AYT POLİNOMLAR: İŞLEMLER, ÇARPANLARA AYIRMA VE BÖLME

Yazar
erdemhoca
-
0
13
AYT polinomlar işlemler çarpanlara ayırma ve bölme konu anlatımı kapağı

AYT polinomlar konu anlatımı; polinomun tanımından başlayarak derece ve katsayı ilişkilerini, işlemleri, bölme ve kalan teoremini, çarpanlara ayırmayı, köklerden polinom kurmayı ve grafik yorumunu tek bir bütün hâlinde ele alır. Polinom sorularında yalnız işlem yapmak yetmez; hangi bilginin katsayı, değer, kalan ya da kök anlamına geldiğini doğru ayırmak gerekir.

Bu konu, fonksiyon bilgisini cebirsel işlemlerle birleştirir. Özellikle P(a) gösterimi bir yandan polinomun a noktasındaki değerini, diğer yandan x − a ile bölümden kalanı verir. Aynı ilişki çarpan teoremi ve grafik kökleriyle birlikte okunduğunda uzun görünen AYT soruları kısa bir denklem sistemine dönüşür.

POLİNOMUN TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ

Polinom Nedir?

Bir değişkenli gerçek katsayılı bir polinom

P(x) = an*xn + an−1*xn−1 + … + a1*x + a0

biçimindedir. Burada üsler sıfır veya pozitif tam sayıdır. Değişken paydada, kök içinde ya da değişken bir üstte bulunuyorsa ifade polinom değildir. Katsayıların gerçek sayı olması yeterlidir; katsayının kesirli veya köklü olması polinom olmayı bozmaz.

Örnek - 1
m tam sayı olmak üzere P(x) = (m − 2)*xm+1 + x4−m + 3 ifadesinin polinom belirttiği kaç farklı m değeri vardır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Sıfır olmayan terimlerin üsleri negatif olamaz. m + 1 ≥ 0 ve 4 − m ≥ 0 olduğundan −1 ≤ m ≤ 4 bulunur. Bu aralıkta −1, 0, 1, 2, 3 ve 4 olmak üzere altı tam sayı vardır.

Cevap: C

Derece, Baş Katsayı ve Polinom Türleri

Sıfırdan farklı bir polinomda katsayısı sıfır olmayan en büyük üs polinomun derecesidir. Bu terimin katsayısı baş katsayı, x içermeyen terim sabit terimdir. Sabit ve sıfırdan farklı bir polinomun derecesi 0’dır. Sıfır polinomunda bütün katsayılar sıfırdır ve derecesi tanımsız kabul edilir.

Yalnız çift kuvvetli terimler içeren polinom çift polinom ve P(−x) = P(x); yalnız tek kuvvetli terimler içeren polinom tek polinom ve P(−x) = −P(x) eşitliğini sağlar.

Dikkat
Bir ifadenin yazılışındaki en büyük üs her zaman derece değildir. O terimin katsayısı parametreye bağlı olarak sıfır olursa derece düşer. Sıfır polinomuna ise derece atanmaz.
Örnek - 2
P(x) = (a − 2)*x5 + (a + 1)*x3 − 6 polinomunun derecesi 3 olduğuna göre P(1) kaçtır?

A) −6
B) −4
C) −3
D) 0
E) 3
Beşinci dereceli terimin yok olması için a − 2 = 0, yani a = 2 olmalıdır. Bu durumda P(x) = 3*x3 − 6 ve P(1) = −3 olur.

Cevap: C

Polinom Eşitliği

İki polinomun eşit olması için aynı kuvvetli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. Eksik görünen bir kuvvetin katsayısı sıfırdır. Bu nedenle polinom eşitliği, katsayıları karşılaştırarak parametre bulmanın en doğrudan yoludur.

Örnek - 3
P(x) = a*x2 + (b − 1)*x + 4 ve Q(x) = 2*x2 + 3*x + c polinomları eşit olduğuna göre a + b + c kaçtır?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
x2 katsayılarından a = 2, x katsayılarından b − 1 = 3 olduğundan b = 4 ve sabit terimlerden c = 4 bulunur. Toplam 10’dur.

Cevap: C

Değer Bulma ve Değişken Dönüşümü

P(a), polinomda x yerine a yazılmasıyla bulunur. P(2x − 1) gibi dönüştürülmüş bir ifade verilmişse hedeflenen iç değeri oluşturacak x seçilir. P(x + k) ifadesinden P(x)’e dönmek için x yerine x − k yazmak da aynı düşüncenin cebirsel biçimidir.

Örnek - 4
P(2x − 1) = x2 + 3*x + 1 olduğuna göre P(3) kaçtır?

