AYT karmaşık sayılar konu anlatımı; sanal birimden karmaşık düzleme, eşlenikten dört işleme ve gerçek katsayılı denklemlerde eşlenik kök ilişkisine kadar konunun bütün temel bağlantılarını kapsar. Karmaşık sayılarda başarı, yalnız i2 = −1 eşitliğini bilmeye değil; reel ve sanal kısımları ayrı okuyup cebirsel koşulları birlikte yürütmeye dayanır.
Bu yazıda tanımlar, bağıntılar ve karmaşık düzlem yorumları AYT düzeyindeki özgün sorularla doğrudan eşleştirilmiştir. Böylece üs döngüsü, eşlenik, bölüm, uzaklık ve denklem soruları birbirinden kopuk kurallar olarak değil, aynı sayı sisteminin parçaları olarak ele alınır.
KARMAŞIK SAYI KAVRAMI VE SANAL BİRİM
Karmaşık Sayıya Neden İhtiyaç Duyulur?
x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılarda çözümü yoktur. i2 = −1 olacak biçimde tanımlanan i sanal birimi, bu denklemin köklerini i ve −i olarak ifade etmeyi sağlar. a ve b gerçek sayılar olmak üzere
z = a + bi
biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir. Re(z) = a sayının reel kısmını, Im(z) = b ise sanal kısmının katsayısını gösterir. Im(z), bi değil b’dir. b = 0 olduğunda z bir gerçek sayıdır; bu nedenle gerçek sayılar kümesi karmaşık sayıların alt kümesidir.
Doğal sayılarN
⊂
Tam sayılarZ
⊂
Gerçek sayılarR
⊂
Karmaşık sayılarC
Örnek - 1
m ve n gerçek sayılar olmak üzere
(2m − 1) + (n + 3)i = (m + 4) + (2n − 1)i
eşitliği veriliyor. Buna göre m*n kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 25
Reel kısımların eşitliğinden 2m − 1 = m + 4, dolayısıyla m = 5 bulunur. Sanal kısım katsayıları eşitlenirse n + 3 = 2n − 1 ve n = 4 olur. Çarpım 20’dir.
Cevap: C
Dikkat
z = a + bi için sanal kısım Im(z) = b’dir. “Sanal terim” bi iken “sanal kısım” yalnız b katsayısını ifade eder.
i’nin Kuvvetleri ve Dörtlü Döngü
i’nin tam sayı kuvvetleri dört adımda tekrar eder:
Üsün 4 ile bölümünden kalan
Kuvvetin değeri
0
1
1
i
2
−1
3
−i
Ardışık dört kuvvetin toplamı sıfırdır. Uzun toplamlar önce tam dörtlü gruplara ayrılır, yalnız artan terimler hesaplanır.
Örnek - 2
i37 + i58 − i83
işleminin sonucu kaçtır?
A) −1
B) −1 + 2i
C) 1 − 2i
D) 2i
E) 1 + 2i
37, 58 ve 83 sayılarının 4 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 2 ve 3’tür. İfade i + (−1) − (−i) = −1 + 2i olur.
Cevap: B
Örnek - 3
i + i2 + i3 + … + i2026
toplamı kaçtır?
A) −1 − i
B) −1
C) −1 + i
D) i
E) 1 + i
İlk 2024 terim 506 tam dörtlü grup oluşturur ve toplamları sıfırdır. Kalan terimler i2025 + i2026 = i − 1 olduğundan sonuç −1 + i’dir.
Cevap: C
KARMAŞIK SAYILARDA EŞİTLİK VE DÖRT İŞLEM
Toplama, Çıkarma ve Katsayı Karşılaştırma
z = a + bi ve w = c + di ise toplama ve çıkarma işlemlerinde reel kısımlar kendi aralarında, sanal kısım katsayıları kendi aralarında işleme alınır:
z ± w = (a ± c) + (b ± d)i
Örnek - 4
z + (2 − i) = 5 + 4i olduğuna göre z*(2 − i) çarpımının reel ve sanal kısımları toplamı kaçtır?
A) 11
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
z = 3 + 5i’dir. (3 + 5i)*(2 − i) = 6 − 3i + 10i − 5i2 = 11 + 7i bulunur. Reel ve sanal kısımların toplamı 18’dir.
Cevap: D
Çarpma ve Özel Kuvvetler
Çarpma işleminde dağılma özelliği uygulanır ve i2 görülen her yerde −1 yazılır. Özellikle (1 + i)2 = 2i ve (1 − i)2 = −2i eşitlikleri yüksek kuvvetleri hızlandırır.
Örnek - 5
(1 + i)8 + (1 − i)8
işleminin sonucu kaçtır?
A) −32
B) −16
C) 0
D) 16
E) 32
(1 + i)2 = 2i olduğundan (1 + i)4 = −4 ve (1 + i)8 = 16’dır. Eşlenik ifade için de sekizinci kuvvet 16 olur. Toplam 32’dir.
