AYT polinomlar konu anlatımı kapsamında polinomun tanımı, derece ve katsayı ilişkileri, işlemler, bölme ve kalan teoremi, çarpanlara ayırma, kökler ve grafik yorumu işlenecektir.
AYT matematik konularının tamamına AYT konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.
POLİNOMUN TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ
Polinom Nedir?
Bir değişkenli gerçek katsayılı bir polinom
biçimindedir. Burada üsler sıfır veya pozitif tam sayıdır. Değişken paydada, kök içinde ya da değişken bir üstte bulunuyorsa ifade polinom değildir. Katsayıların gerçek sayı olması yeterlidir; katsayının kesirli veya köklü olması polinom olmayı bozmaz.
Derece, Baş Katsayı ve Polinom Türleri
Sıfırdan farklı bir polinomda katsayısı sıfır olmayan en büyük üs polinomun derecesidir. Bu terimin katsayısı baş katsayı, x içermeyen terim sabit terimdir. Sabit ve sıfırdan farklı bir polinomun derecesi 0’dır. Sıfır polinomunda bütün katsayılar sıfırdır ve derecesi tanımsız kabul edilir.
Yalnız çift kuvvetli terimler içeren polinom çift polinom ve P(−x) = P(x); yalnız tek kuvvetli terimler içeren polinom tek polinom ve P(−x) = −P(x) eşitliğini sağlar.
Polinom Eşitliği
İki polinomun eşit olması için aynı kuvvetli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. Eksik görünen bir kuvvetin katsayısı sıfırdır. Bu nedenle polinom eşitliği, katsayıları karşılaştırarak parametre bulmanın en doğrudan yoludur.
Değer Bulma ve Değişken Dönüşümü
P(a), polinomda x yerine a yazılmasıyla bulunur. P(2x − 1) gibi dönüştürülmüş bir ifade verilmişse hedeflenen iç değeri oluşturacak x seçilir. P(x + k) ifadesinden P(x)’e dönmek için x yerine x − k yazmak da aynı düşüncenin cebirsel biçimidir.
KATSAYILARLA HIZLI DEĞER BULMA
Sabit Terim ve Katsayılar Toplamı
P(0) sabit terimi, P(1) bütün katsayıların toplamını verir. Bir polinomun katsayıları toplamı sorulduğunda ifadeyi açmak yerine değişkene 1 yazmak çoğu zaman yeterlidir.
Çift ve Tek Dereceli Katsayıların Toplamı
P(1) ile P(−1) birlikte kullanıldığında çift ve tek kuvvetli terimler ayrılır:
Dönüştürülmüş Polinomlarda Katsayı Toplamı
Q(x) = P(ax + b), Q(x) = xk*P(x) veya Q(x) = P(x) − P(−x) gibi ifadelerde de katsayı toplamı Q(1), sabit terim Q(0) ile bulunur. Önce Q’nun tanımı korunur, ardından uygun değer yazılır.
POLİNOMLARDA İŞLEMLER VE DERECE
Toplama, Çıkarma ve Çarpma
Toplama ve çıkarmada aynı kuvvetli terimler birleştirilir. Çarpmada her terim karşı polinomdaki bütün terimlerle çarpılır; üsler toplanır ve daha sonra benzer terimler düzenlenir. Bütün ifadeyi açmak gerekmiyorsa yalnız sorulan kuvveti oluşturacak çarpımlar seçilmelidir.
Derece Kuralları ve Baş Terim İptali
Sıfırdan farklı P ve Q polinomlarında der[P*Q] = der[P] + der[Q] olur. Bileşkenin derece çarpımı için P sıfırdan farklı ve Q sabit olmayan bir polinom olmalıdır: der[Q] ≥ 1 ise der[P(Q(x))] = der[P]*der[Q]. Q(x)=c sabitse P(Q(x))=P(c) sabit polinomdur. P(c) ≠ 0 olduğunda bileşkenin derecesi 0, P(c)=0 olduğunda bileşke sıfır polinomudur ve derecesi tanımsızdır. Örneğin, P(x)=x−1 ve Q(x)=1 için P(Q(x))=0; P(x)=x+2 ve Q(x)=1 için P(Q(x))=3 olur. Toplam veya farkta derece en büyük dereceden fazla olamaz; eş dereceli baş terimler birbirini götürürse sonuç daha düşük dereceli olabilir.
POLİNOMLARDA BÖLME VE KALAN
Bölme Algoritması
P(x) polinomu B(x) polinomuna bölündüğünde
eşitliği kurulur. Q(x) bölüm, R(x) kalandır ve kalan sıfır değilse der[R] < der[B] olmalıdır. Uzun bölmede her adımda bölünenin baş terimi bölenin baş terimine bölünür; bulunan terim bölümün sıradaki terimidir.
Kalan Teoremi
P(x)’in x − a ile bölümünden kalan P(a)’dır. Bölen a*x + b biçimindeyse a*x + b = 0 denkleminin kökü olan −ba değeri polinomda kullanılır. Birinci dereceden bölenin kalanı sabittir.