A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E) 13
2x − 1 = 3 olması için x = 2 seçilir. Sağ tarafta 22 + 3*2 + 1 = 11 bulunur.

Cevap: D

KATSAYILARLA HIZLI DEĞER BULMA

Sabit Terim ve Katsayılar Toplamı

P(0) sabit terimi, P(1) bütün katsayıların toplamını verir. Bir polinomun katsayıları toplamı sorulduğunda ifadeyi açmak yerine değişkene 1 yazmak çoğu zaman yeterlidir.

Örnek - 5
P(x) = 2*x4 − 3*x3 + a*x2 + b*x + 5 ve P(1) = 7 olduğuna göre a + b kaçtır?

A) −1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
P(1) = 2 − 3 + a + b + 5 = 7 olduğundan a + b = 3 bulunur.

Cevap: D

Çift ve Tek Dereceli Katsayıların Toplamı

P(1) ile P(−1) birlikte kullanıldığında çift ve tek kuvvetli terimler ayrılır:

Çift dereceli katsayılar toplamı = P(1) + P(−1)2
Tek dereceli katsayılar toplamı = P(1) − P(−1)2
Örnek - 6
P(1) = 12 ve P(−1) = 4 olduğuna göre P(x)’in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı ile tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı arasındaki fark kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Çift dereceli toplam 8, tek dereceli toplam 4’tür. Aralarındaki fark 4 olur.

Cevap: C

Dönüştürülmüş Polinomlarda Katsayı Toplamı

Q(x) = P(ax + b), Q(x) = xk*P(x) veya Q(x) = P(x) − P(−x) gibi ifadelerde de katsayı toplamı Q(1), sabit terim Q(0) ile bulunur. Önce Q’nun tanımı korunur, ardından uygun değer yazılır.

Örnek - 7
P(1) = 4 ve P(−1) = −2 iken Q(x) = x2*P(x) − P(−x) olarak tanımlanıyor. Q(x)’in katsayıları toplamı kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
Katsayılar toplamı Q(1)’dir. Q(1) = P(1) − P(−1) = 4 − (−2) = 6 bulunur.

Cevap: D

POLİNOMLARDA İŞLEMLER VE DERECE

Toplama, Çıkarma ve Çarpma

Toplama ve çıkarmada aynı kuvvetli terimler birleştirilir. Çarpmada her terim karşı polinomdaki bütün terimlerle çarpılır; üsler toplanır ve daha sonra benzer terimler düzenlenir. Bütün ifadeyi açmak gerekmiyorsa yalnız sorulan kuvveti oluşturacak çarpımlar seçilmelidir.

Örnek - 8
P(x) = x2 − 2*x + 3 ve Q(x) = 2*x2 + x − 1 olduğuna göre P(x)*Q(x) çarpımında x2‘li terimin katsayısı kaçtır?

A) −1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
x2 terimi x2*(−1), (−2*x)*x ve 3*(2*x2) çarpımlarından gelir. Katsayı −1 − 2 + 6 = 3’tür.

Cevap: D

Derece Kuralları ve Baş Terim İptali

Sıfırdan farklı polinomlar için der[P*Q] = der[P] + der[Q] ve der[P(Q(x))] = der[P]*der[Q] olur. Toplam veya farkta derece en büyük dereceden fazla olamaz; eş dereceli baş terimler birbirini götürürse sonuç daha düşük dereceli olabilir.

Örnek - 9
der[P] = 4 ve der[Q] = 6 olduğuna göre P(x)3 + P(x)*Q(x) polinomunun derecesi kaçtır?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 18
E) 24
P3‘ün derecesi 12, P*Q’nun derecesi 10’dur. Dereceler farklı olduğu için baş terim iptali olamaz; toplamın derecesi 12’dir.

Cevap: C

Örnek - 10
P ve Q baş katsayıları 1 olan beşinci dereceden polinomlardır. der[P − Q] = 3 olduğuna göre (P − Q)*Q polinomunun derecesi kaçtır?

A) 3
B) 5
C) 8
D) 10
E) 15
P − Q’nun derecesi zaten 3 olarak verilmiştir. Çarpımın derecesi 3 + 5 = 8 olur.

Cevap: C

Dikkat
Derece toplama kuralı doğrudan çarpımda geçerlidir. P + Q veya P − Q işlemlerinde eş dereceli baş terimler yok olabileceği için yalnız derecelere bakarak kesin sonuç söylenemez.

