TYT sıvı basıncı ve Pascal prensibi konusu; sıvının derinliği ve özkütlesiyle oluşan basıncı, bu basıncın yüzeylerde meydana getirdiği kuvveti ve kapalı sıvılarda basınç değişiminin nasıl iletildiğini birlikte yorumlamayı gerektirir. Sorularda yalnız P=h·d·g bağıntısını yazmak yeterli değildir; basıncın ölçüldüğü nokta, sıvı katmanları, kabın kesiti, pistonların seviyesi ve temas alanları da doğru okunmalıdır. Bu yazıda sıvı basıncından bileşik kaplara, basınç kuvvetinden hidrolik sistemlere kadar TYT’de gerekli ilişkiler ayrıntılı biçimde ele alınacaktır.
SIVI BASINCININ TEMEL ÖZELLİKLERİ
Sıvı Basıncı Nasıl Oluşur?
Durgun bir sıvının ağırlığı, sıvının içindeki ve kabın yüzeylerindeki her noktada basınç oluşturur. Akışkan tanecikleri serbestçe yer değiştirebildiği için sıvı basıncı yalnız aşağıya değil, temas ettiği bütün yüzeylere dik doğrultuda etki eder. Kabın yan duvarında yatay, eğik yüzeyde o yüzeye dik bir basınç kuvveti oluşmasının nedeni budur.
Açık bir kabın sıvı yüzeyinden h kadar derindeki bir noktanın yalnız sıvıdan kaynaklanan basıncı:
Psıvı = h·d·gh: serbest yüzeyden düşey derinlik, d: sıvının özkütlesi, g: yer çekimi ivmesiBasınç; derinlik, özkütle ve yer çekimiyle doğru orantılıdır.
Bağıntıdaki h, noktanın kaba olan yatay uzaklığı veya sıvı içinde izlenen yol değildir; serbest yüzeyle nokta arasındaki düşey seviye farkıdır. Basıncın SI birimi pascaldır ve 1 Pa = 1 N/m² biçiminde tanımlanır.
Dikkat
P=h·d·g, sıvının oluşturduğu gösterge basıncıdır. Açık kaptaki bir noktanın toplam basıncı sorulursa atmosfer basıncı da eklenir: Ptoplam=Patm+h·d·g. Aynı atmosferde yalnız sıvı basınçları karşılaştırılıyorsa ortak atmosfer terimi kullanılmaz.
Örnek - 1
K, L ve M noktaları sırasıyla 2d, 3d ve d özkütleli sıvılarda; serbest yüzeylerden 3h, 2h ve 5h derinliktedir. Kaplar aynı gezegendedir.
Noktalardaki sıvı basınçlarının büyükten küçüğe sıralanışı hangisidir?
A) K > L > M
B) L > K > M
C) K = L > M
D) M > K = L
E) K = L = M
Basınç katsayıları K için 3h·2d·g=6hdg, L için 2h·3d·g=6hdg, M için 5h·d·g=5hdg olur. Bu nedenle PK=PL>PM’dir.
Cevap: C
Aynı Derinlik, Kap Şekli ve Sıvı Miktarı
Birbirine bağlı olmayan farklı biçimli kaplarda aynı sıvı bulunuyorsa, serbest yüzeyden aynı düşey derinlikteki noktaların basınçları eşittir. Kabın taban alanı, biçimi, sıvının toplam hacmi ve noktanın yan duvara uzaklığı basıncı doğrudan değiştirmez. Bu sonuç hidrostatik paradoks olarak adlandırılan durumu açıklar: taban alanları ve sıvı yükseklikleri aynı olan farklı biçimli kapların taban basınçları ve taban basınç kuvvetleri eşit olabilirken içlerindeki sıvı ağırlıkları farklı olabilir.
Derinlik ArtarsaAynı sıvıda basınç artar.
Özkütle ArtarsaAynı derinlikte basınç artar.
Kap Biçimi Değişirseh, d, g aynıysa basınç değişmez.
