AYT ikinci dereceden denklemler konu anlatımı; ikinci dereceden olma koşulunu, çözüm kümelerini, diskriminantı, kök-katsayı ilişkilerini, köklerden yeni denklem kurmayı ve dönüştürülmüş denklemleri tek bir bütün içinde ele alır. Bu başlıkta amaç yalnız kök formülünü kullanmak değildir; kök sayısı, işaret, uzaklık, toplam, çarpım ve parametre koşullarını birlikte yönetebilmektir.
İkinci dereceden denklemler; polinom, parabol, eşitsizlik ve modelleme sorularının ortak cebir dilidir. Örnekler temel bağıntılardan başlayarak parametre, kök dönüşümü, ortak kök ve grafik yorumuna uzanan farklı düşünme düzeylerine göre sıralanmıştır.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAPISI VE ÇÖZÜM YOLLARI
İkinci Derece Olma Koşulu ve Parametre
Bir bilinmeyenli ikinci dereceden denklem, a ≠ 0 olmak üzere a·x2 + b·x + c = 0 biçimindedir. Parametreli bir ifadede önce x2‘nin katsayısını denetle; ancak bu koşuldan sonra diskriminant ve kök-katsayı bağıntılarına geç.
Örnek - 1
m bir tam sayı ve −2 ≤ m ≤ 5 olmak üzere
(m − 2)x2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0
denkleminin iki farklı pozitif gerçek kökü olduğu kaç farklı m değeri vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
m = 2 için ikinci dereceli terim yok olur; bu değer alınamaz. Diskriminant Δ = [−2(m − 2)]2 − 4(m − 2)(m − 3) = 4(m − 2)’dir. İki farklı gerçek kök için m > 2 gerekir. Kökler toplamı 2, çarpımı m − 3m − 2‘dir. İki kökün de pozitif olması için çarpımın pozitif olması gerekir; m = 3 değerinde köklerden biri 0 olduğundan bu değer elenir. Uygun değerler m = 4 ve m = 5 olmak üzere iki tanedir.
Cevap: A
Dikkat
a = 0 iken Δ = b2 − 4ac ile kök sayısı çıkarımı yapılamaz. Önce denklemin derecesini belirle, sonra uygun aracı seç.
Çarpanlara Ayırma ve Sıfır Çarpım İlkesi
İfade çarpanlara ayrılabiliyorsa her çarpanı sıfıra eşitlemek kök formülünden daha hızlıdır. Birden çok çarpan verildiğinde ise bulunan köklerle yeni bir polinom kurmak gerekebilir.
Örnek - 2
(x2 − 5x + 6)(x2 − x − 6) = 0
denkleminin farklı gerçek kökleri r1, r2, r3 olsun. Kökleri r1 + 1, r2 + 1 ve r3 + 1 olan monik üçüncü dereceden R(x) için R(2) kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
Farklı kökler −2, 2 ve 3’tür. Yeni kökler −1, 3 ve 4 olur. Dolayısıyla R(2) = (2 + 1)(2 − 3)(2 − 4) = 6 bulunur.
Cevap: C
Bilinen Kökten Parametre ve Diğer Köke Geçme
Bir kökün değeri verilmişse o değeri denkleme yazmak, parametreyi bulmanın en kısa yoludur. Kökler doğrudan istenirse kök formülü kullanılır:
x = −b ± √Δ2a
Bulunan her parametre, sorudaki pozitiflik ve farklı kök koşullarıyla yeniden sınanmalıdır.
Örnek - 3
m reel sayı olmak üzere
x2 − (2m − 1)x + m2 − 4m + 3 = 0
denkleminin pozitif ve birbirinden farklı iki kökü vardır. Köklerden biri 1 olduğuna göre diğer kök kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
x = 1 yazılırsa m2 − 6m + 5 = 0; buradan m = 1 veya m = 5 gelir. m = 1 için kökler 0 ve 1 olduğundan pozitiflik şartı bozulur. m = 5 için denklem x2 − 9x + 8 = 0 olur; diğer kök 8’dir.