Cevap: E
Eşlenik ve Temel Bağıntılar
z = a + bi sayısının eşleniği z = a − bi’dir. Eşlenik alma, sanal kısmın işaretini değiştirir; karmaşık düzlemde iki nokta gerçek eksene göre simetriktir.
z = 3 + 2i ve eşleniği aynı reel kısma, zıt işaretli sanal kısımlara sahiptir.
Toplamz + z = 2Re(z)
Farkz − z = 2Im(z)i
Çarpımz*z = a2 + b2
İki kez eşlenik(z) = z
Örnek - 6
z + z = 6, z*z = 13 ve Im(z) > 0 olduğuna göre z2 sayısının reel ve sanal kısımları toplamı kaçtır?
A) 7
B) 12
C) 13
D) 17
E) 25
z = a + bi olsun. 2a = 6’dan a = 3; a2 + b2 = 13 ve b > 0 koşullarından b = 2 bulunur. z2 = (3 + 2i)2 = 5 + 12i olduğundan istenen toplam 17’dir.
Cevap: D
Örnek - 7
z − z = 6i, z*z = 25 ve Re(z) > 0 olduğuna göre 25*Re(1/z) kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
2bi = 6i olduğundan b = 3’tür. a2 + 9 = 25 ve a > 0 koşulları a = 4 verir. 1/z = z/(z*z) = (4 − 3i)/25 olduğundan 25*Re(1/z) = 4’tür.
Cevap: B
Bölme ve Paydayı Gerçek Yapma
Karmaşık sayılarda bölüm, pay ve paydanın paydanın eşleniğiyle çarpılmasıyla düzenlenir:
a + bic + di = (a + bi)*(c − di)c2 + d2
Örnek - 8
z = 3 + 4i1 − 2i
olduğuna göre Re(z)*Im(z) kaçtır?
A) −4
B) −2
C) 0
D) 2
E) 4
Pay ve payda 1 + 2i ile çarpılır. Pay (3 + 4i)*(1 + 2i) = −5 + 10i, payda 5 olur. z = −1 + 2i ve istenen çarpım −2’dir.
Cevap: B
Örnek - 9
m gerçek sayı ve
z = m + 2i1 − i
olmak üzere z saf sanal sayıdır. Buna göre m + Im(z) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
z = [(m + 2i)*(1 + i)]/2 = [(m − 2) + (m + 2)i]/2 olur. Saf sanal sayı için reel kısım sıfırdır; m = 2 ve Im(z) = 2 bulunur. Toplam 4’tür.
Cevap: C
KARMAŞIK DÜZLEM, UZAKLIK VE MUTLAK DEĞER
Bir Karmaşık Sayının Düzlemde Gösterimi
z = a + bi sayısı karmaşık düzlemde (a, b) noktasıyla gösterilir. Yatay eksen gerçel, düşey eksen sanal eksendir. Sayının orijine uzaklığı ya da mutlak değeri
|z| = √(a2 + b2)
bağıntısıyla bulunur. İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık |z − w|’dir.
Örnek - 10
Aşağıdaki karmaşık düzlemde P noktası z, Q noktası w karmaşık sayısını göstermektedir.
u = z*w olduğuna göre Re(u) + Im(u) kaçtır?
A) −11
B) −5
C) −1
D) 1
E) 10
Grafikten z = −2 + 3i ve w = 4 − i okunur; dolayısıyla eşlenik w = 4 + i’dir. u = (−2 + 3i)*(4 + i) = −11 + 10i olduğundan toplam −1’dir.
Cevap: C
Örnek - 11
|z| = 10 ve z ile eşleniği arasındaki uzaklık 12 birimdir. Buna göre |Re(z)| kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
z = a + bi ise z ile eşleniğinin arasındaki uzaklık |2bi| = 2|b|’dir. 2|b| = 12 olduğundan b2 = 36’dır. |z|2 = a2 + b2 = 100 eşitliği a2 = 64 verir; |a| = 8’dir.
Cevap: D
Dikkat
z ile eşleniğinin uzaklığı 2|Im(z)| iken z’nin orijine uzaklığı |z|’dir. Bu iki uzunluk yalnız özel koşullarda birbirine eşit olabilir.
KARMAŞIK KÖKLER VE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Gerçek Katsayılı Denklemlerde Eşlenik Kök
Gerçek katsayılı bir polinomun gerçek olmayan bir kökü a + bi ise a − bi de köktür. Bu iki kökün toplamı 2a, çarpımı a2 + b2 olduğundan kökleri bilinen monik ikinci dereceden denklem
x2 − 2ax + (a2 + b2) = 0
biçiminde kurulur.
Örnek - 12
a ve b gerçek sayılar olmak üzere x2 + ax + b polinomunun bir kökü 2 − 3i’dir. Buna göre a + b kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 11
E) 13
Diğer kök 2 + 3i’dir. Kökler toplamı 4 = −a olduğundan a = −4; kökler çarpımı 22 + 32 = 13 olduğundan b = 13’tür. Toplam 9’dur.