Birden Fazla Sıvı Katmanında Basınç
Birbirine karışmayan sıvılar yoğunluklarına göre tabakalaşır; özkütlesi büyük olan sıvı altta bulunur. Bir noktanın üzerindeki her sıvı katmanı kendi h·d·g basınç katkısını oluşturur. Noktanın sıvı basıncı, üstündeki katmanların katkıları toplanarak bulunur:
P = d1gh1 + d2gh2 + …Her katmanın düşey yüksekliği ve özkütlesi ayrı yazılır.Katman sırası toplam basıncı değiştirmez; dengeli yerleşim için yoğun sıvı altta olmalıdır.
Örnek - 2
Bir kabın üst bölümünde özkütlesi d ve yüksekliği 2h olan sıvı, alt bölümünde özkütlesi 3d ve yüksekliği h olan sıvı vardır. Kabın tabanındaki sıvı basıncı P1’dir. Başka bir kapta özkütlesi 2d olan sıvının yüksekliği 2h ve taban basıncı P2’dir.
P1/P2 oranı kaçtır?
A) 3/4
B) 1
C) 5/4
D) 3/2
E) 2
İlk tabanda P1=d·g·2h+3d·g·h=5dgh, ikinci tabanda P2=2d·g·2h=4dgh olur. Oran 5/4’tür.
Cevap: C
Sabit Debide Dolma ve Basınç Grafikleri
Sabit hacimsel debiyle doldurulan bir kapta eşit zamanlarda eşit hacimde sıvı eklenir. Sıvı seviyesi dar kesitte hızlı, geniş kesitte yavaş yükselir. Taban basıncı P=dgh olduğundan basınç-zaman grafiğinin eğimi de kabın kesit alanıyla ters ilişkilidir. Kesit aniden değişse bile sıvı yüksekliği ve basınç sıçrama yapmaz; grafik süreklidir, yalnız eğimi değişir.
Örnek - 3
Şekildeki boş kap sabit debili muslukla dolduruluyor. Kabın alttan üste doğru kesit alanları sırasıyla 2S, S ve 4S; her bölümün düşey yüksekliği h’dir. Bölümlerin dolma süreleri Δt1, Δt2, Δt3, bu sırada taban basıncında oluşan artışlar ise ΔP1, ΔP2, ΔP3 olarak tanımlanıyor.
Dolma süreleri ve basınç artışları arasındaki oranlar hangisidir?
A) Δt₁:Δt₂:Δt₃ = 1:2:4 ve ΔP₁:ΔP₂:ΔP₃ = 1:1:1
B) Δt₁:Δt₂:Δt₃ = 2:1:4 ve ΔP₁:ΔP₂:ΔP₃ = 1:1:1
C) Δt₁:Δt₂:Δt₃ = 2:1:4 ve ΔP₁:ΔP₂:ΔP₃ = 2:1:4
D) Δt₁:Δt₂:Δt₃ = 1:1:1 ve ΔP₁:ΔP₂:ΔP₃ = 2:1:4
E) Δt₁:Δt₂:Δt₃ = 4:1:2 ve ΔP₁:ΔP₂:ΔP₃ = 1:2:4
Sabit debide dolma süresi, doldurulan hacimle doğru orantılıdır. Bölümlerin hacimleri 2Sh, Sh ve 4Sh olduğundan Δt1:Δt2:Δt3=2:1:4 olur. Her bölümde sıvı seviyesi aynı h kadar yükseldiği için ΔP=dgh ve ΔP1:ΔP2:ΔP3=1:1:1 bulunur.
Cevap: B
SIVI BASINÇ KUVVETİ
Yatay Yüzeylerde Basınç Kuvveti
Bir yüzeyin her noktasındaki basınç aynıysa yüzeye etki eden basınç kuvvetinin büyüklüğü F=P·S ile bulunur. Yatay tabanın bütün noktaları aynı derinlikte olduğundan taban basıncı sabittir ve Ftaban=h·d·g·S yazılabilir. Taban alanı aynı ve sıvı yüksekliği eşit farklı kaplarda taban kuvveti eşittir; ancak sıvı ağırlıkları kap biçimine göre değişebilir.
Yukarı Doğru DaralanTaban kuvveti sıvı ağırlığından büyüktür: F>G.
Düz KenarlıTaban kuvveti sıvı ağırlığına eşittir: F=G.