Cevap: E
DİSKRİMİNANT İLE KÖK SAYISI, İŞARETİ VE KISITLAR
Diskriminant ve Gerçek Kök Sayısı
Δ = b2 − 4ac
Durum
Kökler
Parabolün x ekseniyle ilişkisi
Δ > 0
İki farklı gerçek kök
İki farklı noktada keser.
Δ = 0
Çakışık kök
Bir noktada teğettir.
Δ < 0
Gerçek kök yok
X eksenini kesmez.
Örnek - 4
m bir tam sayı olmak üzere
x2 − 2(m + 1)x + m2 − 5 = 0
denkleminin kökleri zıt işaretlidir ve kökler arasındaki uzaklık 6’dan küçüktür. Buna göre kaç farklı m değeri vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Zıt işaret için kökler çarpımı m2 − 5 negatiftir; m = −2, −1, 0, 1, 2 olur. Kökler arası uzaklığın karesi Δ’dır. Δ = 8m + 24 ve √Δ < 6 olduğundan m < 3/2 bulunur. Ortak değerler −2, −1, 0 ve 1; yani dört tanedir.
Cevap: C
Tam Sayı Kök ve Tam Kare Diskriminant
Tam sayı kök şartında diskriminantın tam kare olması gerekir. Kök formülündeki paydanın 2a olduğunu da unutmadan, tam kare koşulunu çarpan çiftleriyle birlikte çözmek gerekir.
Örnek - 5
m pozitif tam sayı olmak üzere
x2 − (m + 3)x + 2m = 0
denkleminin iki farklı tam sayı kökü vardır. Buna göre m ile büyük kökün toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Δ = (m + 3)2 − 8m = (m − 1)2 + 8 olur. Δ = n2 yazılırsa n2 − (m − 1)2 = 8’dir. Uygun çarpan çifti 2 ve 4 olduğundan m = 2, n = 3 gelir. Denklem x2 − 5x + 4 = 0; büyük kök 4 ve istenen toplam 6’dır.
Cevap: C
Kök İşareti ile Kök Uzaklığını Birleştirme
Köklerin ikisinin de pozitif olması için toplam ve çarpım pozitif; ikisinin de negatif olması için toplam negatif ve çarpım pozitif olmalıdır. Kök farkı ise (x1 − x2)2 = Δ/a2 bağıntısıyla denetlenir.
Örnek - 6
(m − 1)x2 − 2(m + 1)x + m + 3 = 0
denkleminin iki kökü de pozitif ve aralarındaki uzaklık 2 olduğuna göre m kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Δ = 16 ve x = 1 bir köktür. Diğer kök m + 3m − 1‘dir. Kök farkı |4/(m − 1)| = 2 olduğundan m = 3 veya −1 çıkar. m = −1 için diğer kök −1 olduğundan pozitiflik şartı bozulur; m = 3 uygundur.
Cevap: E
Diskriminantın Grafiksel Anlamı
Parabolün x eksenini kestiği apsisler, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleridir. Kesişim sayısı diskriminantın işaretiyle belirlenirken kesişim noktalarının apsisleri denklemin köklerini verir.
İki kesişim, iki farklı gerçek kökü gösterir; bu örnekte Δ pozitiftir.
Δ > 0İki farklı kök
→
Δ = 0Çift katlı kök
→
Δ < 0Gerçek kök yok
Dikkat
Δ > 0 yalnız gerçek köklerin varlığını söyler. Köklerin pozitif ya da negatif oluşu için kökler toplamı ve çarpımı ayrıca incelenmelidir.
KÖK-KATSAYI İLİŞKİLERİ: VİETA VE TÜRETİLMİŞ İFADELER
Kökler Toplamı, Çarpımı ve Farkın Karesi
a·x2 + b·x + c = 0 denkleminin kökleri α, β ise α + β = −b/a ve αβ = c/a’dır. Buradan α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ ve (α − β)2 = (α + β)2 − 4αβ elde edilir.
