TYT dikdörtgen ve kare konu anlatımı; bu iki özel dörtgenin kenar, açı, köşegen, çevre ve alan özelliklerini birlikte ele alır. Dikdörtgen ve kare sorularında şeklin hangi özelliğinin zorunlu, hangisinin ek koşula bağlı olduğunu ayırt etmek çözümün temelidir.
DİKDÖRTGENİN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Tanım, Kenarlar ve Açılar
Dört açısı da 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir; komşu kenarların eşit olması gerekmez. ABCD dikdörtgeninde AB=CD, BC=AD ve m(A)=m(B)=m(C)=m(D)=90°dir. Bu nedenle dikdörtgen, paralelkenarın bütün özelliklerini taşır; fakat her paralelkenar dikdörtgen değildir.
Köşegenlerin Eşitliği ve Birbirini Ortalaması
Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve kesiştikleri noktada birbirlerini ortalar. AC ile BD köşegenleri O noktasında kesişiyorsa AC=BD ve AO=OC=BO=OD olur. Böylece O noktası dört köşeye eşit uzaklıktadır; dikdörtgenin çevrel çemberinin merkezi de O’dur. Köşegenlerin dik kesişmesi ise genel bir dikdörtgen özelliği değildir.
DİKDÖRTGENDE UZUNLUK, ÇEVRE VE ALAN
Kenar ve Köşegen Bağıntısı
Kenar uzunlukları a ve b, köşegen uzunluğu d olan dikdörtgende köşegen bir dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısından d²=a²+b² elde edilir. Bir kenar ve köşegen biliniyorsa diğer kenar bu eşitlikle bulunur. Köşegen boyunca oluşan iki üçgen eş olduğundan alanları da eşittir.
Çevre ve Alan
Kenarları a ve b olan dikdörtgenin çevresi 2(a+b), alanı a·bdir. Çevre sabitken kenarlar birbirine yaklaştıkça alan büyür; eşit olduklarında şekil kareye dönüşür ve en büyük alan elde edilir. Alan sorularında verilen eğik bir doğru parçası, dik uzaklık olmadığı sürece yükseklik olarak kullanılamaz.
Alan Parçalama ve Eş Alanlar
Bir dikdörtgenin köşegeni alanı iki eş üçgene ayırır. Köşegenlerin kesişim noktası O ise AOB, BOC, COD ve DOA üçgenlerinin alanları eşittir; her biri dikdörtgen alanının dörtte biridir. Kenarlar üzerindeki orta noktalar veya paralel doğrular kullanıldığında da alan oranı, ortak yükseklik ve taban oranı üzerinden kurulabilir.
KARENİN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Tanım ve Özel Dörtgenlerle İlişkisi
Dört kenarı eşit ve dört açısı 90° olan dörtgene kare denir. Kare hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini taşır. Dolayısıyla karşı kenarları paralel, köşegenleri eşit, dik ve birbirini ortalayan açıortaylardır. Her dikdörtgen veya eşkenar dörtgen kare değildir; kare olabilmeleri için sırasıyla komşu kenar eşitliği veya bir dik açı gibi ek koşullar gerekir.
Köşegenler, 45° Açılar ve Çevrel Çember
Karenin köşegenleri köşe açılarını iki eş parçaya böler; bu nedenle her parça 45°dir. Köşegenlerin kesişiminde dört tane 45°-45°-90° üçgeni oluşur. Kesişim noktası karenin merkezidir ve dört köşeye eşit uzaklıktadır. Karenin çevrel çember yarıçapı köşegenin yarısına eşittir.
KAREDE UZUNLUK VE ALAN
Kenar, Köşegen, Çevre ve Alan Bağıntıları
Bir kenarı a olan karenin çevresi 4a, alanı a², köşegeni a√2dir. Köşegen d ile verilirse a=d/√2 ve Alan=d²/2 bağıntıları kullanılır. Bu sonuç, dik kesişen eş köşegenlerin oluşturduğu dört eş dik üçgenden de elde edilebilir.
İç İçe Kareler ve Alan Oranları
Bir karenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde içeride yeni bir kare oluşur. Yeni karenin köşegenleri dıştaki karenin kenarlarına eşit olduğundan alanı dıştaki karenin alanının yarısıdır. İşlem art arda tekrarlanırsa alanlar 1/2 oranıyla küçülür. Kare parçalama sorularında uzunluk yerine alan oranı üzerinden ilerlemek çoğu zaman daha kısa sonuç verir.
Dikdörtgen ile Kareyi Ayırt Etme
| Özellik | Dikdörtgen | Kare |
|---|---|---|
| Açılar | Dördü 90° | Dördü 90° |
| Kenarlar | Karşılıklı kenarlar eşit | Dört kenar eşit |
| Köşegenler | Eşit ve birbirini ortalar | Eşit, dik, birbirini ortalar |
| Açıortay | Genellikle değildir | Her iki köşegen açıortaydır |
| Alan | a·b | a² veya d²/2 |
Önceki konu: Eşkenar Dörtgen ve Deltoid
Sonraki konu: Çemberin Temel Elemanları ve Çemberde Açılar