Yukarı Doğru GenişleyenTaban kuvveti sıvı ağırlığından küçüktür: F<G.
Örnek - 4
Taban alanları S, sıvı yükseklikleri h olan K, L ve M kaplarında aynı sıvı vardır. K yukarı doğru daralmakta, L düşey kenarlı, M yukarı doğru genişlemektedir. Sıvıların tabana uyguladığı kuvvetler sırasıyla FK, FL, FM; ağırlıkları GK, GL, GM’dir.
Hangisi doğrudur?
A) FK > FL > FM
B) FK = FL = FM ve GM > GL > GK
C) FK = GK ve FM = GM
D) FK < FL < FM
E) GK = GL = GM
Tabanlarda h, d, g aynı olduğundan basınçlar; taban alanları da aynı olduğundan kuvvetler eşittir. Hacim ve ağırlık yukarı doğru genişleyen M’de en büyük, daralan K’de en küçüktür. Doğru ilişki B seçeneğidir.
Cevap: B
Düşey Yüzeylerde Ortalama Basınç
Düşey bir yüzeyin üst ve alt noktaları farklı derinlikte olduğundan yüzeyin her yerindeki basınç aynı değildir. Sabit özkütleli sıvıda basınç derinlikle doğrusal değiştiği için dikdörtgen yüzeye etki eden ortalama basınç, yüzeyin orta noktasındaki basınca eşittir. Böylece F=Portalama·S kullanılabilir.
Örnek - 5
Özkütlesi d olan sıvıda genişliği b olan K dikdörtgen kapağı h ile 3h derinlikleri arasındadır. Özkütlesi 2d olan başka sıvıda genişliği b/2 olan L kapağı yüzeyden 2h derinliğe kadar uzanmaktadır.
Sıvıların kapaklara uyguladığı kuvvetlerin oranı FK/FL kaçtır?
A) 1/2
B) 1
C) 3/2
D) 2
E) 4
K’nın orta derinliği 2h, alanı 2bh olduğundan FK=(d·g·2h)(2bh)=4dgbh² olur. L’nin orta derinliği h, alanı (b/2)·2h=bh olduğundan FL=(2d·g·h)(bh)=2dgbh² bulunur. Oran 2’dir.
Cevap: D
BİLEŞİK KAPLAR VE SIVI DENGESİ
Aynı Sıvının Bileşik Kaplardaki Dengesi
Alt bölümleri birbirine bağlı kaplara bileşik kaplar denir. Açık kollarda aynı sıvı bulunuyor ve sistem dengedeyse, kabın kolları ne kadar farklı biçimde veya genişlikte olursa olsun serbest yüzeyler aynı yatay seviyede olur. Aynı yatay düzlem üzerindeki basınçlar eşitlenir. Sisteme sıvı eklendiğinde son seviye artışı, eklenen hacmin bütün kolların toplam kesit alanına bölünmesiyle bulunur.
Örnek - 6
Kesit alanları S, 2S ve 3S olan üç açık kolun alt bölümleri bağlıdır ve aynı sıvıyı içermektedir. Başlangıçta seviyeler eşitken sisteme 12Sh hacminde aynı sıvı ekleniyor. Eski yüzeyin h altında bulunan X ve 3h altında bulunan Y noktalarının son basınçları sırasıyla PX ve PY oluyor.
PX/PY oranı kaçtır?
A) 1/3
B) 3/5
C) 2/3
D) 4/5
E) 1
Toplam kesit alanı 6S olduğundan seviye 12Sh/6S=2h yükselir. X’in yeni derinliği 3h, Y’nin yeni derinliği 5h olur. Aynı sıvıda basınç oranı derinlik oranıdır: 3/5.
Cevap: B
Farklı Sıvılarda Basınç Eşitliği
Bileşik kabın kollarında birbirine karışmayan farklı sıvılar varsa serbest yüzeylerin eşit olması gerekmez. Denge kurulurken aynı yatay düzlemde ve aynı bağlantılı sıvı içinde seçilen noktaların basınçları eşitlenir. Açık kollarda atmosfer basıncı iki tarafta ortak olduğundan sadeleşir; sıvı sütunlarının d·h katkıları karşılaştırılır.