Örnek - 7
2x2 − 7x − 4 = 0 denkleminin kökleri α ve β’dir. Buna göre
Kökleri r1, r2 olan ikinci dereceden polinom k(x − r1)(x − r2) biçimindedir. k, polinomun bir noktadaki değeri verilirse bulunur.
Örnek - 11
İkinci dereceden P(x) polinomunun kökleri −2 ve 3’tür. P(4) = 18 olduğuna göre P(−1) kaçtır?
A) −18
B) −12
C) −6
D) 6
E) 12
P(x) = k(x + 2)(x − 3) olur. P(4) = 6k = 18 olduğundan k = 3’tür. P(−1) = 3·1·(−4) = −12.
Cevap: B
Kareleri Kök Olan Denklem
Yeni kökler α2, β2 ise yeni toplam (α + β)2 − 2αβ; yeni çarpım (αβ)2‘dir.
Örnek - 12
3x2 − 7x + 1 = 0 denkleminin kökleri α ve β’dir. Kökleri α2 ve β2 olan ikinci dereceden denklemin katsayıları toplamı kaçtır?
A) −43
B) −33
C) −23
D) 33
E) 43
α + β = 7/3, αβ = 1/3’tür. Yeni toplam 43/9, yeni çarpım 1/9 olur. Denklem 9x2 − 43x + 1 = 0 olduğundan katsayılar toplamı −33’tür.
Cevap: B
Köklere Sabit Ekleme
Yeni kökler α + k ve β + k ise toplam α + β + 2k, çarpım αβ + k(α + β) + k2 olur.
Örnek - 13
2x2 − 5x − 3 = 0 denkleminin kökleri α ve β’dir. Kökleri α + 2 ve β + 2 olan ikinci dereceden denklemin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
α + β = 5/2, αβ = −3/2’dir. Yeni köklerin toplamı 13/2, çarpımı 15/2 olur. Yeni denklem 2x2 − 13x + 15 = 0; katsayılar toplamı 4’tür.
Cevap: C
Ters ve İşaret Değiştirilmiş Kökler
Bir kökün işareti değiştiriliyorsa α ve β’nin sırası önemlidir. Ters köklerde ise yeni çarpım 1/(αβ), toplam (α + β)/(αβ) üzerinden kurulur.
Örnek - 14
x2 − 7x + 10 = 0 denkleminin kökleri α = 2 ve β = 5’tir. Kökleri 1/α ve −1/β olan ikinci dereceden denklemin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Yeni kökler 1/2 ve −1/5’tir. Toplam 3/10, çarpım −1/10 olur. Denklem 10x2 − 3x − 1 = 0 olduğundan katsayılar toplamı 6’dır.
Cevap: C
Grafikten Kök Okuyup Yeni Denklem Kurma
Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri köklerdir. Bu soru için kullanılan grafik, ders görselinden farklı veri seti ve farklı işlev taşır.
Örnek - 15
Aşağıdaki y = P(x) grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri α ve β’dir.
Kökleri α + β ve αβ olan monik ikinci dereceden R(x) polinomu için R(2) kaçtır?
A) −8
B) −6
C) −4
D) 4
E) 6
Grafikten α = −1, β = 4 okunur. Yeni kökler α + β = 3 ve αβ = −4’tür. R(x) = (x − 3)(x + 4) = x2 + x − 12 olur. R(2) = −6’dır.
Cevap: B
Dikkat
Kökleri α + k ve β + k olan yeni denklemde yalnız toplam değil, çarpım da değişir: αβ + k(α + β) + k2.
ORTAK KÖK VE İKİ DENKLEMİ BİRLİKTE OKUMA
Ortak Kök Koşulunu Çarpanlarla Okuma
İki denklem ortak köke sahipse aynı sayı iki denklemi de sağlar. “Yalnız bir ortak kök” ifadesi, ikinci ortak kök ihtimalinin elenmesini ister.
Örnek - 16
P(x) = x2 − (m + 1)x + m ve Q(x) = x2 − 5x + 6 denklemlerinin yalnız bir ortak kökü vardır. P’nin kökleri arasındaki uzaklık 2 olduğuna göre m kaçtır?
