) 180
Koşulsuz dağıtım 35 = 243’tür. Belirli bir çocuğun hiç almadığı dağıtımlar 25; üç çocuk için 3·25‘tir. İki belirli çocuğun boş kaldığı durumlar üç kez fazladan çıkarıldığı için 3 eklenir. Sonuç 243 − 96 + 3 = 150’dir.
Cevap: D
AYT DÜZEYİNDE KARMA SAYMA PROBLEMLERİ
Sıralama ile Seçimi Birlikte Kullanma
Karma sorularda tek bir formül bütün çözümü vermez. Önce seçilecek kişiler veya nesneler belirlenir, sonra seçilenlerin görevleri ya da konumları sıralanır. Birbirini dışlayan durumlar en son toplanır; aynı sonucu iki kez saymamak için durumların sınırları açık tutulur.
Örnek - 26
5 kadın ve 4 erkek bir sıraya dizilecektir. Hiçbir iki kadın yan yana gelmeyeceğine göre kaç farklı diziliş vardır?
A) 1440
B) 2160
C) 2400
D) 2880
E) 4320
Önce 4 erkek 4! biçimde dizilir ve çevrelerinde 5 boşluk oluşur. Beş kadının yan yana gelmemesi için bütün boşluklara birer kadın yerleşmelidir; kadınlar 5! biçimde sıralanır. Sonuç 4!·5! = 2880’dir.
Cevap: D
Örnek - 27
6 harf arasından farklı 3 harf ve 5 rakam arasından farklı 3 rakam seçilerek önce harflerin, sonra rakamların yer aldığı altı karakterli kodlar oluşturulacaktır. Kaç kod yazılabilir?
A) 3600
B) 4800
C) 6000
D) 7200
E) 9000
Harfler seçilip sıralandığı için P(6,3) = 120, rakamlar için P(5,3) = 60 seçenek vardır. İki bölüm birlikte kullanıldığından 120·60 = 7200 kod oluşur.
Cevap: D
Örnek - 28
7 farklı kitaptan 4’ü seçilip rafa dizilecektir. Belirli A kitabı seçilecek, belirli B kitabı seçilmeyecektir. Kaç diziliş yapılabilir?
A) 180
B) 240
C) 300
D) 360
E) 420
A seçime sabitlenir, B havuzdan çıkarılır. Kalan 5 kitaptan 3’ü C(5,3) biçimde seçilir; seçilen dört kitap 4! biçimde dizilir. Sonuç C(5,3)·4! = 10·24 = 240’tır.
Cevap: B
Kısmi Sıralama ve Öncelik Koşulları
Bazı sorularda bütün nesnelerin kendi iç sırası sabittir; yalnız farklı dizilerin birbirine karışma biçimleri sayılır. Bu durumda toplam yerlerden bir dizinin konumlarını seçmek yeterlidir. Öncelik bağıntıları küçük bir şema ile görünür hâle getirildiğinde gereksiz durum ayırmaları azalır.
Örnek - 29
A serisinin dört filmi A1, A2, A3, A4; B serisinin üç filmi B1, B2, B3 sırasıyla izlenecektir. Her seri kendi iç sırasını korumak koşuluyla yedi film kaç farklı sırada izlenebilir?
A₁→A₂→A₃→A₄
B₁→B₂→B₃
A) 21
B) 28
C) 35
D) 42
E) 70
Yedi konumdan A serisine ait dört konum seçildiğinde A filmlerinin sırası ve kalan konumlardaki B filmlerinin sırası zorunlu olarak belirlenir. Sonuç C(7,4) = 35’tir.
Cevap: C
Örnek - 30
Bir yarışmada 9 kişiden 4 kişilik final grubu seçilecek, ardından bu gruptan bir kaptan ve bir sözcü belirlenecektir. Kaptan ile sözcü farklı kişiler olduğuna göre kaç farklı sonuç oluşur?
A) 756
B) 1008
C) 1260
D) 1512
E) 3024
Final grubu C(9,4) = 126 biçimde seçilir. Seçilen dört kişiden kaptan ve sözcü P(4,2) = 12 biçimde belirlenir. Toplam 126·12 = 1512’dir.
Cevap: D
Dikkat
Bir problemi çözdükten sonra sayılan sonuçların gerçekten birbirinden farklı olup olmadığı kontrol edilmelidir. Özdeş elemanları farklıymış gibi sıralamak, dairesel dizilişleri doğrusal saymak veya aynı ekibi görev sırasıyla yeniden saymak en yaygın fazla sayma nedenleridir.
Permütasyon ve kombinasyon sorularında güvenilir çözüm sırası; olayın aşamalarını ayırmak, sıranın etkisini belirlemek, zorunlu-yasak koşulları uygulamak ve yalnız birbirini dışlayan durumları toplamaktır. Bu düzen kurulduğunda uzun görünen AYT soruları, birkaç kontrollü sayma adımına dönüşür.