Cevap: C
Negatif Diskriminant ve Karmaşık Çözüm
Δ < 0 olduğunda √Δ = i√(−Δ) yazılır. Böylece a, b ve c gerçek olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri
Δ = 36 − 52 = −16’dır. Kökler (6 ± 4i)/2 = 3 ± 2i olur. Sanal kısımlar 2 ve −2 olduğundan çarpımları −4’tür.
Cevap: B
Karmaşık Katsayılı Denklemler
Katsayılardan biri karmaşık olduğunda eşlenik kök zorunluluğu yoktur. Kökler doğrudan verilmişse Vieta bağıntıları karmaşık sayılarda da geçerlidir.
Örnek - 14
x2 − mx + n = 0 denkleminin kökleri 1 + 2i ve 3 − i’dir. Buna göre m + n sayısının reel ve sanal kısımları toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
m kökler toplamıdır: m = 4 + i. n kökler çarpımıdır: (1 + 2i)*(3 − i) = 5 + 5i. Böylece m + n = 9 + 6i ve istenen toplam 15’tir.
Cevap: E
Örnek - 15
Gerçek katsayılı, başkatsayısı 1 olan dördüncü dereceden P(x) polinomunun köklerinden ikisi i ve 2i’dir. Buna göre P(1) kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Gerçek katsayılar nedeniyle −i ve −2i de köktür. P(1) = (1 − i)*(1 + i)*(1 − 2i)*(1 + 2i) = 2*5 = 10 bulunur.
Cevap: E
AYT DÜZEYİNDE BİRLEŞİK UYGULAMALAR
Fonksiyonlarda i Döngüsünü Kullanma
Örnek - 16
f(z) = z2025 + z2026 + z2027 olduğuna göre f(i) kaçtır?
A) −1 − i
B) −1
C) −i
D) 0
E) 1
i2025 = i, i2026 = −1 ve i2027 = −i’dir. Toplam −1 olur.
Cevap: B
Negatif Sayılarda Kök İşlemi
Pozitif a ve b için √(−a) = i√a’dır. Bu nedenle √(−a)*√(−b) = −√(ab) olur. Gerçek sayılarda kullanılan √a*√b = √(ab) kuralı, iki negatif sayı için doğrudan uygulanamaz.
Örnek - 17
a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. √(−a)*√(−b) = −√(ab)
II. √[(−4)*(−9)] = √(−4)*√(−9)
III. √(−1) = i ve i2 = −1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III
I ve III doğrudur. II’de sol taraf √36 = 6 iken sağ taraf (2i)*(3i) = −6’dır. Gerçek sayılardaki kök çarpma kuralı iki negatif çarpana bu biçimde taşınamaz.
Cevap: D
z ve Eşleniğini Birlikte İçeren Denklemler
Örnek - 18
2z − z = 5 + 9i
olduğuna göre |z|2 kaçtır?
A) 25
B) 30
C) 34
D) 36
E) 40
z = a + bi yazılırsa 2z − z = a + 3bi olur. Buradan a = 5 ve b = 3’tür. |z|2 = 52 + 32 = 34 bulunur.
Cevap: C
Mutlak Değer ile Ters Sayıyı Birleştirme
Örnek - 19
|z| = 2, Im(z) > 0 ve
z + 4z = 2
olduğuna göre Im(z) kaçtır?
A) 1
B) √2
C) √3
D) 2
E) 2√3
|z|2 = 4 olduğundan 4/z = z‘dir. Verilen eşitlik z + z = 2, yani 2Re(z) = 2 olur; Re(z) = 1’dir. |z|2 = 1 + [Im(z)]2 = 4 ve Im(z) > 0 koşullarından Im(z) = √3 bulunur.
Cevap: C
Karmaşık Kökten Parametreye Geçme
Örnek - 20
k gerçek sayı ve z gerçek olmayan bir karmaşık sayı olmak üzere z, x2 − 4x + k = 0 denkleminin bir köküdür. |z| = √13 olduğuna göre k + |Im(z)| kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Diğer kök eşleniktir. Kökler çarpımı z*z = |z|2 = 13 olduğundan k = 13’tür. Kökler toplamı 4 olduğu için Re(z) = 2’dir. 22 + [Im(z)]2 = 13 eşitliği |Im(z)| = 3 verir. İstenen toplam 16’dır.
Cevap: D
Dikkat
Bir polinomun katsayıları gerçekse gerçek olmayan kökler eşlenik çift hâlinde bulunur. Katsayılar karmaşık olduğunda bu sonuç zorunlu değildir.
Karmaşık sayılarda reel ve sanal kısımları ayırmak, uzun işlemlerin temel kontrol noktasıdır. i’nin dörtlü döngüsü üsleri; eşlenik bağıntıları çarpım, bölüm ve uzaklığı; gerçek katsayılı denklem yapısı ise karmaşık köklerin neden çiftler hâlinde geldiğini açıklar. Bu bağlantılar birlikte kurulduğunda konu, ezberlenen kurallar listesinden tutarlı bir cebir sistemine dönüşür.