A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
P(x) = (x − 1)(x − m), Q(x) = (x − 2)(x − 3)’tür. |m − 1| = 2 olduğundan m = 3 veya −1 gelir. m = −1 için ortak kök yoktur; m = 3 için ortak kök yalnız 3’tür.
Cevap: E
Denklem Sistemlerinde Ortak Kök ve Ters Toplamı
Bir parametreli denklem ailesi sabit bir kök taşıyabilir. İki farklı parametre için kalan kökler karşılaştırıldığında, ortak kök ile sayı teorisi koşulları birlikte kullanılabilir.
Örnek - 17
P(x) = x2 − (m + 2)x + 2m ve Q(x) = x2 − (n + 2)x + 2n denklemlerinin her birinin iki farklı pozitif kökü vardır. m ve n farklı pozitif tam sayılar, P ile Q’nun yalnız bir ortak kökü ve 1/m + 1/n = 7/12 olduğuna göre m + n kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
P(x) = (x − 2)(x − m), Q(x) = (x − 2)(x − n)’dir. İki farklı kök şartı m, n ≠ 2’dir. 12(m + n) = 7mn eşitliğinin pozitif tam sayı çözümlerinde (2, 12) çifti köklerin farklılığına aykırıdır. Uygun çift 3 ve 4 olur; toplam 7’dir.
Cevap: C
Denklemleri Çıkararak Ortak Kökü Bulma
Baş katsayıları aynı olan iki denklemi çıkarmak, ortak kökün sağlaması gereken daha düşük dereceli bir bağıntı verir.
Örnek - 18
p ≠ q olmak üzere x2 − px + q = 0 ile x2 − qx + p = 0 denklemlerinin ortak bir gerçek kökü vardır. İlk denklemin köklerinden biri 4 olduğuna göre p2 + q2 kaçtır?
A) 17
B) 20
C) 25
D) 29
E) 41
Denklemler çıkarılırsa (q − p)(x + 1) = 0 elde edilir. p ≠ q olduğundan ortak kök −1’dir. İlk denklemin kökleri −1 ve 4 olduğundan p = 3, q = −4; sonuç 9 + 16 = 25’tir.
Cevap: C
DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ, RASYONEL VE KÖKLÜ DENKLEMLER
Yerine Koyma ile İkinci Dereceye İndirme
x4 içeren ifadelerde t = x2 dönüşümü yapılır. t çözüldükten sonra x’e dönüşte t’nin negatif olamayacağı ve pozitif-negatif kök çiftlerinin kontrol edilmesi gerekir.
Örnek - 19
x4 − 13x2 + 36 = 0
denkleminin pozitif kökleri a ve b’dir. a/b + b/a kaçtır?
A) 5/2
B) 13/6
C) 7/3
D) 5/3
E) 2
t = x2 için t2 − 13t + 36 = 0; t = 4 veya 9 bulunur. Pozitif kökler a = 2, b = 3’tür. a/b + b/a = 2/3 + 3/2 = 13/6.
Cevap: B
Rasyonel Denklemlerde Tanımsız Değerler
Paydaları sıfır yapan değerler çözüm adımlarının en başında dışlanır. Paydalar eşitlendikten sonra oluşan ikinci dereceden denklemin her kökü, bu yasak değerlerle kontrol edilir.
Örnek - 20
x − 1x + 2 + x + 2x − 1 = 103
denkleminin pozitif kökünün karesi kaçtır?
A) 9/4
B) 16/4
C) 25/4
D) 36/4
E) 49/4
x ≠ 1, −2 olmalıdır. Paydalar eşitlenirse 4x2 + 4x − 35 = 0 elde edilir. Kökler 5/2 ve −7/2’dir; ikisi de yasak değildir. Pozitif kökün karesi 25/4’tür.
Cevap: C
Köklü ve Mutlak Değerli Denklemlerde Doğrulama
Karesini alma çözüm kümesini genişletebilir. Bu nedenle bulunan aday kökler özgün denklemde tekrar denetlenmelidir.