Dikkat
Basınç eşitliği yalnız “aynı hizada görünen her iki nokta” için kurulmaz. Noktaların dengedeki bağlantılı sıvı içinde olması gerekir. Arada kapalı vana, hareketli piston veya farklı bir gaz bölgesi varsa sınır koşulları ayrıca değerlendirilir.
Örnek - 7
Açık U borusunun sol kolunda özkütlesi 3d olan sıvıdan h, bunun üzerinde özkütlesi d olan sıvıdan 2h yüksekliğinde katman vardır. Sağ kolda özkütlesi 2d olan sıvının yüksekliği x’tir. Sütunların alt sınırları aynı yatay düzlemdedir ve sistem dengededir.
x kaç h’dir?
A) 3/2
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 7/2
Aynı alt düzlemde sıvı basınçları eşittir: 3dgh+d·g·2h=2d·g·x. Buradan 5dgh=2dgx ve x=5h/2 bulunur.
Cevap: C
PASCAL PRENSİBİ VE HİDROLİK SİSTEMLER
Kapalı Sıvıda Basınç İletimi
Kapalı bir sıvının herhangi bir noktasına uygulanan basınç artışı, sıvının bütün noktalarına ve kabın iç yüzeylerine aynen iletilir. Bu, uygulanan kuvvetin her yerde aynı olması demek değildir. Aynı basınç farklı büyüklükteki yüzeylere etki ettiğinde F=P·S gereği farklı kuvvetler oluşturur. Pascal prensibi hidrolik kriko, araç kaldıracı, pres ve fren sistemlerinin temelidir.
Örnek - 8
İdeal bir hidrolik sistemde büyük pistonun kesit alanı küçük pistonunkinin 5 katıdır. Küçük pistona 80 N kuvvet uygulanarak piston 20 cm aşağı itiliyor. Büyük pistondaki kuvvet ve pistonun yükselme miktarı sırasıyla kaçtır?
A) 160 N ve 10 cm
B) 400 N ve 4 cm
C) 400 N ve 20 cm
D) 800 N ve 4 cm
E) 800 N ve 100 cm
Basınç eşitliğinden F2/F1=S2/S1=5 olduğundan F2=400 N’dir. Hacim korunumu S1x1=S2x2 verir; x2=20/5=4 cm olur.
Cevap: B
Hidrolik Preslerde Kuvvet ve Yol İlişkisi
Aynı seviyedeki pistonlarda, sürtünme ve piston ağırlıkları ihmal edilirse dışarıdan oluşturulan basınç artışları eşittir:
F1/S1 = F2/S2Büyük kesitli pistonda daha büyük kuvvet elde edilir.İdeal sistemde S1·x1 = S2·x2; kuvvetten kazanç yoldan kayıpla dengelenir.
Örnek - 9
Aynı seviyedeki pistonların kesit alanları S ve 9S olan ideal hidrolik sistemde küçük pistona 120 N kuvvet uygulanıyor. Küçük piston 18 cm aşağı hareket ederken büyük pistonun uyguladığı kuvvet F, yükselme miktarı x oluyor.
F ve x hangisidir?
A) 540 N ve 4 cm
B) 1080 N ve 2 cm
C) 1080 N ve 18 cm
D) 2160 N ve 1 cm
E) 9720 N ve 2 cm
Kuvvet oranı alan oranına eşittir: F/120=9S/S, buradan F=1080 N. Hacim korunumu için S·18=9S·x ve x=2 cm bulunur. Kuvvet dokuz katına çıkarken yol dokuzda bire iner.
Cevap: B
Pistonlar Farklı Seviyedeyse
F1/S1=F2/S2 kısa yolu, piston yüzeyleri aynı yatay seviyedeyken doğrudan kullanılır. Pistonlardan biri daha aşağıdaysa, uygulanan basınç artışına sıvı sütununun dgh basıncı da eklenir. Daha aşağıdaki pistonun iç yüzeyindeki basınç, yüksektekine göre daha büyüktür. Soruda piston ve yük ağırlıkları verilmişse onların oluşturduğu basınçlar da denge denklemine katılır.
