TYT dik üçgen, Pisagor ve Öklid bağıntıları konu anlatımı; dik üçgenin temel elemanlarını, Pisagor teoremini, hipotenüse indirilen yüksekliği ve bu yükseklikle oluşan Öklid bağıntılarını kapsar. Uzunluk sorularında önce dik açının karşısındaki hipotenüs doğru belirlenmeli, ardından bağıntıdaki harfler şeklin gerçek parçalarıyla eşleştirilmelidir.
30–60–90 ve 45–45–90 üçgenleri bir sonraki başlıkta ayrıca işlenecektir. Burada dik üçgenin genel bağıntıları ve Öklid teoremleri üzerinde durulur.
DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR TEOREMİ
Dik Üçgenin Temel Elemanları
Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açıyı oluşturan iki kenar dik kenar, 90°’nin karşısındaki kenar hipotenüstür. Hipotenüs her zaman üçgenin en uzun kenarıdır. Dik olmayan iki açının toplamı 90° olduğundan bu açılar birbirinin tümleridir.
Pisagor Teoremi
Dik kenar uzunlukları a ve b, hipotenüs uzunluğu c olan dik üçgende a² + b² = c² bağıntısı geçerlidir. Tersine, bir üçgenin kenarları için en büyük kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen diktir.
Pisagor teoremi yalnız eksik kenarı bulmak için değil; dikliği sınamak, köşegen, uzaklık ve yükseklik hesaplamak için de kullanılır. Sonuç bir kenar uzunluğu olduğundan negatif değer alınmaz.
Pisagor Teoreminin Tersi ve Diklik Kontrolü
Kenarları küçükten büyüğe a, b ve c olan bir üçgende a² + b² = c² ise c’nin karşısındaki açı 90°’dir. Eğer a² + b² > c² ise en büyük açı dar, a² + b² < c² ise en büyük açı geniştir. Bu karşılaştırma üçgenin açı türünü çizime bakmadan belirler.
Pisagor Üçlüleri ve Ölçekleme
3–4–5, 5–12–13, 7–24–25, 8–15–17 ve 9–40–41 sık kullanılan Pisagor üçlüleridir. Bu sayıların aynı pozitif katsayıyla çarpılmış hâlleri de dik üçgen oluşturur. Örneğin 6–8–10 üçgeni, 3–4–5 üçgeninin 2 katıdır.
| Dik kenarlar | Hipotenüs |
|---|---|
| 3, 4 | 5 |
| 5, 12 | 13 |
| 8, 15 | 17 |
| 7, 24 | 25 |
HİPOTENÜSE İNDİRİLEN YÜKSEKLİK VE ÖKLİD BAĞINTILARI
Hipotenüsün Parçaları
Dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, dik üçgeni kendisine ve birbirine benzer iki küçük dik üçgene ayırır. Hipotenüs a, dik kenarlar b ve c, yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçalar p ve k, yükseklik h olarak adlandırılsın. Bu durumda a = p + k olur.
Yükseklik Bağıntısı
Hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki parçaların çarpımına eşittir: h² = p · k. Bu bağıntı, iki küçük üçgenin benzerliğinden elde edilir.
Dik Kenar Bağıntıları
Her dik kenarın karesi, hipotenüs ile o dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir. Şekilde b kenarının izdüşümü k, c kenarının izdüşümü p ise b² = a · k ve c² = a · p yazılır. Hangi parçanın hangi dik kenara ait olduğu şekil üzerinden karşılıklı izlenmelidir.
Alan Bağıntısı
Dik üçgenin alanı dik kenarlar yardımıyla b · c / 2, hipotenüs ve ona ait yükseklik yardımıyla a · h / 2’dir. Bu iki ifade eşitlenirse b · c = a · h bağıntısı elde edilir. Özellikle iki dik kenar ve hipotenüs bilindiğinde yükseklik hızla bulunur.
PİSAGOR VE ÖKLİD BAĞINTILARININ BİRLİKTE KULLANIMI
Parçadan Kenara, Kenardan Yüksekliğe
Hipotenüs parçaları verildiğinde önce hipotenüs toplanır, ardından dik kenarlar Öklid bağıntılarıyla; yükseklik ise h² = p · k ile bulunur. Dik kenarlar verildiğinde önce Pisagorla hipotenüs, sonra alan bağıntısıyla yükseklik hesaplanabilir. Aynı sorunun iki farklı yoldan aynı sonucu vermesi güçlü bir kontroldür.
Çok Adımlı Bağıntı Kontrolü
Birden fazla bağıntı kullanılacaksa önce şeklin sembolleri yazılır: hipotenüs, iki dik kenar, yükseklik ve iki izdüşüm. Sonucun uzunluk olması nedeniyle pozitif kök alınır. Ayrıca p + k = a, h² = p · k ve Pisagor bağıntılarının birlikte sağlanması gerekir.