İkinci Dereceden Bölenlerde Kalan
İkinci dereceden bir bölen için kalan en fazla birinci derecedendir: R(x) = a*x + b. Bölen iki gerçek köke ayrılıyorsa bu köklerde P ile R aynı değeri alır. Böylece a ve b için iki denklem kurulur.
ÇARPAN TEOREMİ VE POLİNOM OLUŞTURMA
Temel Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
Çarpanlara ayırma, bir polinomu çarpım biçiminde yazmaktır; dağılma özelliğinin tersini kullanır. Terimlerde ortak çarpan, gruplama veya özdeşlik yapısı aranır. Sonuç, çarpanlar açılarak başlangıç ifadesiyle karşılaştırılır.
1. Ortak çarpan: Bütün terimlerde bulunan en büyük sayı çarpanı ve ortak değişkenlerin en küçük kuvveti parantez dışına alınır. Örneğin, 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3); iki terim de 3x² ile bölünür.
2. Gruplama: Terimler, her gruptan aynı parantezli ifade çıkacak biçimde eşleştirilir. Örneğin, x³ + 2x² + 3x + 6 = x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x² + 3)(x + 2). Burada ortak parantez x + 2’dir.
3. Tam kare üçterimliler: İlk ve son terim kare, ortadaki terim bu karelerin tabanlarının iki kat çarpımıysa a² + 2ab + b² = (a + b)² ve a² − 2ab + b² = (a − b)² özdeşlikleri kullanılır. Örneğin, x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².
4. İki kare farkı: İki terim de kare ve aralarında çıkarma varsa a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliği uygulanır. Örneğin, 9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x − 5)(3x + 5). Bu özdeşlik toplamda değil, karelerin farkında kullanılır.
5. Küp açılımları ve küp toplamı/farkı: Binomun küpünde katsayılar 1, 3, 3, 1’dir: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ve (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Örneğin, (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8. Küp toplamı ve farkı çarpanlarına ayrılırken a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) kullanılır. Örneğin, x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4).
Bir çarpanlara ayırma eşitliğinin doğruluğu, parantezler açıldığında ilk polinom elde edilerek kontrol edilir.
Çarpan Teoremi
P(a) = 0 ise x − a, P(x)’in çarpanıdır. Tersi de geçerlidir: x − a çarpansa a sayısı polinomun köküdür. Bir sayının kök olması ile polinomun o sayıdaki değerinin sıfır olması aynı bilgidir.
Kökleri Bilinen Polinomu Kurma
Kökleri r1, r2, … olan bir polinom, baş katsayı k olmak üzere k*(x − r1)*(x − r2)*… biçiminde kurulur. Aynı kök birden fazla kez verilmişse ilgili çarpanın kuvveti kökün katlılığını gösterir.
Grafik, Kök ve Katlılık
P(a), y = P(x) grafiğinde x = a noktasının y değeridir. P(a) = 0 olduğunda grafik x eksenine ulaşır. Tek katlı ve genel olarak tek katlılık derecesine sahip köklerde grafik ekseni keser; çift katlı köklerde eksene dokunup aynı tarafa döner. Grafiğin x ekseniyle ilişkisi, köklerin sayısını ve katlılık türünü okumaya yardımcı olur.
Görselde işaretli her noktanın koordinatı doğrudan bir polinom değerini verir. Örneğin (−2, 4) noktası P(−2) = 4, (4, 0) noktası ise P(4) = 0 ve x − 4’ün bir çarpan olduğunu gösterir. Eğrinin ekseni kestiği başka noktalar varsa onlar da polinomun gerçek kökleridir.
Q(x) = P(x) + P(−x) olduğuna göre Q(x)’in x − 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
BİRDEN FAZLA KURALI BİRLEŞTİREN AYT SORULARI
Ardışık Kalan ve Bölünebilme İlişkileri
Bir polinomun ikinci dereceden bir ifadeyle bölümünden kalan biliniyorsa bu kalan, bölenin köklerinde polinomla aynı değeri verir. Böylece yeni bir bölme işlemi yapılmadan birinci dereceden bölenlere ait kalanlar bulunabilir.
Polinomla Modellenen Uzunluk ve Alan
Alan, hacim ve sayı örüntüsü sorularında verilen polinom çoğu zaman bir çarpımın sonucudur. Bilinen kenar ya da çarpanla bölme yapılarak bilinmeyen ifade bulunur; ardından yalnız istenen x değeri kullanılır.
Değerlerden Polinom Davranışı Çıkarma
Derecesi sınırlı bir polinom ardışık tam sayılarda verildiğinde sonlu farklar kullanılabilir. İkinci dereceden polinomlarda birinci farkların farkı sabittir; bu sabitlik yeni değeri buldurur.
Polinomlarda aynı bilgi farklı dillerle karşımıza çıkar: P(a) bir değer, x − a ile bölümden kalan ve grafikteki düşey koordinattır; P(a) = 0 olduğunda bu bilgi kök ve çarpan anlamına da gelir. Bu bağlantılar kurulduğunda katsayı, bölme ve grafik soruları birbirinden kopuk işlemler olmaktan çıkar.