POLİNOMLARDA BÖLME VE KALAN

Bölme Algoritması

P(x) polinomu B(x) polinomuna bölündüğünde

P(x) = B(x)*Q(x) + R(x)

eşitliği kurulur. Q(x) bölüm, R(x) kalandır ve kalan sıfır değilse der[R] < der[B] olmalıdır. Uzun bölmede her adımda bölünenin baş terimi bölenin baş terimine bölünür; bulunan terim bölümün sıradaki terimidir.

Örnek - 11
P(x) = x4 − 3*x3 + 2*x2 + 5*x − 1 polinomunun x2 − x + 1 ile bölümünden kalan nedir?

A) 3*x − 1
B) 4*x
C) 5*x + 1
D) 6*x
E) 6*x − 1
x2 − x + 1 = 0 bağıntısından x2 ≡ x − 1, x3 ≡ −1 ve x4 ≡ −x olur. P(x) bu karşılıklarla düzenlendiğinde kalan 6*x bulunur.

Cevap: D

Kalan Teoremi

P(x)’in x − a ile bölümünden kalan P(a)’dır. Bölen a*x + b biçimindeyse a*x + b = 0 denkleminin kökü olan −ba değeri polinomda kullanılır. Birinci dereceden bölenin kalanı sabittir.

Örnek - 12
P(x)’in x − 2 ile bölümünden kalan 5, x + 1 ile bölümünden kalan −4’tür. P(x)’in (x − 2)*(x + 1) ile bölümünden kalan a*x + b olduğuna göre a + b kaçtır?

A) −1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
2*a + b = 5 ve −a + b = −4 denklemleri elde edilir. Buradan a = 3 ve b = −1, dolayısıyla a + b = 2 bulunur.

Cevap: D

Örnek - 13
P(x) = 8*x3 + 12*x2 − 2*x + 5 polinomunun 2*x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) −8
B) −3
C) 3
D) 5
E) 8
2*x + 3 = 0 için x = −32 olur. Bu değer P’de kullanıldığında −27 + 27 + 3 + 5 = 8 bulunur.

Cevap: E

İkinci Dereceden Bölenlerde Kalan

İkinci dereceden bir bölen için kalan en fazla birinci derecedendir: R(x) = a*x + b. Bölen iki gerçek köke ayrılıyorsa bu köklerde P ile R aynı değeri alır. Böylece a ve b için iki denklem kurulur.

Örnek - 14
P(1) = 4 ve P(2) = 9 olduğuna göre P(x)’in x2 − 3*x + 2 ile bölümünden kalan nedir?

A) 3*x + 1
B) 4*x
C) 4*x + 1
D) 5*x − 1
E) 5*x + 1
Bölen (x − 1)*(x − 2)’dir. R(x) = a*x + b için a + b = 4 ve 2*a + b = 9 olur. a = 5, b = −1 bulunduğundan kalan 5*x − 1’dir.

Cevap: D

Dikkat
Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır. İkinci dereceden bölen için ax + b yazılabilir; x − a gibi birinci dereceden bölen için değişkenli kalan yazılamaz.

ÇARPAN TEOREMİ VE POLİNOM OLUŞTURMA

Çarpan Teoremi

P(a) = 0 ise x − a, P(x)’in çarpanıdır. Tersi de geçerlidir: x − a çarpansa a sayısı polinomun köküdür. Bir sayının kök olması ile polinomun o sayıdaki değerinin sıfır olması aynı bilgidir.

Örnek - 15
P(x) = x3 + a*x2 + b*x − 6 polinomunda x − 1 ve x − 2 çarpandır. Buna göre P(−1) kaçtır?

A) −24
B) −18
C) −12
D) 12
E) 24
P(1) = 0 denkleminden a + b = 5; P(2) = 0 denkleminden 2*a + b = −1 bulunur. Buradan a = −6 ve b = 11’dir. P(−1) = −1 − 6 − 11 − 6 = −24 olur.

Cevap: A

Kökleri Bilinen Polinomu Kurma

Kökleri r1, r2, … olan bir polinom, baş katsayı k olmak üzere k*(x − r1)*(x − r2)*… biçiminde kurulur. Aynı kök birden fazla kez verilmişse ilgili çarpanın kuvveti kökün katlılığını gösterir.

Örnek - 16
İkinci dereceden P(x) polinomunun kökleri −2 ve 3, baş katsayısı 2’dir. P(1) kaçtır?

A) −16
B) −12
C) −8
D) 8
E) 12
P(x) = 2*(x + 2)*(x − 3) olur. x = 1 için P(1) = 2*3*(−2) = −12 bulunur.