Örnek - 10
Şekilde küçük piston büyük pistondan 2h yukarıdadır. Piston alanları S1=S ve S2=3S, sıvının özkütlesi d’dir. Küçük pistona uygulanan kuvvet için F1/S=4dgh veriliyor. Piston ağırlıkları ve sürtünme ihmal ediliyor.
Dengedeki büyük pistonun sıvıdan gördüğü kuvvetin F1’e oranı kaçtır?
A) 3/2
B) 2
C) 3
D) 9/2
E) 6
Büyük piston 2h daha aşağıda olduğundan oradaki sıvı basıncı F1/S+dg·2h=4dgh+2dgh=6dgh olur. F2=3S·6dgh=18Sdgh, F1=4Sdgh olduğundan oran 18/4=9/2’dir.
Cevap: D
Hidrolik Frenlerde Basıncın Dağılımı
Fren pedalının ana silindirde oluşturduğu basınç artışı, kapalı fren sıvısıyla tekerlek silindirlerine iletilir. Aynı seviyede ve eşit alanlı tekerlek pistonları aynı basınç altında eşit kuvvet uygular. Birden çok çıkış olması basıncı bölmez; her kol aynı basınç artışını alır. Ancak ana pistonun yer değiştirdiği hacim, çalışan bütün çıkış pistonlarının yer değiştirdiği hacimlerin toplamına eşittir.
Dikkat
Pascal prensibi “kuvvet aynen iletilir” değil, “basınç artışı aynen iletilir” der. Büyük pistonun kuvveti artarken aldığı yol azalır; ideal bir hidrolik düzenek enerjiyi kendiliğinden çoğaltmaz.
Örnek - 11
Kesit alanı S olan ana piston, her birinin alanı 3S olan dört özdeş tekerlek pistonuna bağlıdır. Ana pistona F kuvveti uygulanıp piston 12x ilerletiliyor. Sistem ideal, pistonlar aynı seviyede ve dört tekerlek pistonu eşit miktarda hareket ediyor.
Her tekerlek pistonunun kuvveti ve hareket miktarı hangisidir?
A) F/4 ve 4x
B) 3F ve x
C) 3F ve 4x
D) 12F ve x
E) 12F ve x/4
Her kola aynı F/S basıncı iletilir; bir tekerlek pistonunun kuvveti (F/S)·3S=3F olur. Hacim korunumu S·12x=4·3S·y verir ve y=x bulunur. Dört pistonun toplam çıkış işi 4·3F·x=12Fx, giriş işi F·12x ile uyumludur.
Cevap: B
Derinlik, Basınç ve Hacim Korunumu Arasındaki Bağ
Sıvı basıncını serbest yüzeyden olan düşey derinlik ve sıvı özkütlesi belirler. Katmanlı sıvılarda toplam basınç, her katmanın dgh katkısının toplamıdır. Hidrolik sistemde pistonlara iletilen basınç eşit olduğundan kuvvet alanla büyür; sıkıştırılamayan sıvının hacmi korunduğu için bu kuvvet kazancına yol kaybı eşlik eder.
1. DerinlikSerbest yüzeyden düşey uzaklık
→
2. BasınçKatman katkıları veya piston basıncı
→
3. Kuvvet ve HacimF=P·S ve hacim korunumu
Örnek - 12
Kesit alanları S=0,01 m² ve 4S olan iki piston, özkütlesi 800 kg/m³ olan sıvıyla bağlıdır. Küçük piston büyük pistondan 0,50 m daha aşağıdadır. Küçük pistona 120 N kuvvet uygulandığında büyük pistonda oluşan kuvvet kaç N olur? (g=10 m/s², piston ağırlıkları önemsizdir.)
A) 160
B) 240
C) 320
D) 400
E) 480
Küçük pistondaki ek basınç 120/0,01=12 000 Pa’dır. Büyük piston 0,50 m yukarıda olduğundan basınç dgh=800·10·0,50=4 000 Pa azalır ve 8 000 Pa olur. Büyük piston alanı 0,04 m² olduğuna göre F=8 000·0,04=320 N bulunur.