Örnek - 21
√(2x + 3) = |x − 2|
denkleminin çözümlerinin kareleri toplamı kaçtır?
A) 26
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
Karesini alırsak 2x + 3 = (x − 2)2, yani x2 − 6x + 1 = 0 olur. Kökler 3 ± 2√2’dir ve ikisi de özgün ifadeyi sağlar. Kareler toplamı 62 − 2·1 = 34’tür.
Cevap: D
Dikkat
Rasyonel denklemlerde paydaları sıfır yapan değerleri; köklü denklemlerde ise karesini alma sonrasındaki adayları mutlaka özgün denklemde kontrol et.
MODELLEME VE GRAFİK OKUMA UYGULAMALARI
Alan Modelinden Denklem Kurma
Alan, uzunluk ve zaman sorularında denklemin cebirsel kökü ile fiziksel olarak geçerli değer aynı olmayabilir. Veriyi modele döktükten sonra birim ve işaret koşullarını uygula.
Örnek - 22
Bir dikdörtgenin kenarları ve alanı aşağıdaki gibidir.
Kısa kenarx − 2 cm
Uzun kenarx + 5 cm
Alan60 cm²
Geometrik koşulx > 2
Dikdörtgenin çevresi kaç santimetredir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
(x − 2)(x + 5) = 60 denklemi x2 + 3x − 70 = 0 verir. Kökler 7 ve −10’dur. x > 2 olduğundan x = 7 seçilir; kenarlar 5, 12 ve çevre 34 cm olur.
Cevap: D
Gerçek Yaşam Modelinde Köklerin Farkı
Bir hedef değere ulaşma zamanları, modeldeki ikinci dereceden denklemin kökleridir. Kök farkı sorulduğunda çözüm anlarını bulup farkını almak veya diskriminantı yorumlamak gerekir.
Örnek - 23
Bir ortamın sıcaklığı t dakika sonra T(t) = t2 − 8t + 20 ile modellenmektedir. Sıcaklığın 8°C olduğu iki an arasındaki süre kaç dakikadır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
T(t) = 8 için t2 − 8t + 12 = 0 olur. Çözüm anları 2 ve 6 dakikadır; aralarındaki süre 4 dakikadır.
Cevap: C
Grafikte Yatay Doğru ve Parametre
y = f(x) grafiği ile y = k doğrusunun kesişimleri f(x) = k denkleminin kökleridir. Yatay doğrunun konumu kök sayısını, denklemdeki sabit terim ise köklerin çarpımını belirler.
Örnek - 24
Aşağıdaki grafikte y = f(x) parabolü verilmiştir.
k tam sayı olmak üzere f(x) = k denkleminin iki farklı pozitif kökü vardır. Bu köklerin çarpımının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Grafikteki başlık ve işaretli noktalar f(x) = x2 − 4x + 3 bağıntısını verir. f(x) = k eşitliği x2 − 4x + (3 − k) = 0 biçimine dönüşür. İki farklı kök için Δ = 4 + 4k > 0, pozitif kökler için çarpım 3 − k > 0 gerekir. Tam sayı k değerleri 0, 1, 2; karşılık gelen kök çarpımları 3, 2 ve 1’dir. Toplam 6 bulunur.
Cevap: D
Dikkat
Alan, uzunluk ve zaman sorularında negatif ya da tanımsız kök fiziksel olarak geçersiz olabilir. Cebirsel çözümü, modelin koşuluyla son kez denetle.
BİRDEN FAZLA İLİŞKİYİ BİRLEŞTİREN AYT SORULARI
Köklere Önce Toplama, Sonra Ters Alma
Kökler hem kaydırılıp hem ters çevriliyorsa dönüşümü iki aşamada izlemek gerekir: önce α + 1 ve β + 1’in çarpımını, sonra bu çarpımın tersini bul.