Cevap: B

Grafik, Kök ve Katlılık

P(a), y = P(x) grafiğinde x = a noktasının y değeridir. P(a) = 0 olduğunda grafik x eksenine ulaşır. Tek katlı ve genel olarak tek katlılık derecesine sahip köklerde grafik ekseni keser; çift katlı köklerde eksene dokunup aynı tarafa döner. Grafiğin x ekseniyle ilişkisi, köklerin sayısını ve katlılık türünü okumaya yardımcı olur.

Polinom grafiğinde işaretli noktalardan değer ve kök okuma gösterimi
Polinom grafiğinde değer, kök ve çarpan ilişkisinin okunması

Görselde işaretli her noktanın koordinatı doğrudan bir polinom değerini verir. Örneğin (−2, 4) noktası P(−2) = 4, (4, 0) noktası ise P(4) = 0 ve x − 4’ün bir çarpan olduğunu gösterir. Eğrinin ekseni kestiği başka noktalar varsa onlar da polinomun gerçek kökleridir.

Örnek - 17
Aşağıdaki y = P(x) grafiğinde işaretli noktalar P(−4) = 1, P(−2) = 3, P(0) = −1, P(2) = 4 ve P(4) = 0 değerlerini göstermektedir.

P x polinomunun işaretli değerlerinden kalan bulmaya yönelik grafik sorusu

Q(x) = P(x) + P(−x) olduğuna göre Q(x)’in x − 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Kalan Q(2)’dir. Grafikten P(2) = 4 ve P(−2) = 3 okunur. Q(2) = 4 + 3 = 7 bulunur.

Cevap: D

Dikkat
a sayısı ile P(a) aynı şey değildir. a yatay eksendeki giriş, P(a) düşey eksendeki değerdir. Yalnız P(a) = 0 olduğunda a bir köktür.

BİRDEN FAZLA KURALI BİRLEŞTİREN AYT SORULARI

Ardışık Kalan ve Bölünebilme İlişkileri

Bir polinomun ikinci dereceden bir ifadeyle bölümünden kalan biliniyorsa bu kalan, bölenin köklerinde polinomla aynı değeri verir. Böylece yeni bir bölme işlemi yapılmadan birinci dereceden bölenlere ait kalanlar bulunabilir.

Örnek - 18
P(x)’in x2 − 1 ile bölümünden kalan 3*x + 2’dir. P(x)’in x − 1 ile bölümünden kalan ile x + 1 ile bölümünden kalanın çarpımı kaçtır?

A) −10
B) −5
C) −1
D) 1
E) 5
x = 1 için kalan 3*1 + 2 = 5; x = −1 için kalan 3*(−1) + 2 = −1’dir. Çarpımları −5 olur.

Cevap: B

Polinomla Modellenen Uzunluk ve Alan

Alan, hacim ve sayı örüntüsü sorularında verilen polinom çoğu zaman bir çarpımın sonucudur. Bilinen kenar ya da çarpanla bölme yapılarak bilinmeyen ifade bulunur; ardından yalnız istenen x değeri kullanılır.

Örnek - 19
Bir dikdörtgenin alanı 2*x3 + 3*x2 − 8*x − 12, bir kenarı x + 2 birimdir. x = 3 için dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?

A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
Alan polinomu x + 2’ye bölündüğünde diğer kenar 2*x2 − x − 6 olur. x = 3 için kenarlar 5 ve 9 birimdir. Çevre 2*(5 + 9) = 28 bulunur.

Cevap: D

Değerlerden Polinom Davranışı Çıkarma

Derecesi sınırlı bir polinom ardışık tam sayılarda verildiğinde sonlu farklar kullanılabilir. İkinci dereceden polinomlarda birinci farkların farkı sabittir; bu sabitlik yeni değeri buldurur.

Örnek - 20
Derecesi en fazla 2 olan P(x) polinomu için P(0) = 1, P(1) = 3 ve P(2) = 9’dur. P(3) kaçtır?

A) 15
B) 17
C) 18
D) 19
E) 21
Değerlerin birinci farkları 2 ve 6, ikinci fark 4’tür. Bir sonraki birinci fark 10 olacağından P(3) = 9 + 10 = 19 bulunur.

Cevap: D

Polinomlarda aynı bilgi farklı dillerle karşımıza çıkar: P(a) bir değer, x − a ile bölümden kalan ve grafikteki düşey koordinattır; P(a) = 0 olduğunda bu bilgi kök ve çarpan anlamına da gelir. Bu bağlantılar kurulduğunda katsayı, bölme ve grafik soruları birbirinden kopuk işlemler olmaktan çıkar.

Sonraki konu: İkinci Dereceden Denklemler ve Kök-Katsayı İlişkileri

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya giriniz