Örnek - 25
Pm(x) = x2 − (m + 4)x + 3m + 3 denkleminin kökleri α ve β’dir. Kökleri 1/(α + 1) ve 1/(β + 1) olan ikinci dereceden denklemin kökler çarpımı 1/24’tür. Bu yeni denklemin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
Pm(x) = (x − 3)(x − m − 1)’dir. (α + 1)(β + 1) = 4(m + 2), dolayısıyla yeni çarpım 1/[4(m + 2)]’dir. Bu değer 1/24 ise m = 4. Yeni kökler 1/4 ve 1/6 olur; denklem 24x2 − 10x + 1 = 0, katsayılar toplamı 15’tir.
Cevap: C
Bir Denklemden İki Yeni Kök Üretme
Özgün denklemin kökler toplamı ve çarpımı, yeni bir denklemin kökleri hâline getirildiğinde iki ayrı Vieta katmanı oluşur.
Örnek - 26
Pm(x) = x2 − (m + 2)x + 2m denkleminin iki farklı pozitif kökü α ve β’dir. Kökleri α + β ve αβ olan monik R(x) polinomu için R(1) = 20 olduğuna göre R’nin katsayıları toplamı kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Pm(x) = (x − 2)(x − m) olduğundan α + β = m + 2, αβ = 2m’dir. R(1) = [1 − (m + 2)](1 − 2m) = (m + 1)(2m − 1) = 20 olur. 2m2 + m − 21 = 0 denkleminin, pozitif ve farklı kök koşulunu sağlayan çözümü m = 3’tür. R’nin kökleri 5 ve 6; R(x) = x2 − 11x + 30 ve katsayılar toplamı 20’dir.
Cevap: C
Parametreyi Kareler Toplamından Bulma
Köklerin kareleri toplamı parametreyi belirledikten sonra ters köklerin toplamı, aynı iki temel Vieta bilgisiyle hesaplanır.
Örnek - 27
2x2 − (m + 3)x + m = 0 denkleminin iki farklı pozitif kökü α ve β’dir. α2 + β2 = 11 olduğuna göre (1/α + 1/β)2 kaçtır?
A) 36/25
B) 49/25
C) 64/25
D) 81/25
E) 4
α + β = (m + 3)/2, αβ = m/2’dir. Kareler toplamı koşulu [(m + 3)2/4] − m = 11 verir; m = 5 veya −7 olur. Pozitif kök şartıyla m = 5 seçilir. Böylece α + β = 4, αβ = 5/2 ve 1/α + 1/β = 4 ÷ (5/2) = 8/5’tir. Karesi 64/25 olur.
Cevap: C
Ters Dönüşümle Başlangıç Polinomunu Geri Kurma
Yeni denklemin kökleri verildiğinde, α + 1 ve 1/β dönüşümlerini ters yönde uygula. Pozitiflik şartı, hangi yeni kökün hangi dönüşüme karşılık geldiğini belirleyebilir.
Örnek - 28
P(x) monik ikinci dereceden bir polinom ve pozitif kökleri α ile β olsun. Kökleri α + 1 ve 1/β olan denklem
4t2 − 25t + 6 = 0
olduğuna göre P(−1) kaçtır?
A) 20
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
Verilen denklemin kökleri 6 ve 1/4’tür. α pozitif olduğu için α + 1 = 6, yani α = 5; 1/β = 1/4, yani β = 4’tür. P(x) = x2 − 9x + 20 ve P(−1) = 30 bulunur.
Cevap: E
Dikkat
Kök dönüşümü sorularında yeni kökleri bulduktan sonra dönüşümü ters yönde uygula: α + 1 = 6 ise α = 5; 1/β = 1/4 ise β = 4’tür.
İkinci dereceden denklem sorularında önce denklemin derecesi belirlenir. Kök sayısını diskriminant, köklerin toplamı ve çarpımını Vieta bağıntıları açıklar. Kök dönüşümlerinde yeni toplam ve çarpım bu iki temel değerden türetilir; rasyonel, köklü ve modelleme sorularında bulunan adaylar özgün koşullarla karşılaştırılır.
