Rasyonel sayılar, bir bütünün eş parçalarını göstermenin yanı sıra oran, ölçme, paylaşma ve karşılaştırma problemlerinin temelini oluşturur. TYT’de bu konu yalnız kesirlerde dört işlemden ibaret değildir; tanım kümesini koruma, kesirleri farklı biçimlerde temsil etme, işaretleri doğru yönetme, sayı doğrusunda konumlandırma ve çok adımlı problemleri modelleme becerileri birlikte ölçülür.
Bu yazıda rasyonel sayıların tanımını, kesir türlerini, denk kesirleri, dört işlemi, karşılaştırma ve sıralamayı, sayı doğrusunu, işlem terslerini ve bağlam problemlerini ayrıntılı biçimde ele alacağız. Ondalık ve devirli ondalık gösterimler ise bir sonraki konuda bağımsız olarak incelenecektir.
Rasyonel Sayıların Tanımı ve Kesir Türleri
Rasyonel Sayı Nedir?
a ve b birer tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere ab biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Her tam sayı, paydası 1 alınarak kesir biçiminde yazılabildiği için aynı zamanda rasyoneldir.
Payda hiçbir zaman 0 olamaz. Payın 0 olması ise mümkündür: b ≠ 0 iken 0b = 0’dır. Kesrin önündeki eksi işareti paya veya paydaya taşınabilir; fakat iki tarafta birden eksi bulunursa kesir pozitif olur.
Basit, Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler
Payının mutlak değeri paydasının mutlak değerinden küçük olan kesirlere basit kesir denir. Pozitif bir basit kesir 0 ile 1, negatif bir basit kesir -1 ile 0 arasındadır. Payının mutlak değeri paydasına eşit veya büyük olan kesirler bileşik kesirdir.
Bileşik kesirler, tam kısım ile basit kesrin birlikte yazıldığı tam sayılı kesir biçimine dönüştürülebilir. Örneğin 175 = 325 olur. Negatif sayılarda işaret bütün sayıya aittir; -325 = −175 biçimindedir.
Denk Kesirler ve Sadeleştirme
Kesrin Değerini Değiştirmeyen İşlemler
Bir kesrin payı ve paydası sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılırsa ya da tam bölünebildikleri aynı sayıya bölünürse kesrin değeri değişmez. Bu yolla elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Örneğin 35 = 1220 eşitliği, pay ve paydanın 4 ile genişletilmesiyle oluşur.
Pay ile paydanın ortak böleni 1 olduğunda kesir en sade hâlindedir. Denk iki kesir arasında içler-dışlar çarpımı yapılabilir: b ve d sıfırdan farklı olmak üzere ab = cd ise a * d = b * c’dir.
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarma işleminde önce paydalar eşitlenir; ardından paylar işaretleriyle birlikte toplanır veya çıkarılır. Paydalar doğrudan toplanmaz. İşlem sonunda kesir sadeleştirilmeli, tam sayılı kesir varsa işlemden önce bileşik kesre çevrilmelidir.
Birden fazla eksi işareti bulunan ifadelerde parantez kullanmak hata riskini azaltır. Özellikle negatif bir kesrin çıkarılması, onun toplama işlemine göre tersinin eklenmesi demektir: a – (-b) = a + b.
Çarpma, Bölme ve İşlem Önceliği
Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. İşlemi büyütmeden önce çapraz veya aynı doğrultuda sadeleştirme yapılabilir. Bölmede ilk kesir aynen bırakılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır. Bölen kesir 0 olamaz.
Kesir çizgisi aynı zamanda parantez görevi görür. Büyük kesirlerde üstteki ve alttaki işlemler ayrı ayrı tamamlandıktan sonra bölme uygulanır. Parantez, üs, çarpma-bölme ve toplama-çıkarma sırası korunmadan yapılan kısa yollar yanlış sonuç verir.
Karşılaştırma, Sıralama ve Sayı Doğrusu
Kesirleri Karşılaştırma
Pozitif kesirlerde paydalar eşitse payı büyük olan, paylar eşitse paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Her iki kısım da farklıysa payda eşitleme veya pozitif paydalarda çapraz çarpma kullanılabilir. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
Sayı doğrusunda sağdaki sayı daima daha büyüktür. İki rasyonel sayının tam ortasındaki sayı, toplamlarının yarısıdır. Ayrıca farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunur; yalnız paydaları eşitleyip ardışık görünen paylara bakmak arada sayı olmadığı anlamına gelmez.
İşlem Tersleri ve Cebirsel Kullanım
Toplamaya ve Çarpmaya Göre Ters
Bir rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi, işareti değiştirilmiş hâlidir; toplamları 0 olur. Sıfırdan farklı ab sayısının çarpma işlemine göre tersi ba‘dır; çarpımları 1 olur. Sıfırın çarpmaya göre tersi yoktur.
Bir kesrin pay ve paydasına aynı sayı eklemek veya ikisinden aynı sayıyı çıkarmak genellikle kesrin değerini korumaz. Değerin korunması için pay ve paydanın aynı sıfırdan farklı çarpanla çarpılması ya da bölünmesi gerekir.
Rasyonel Sayı Problemleri
Bütün, Kalan ve Oran İlişkisi
Bir çokluğun belirli bir kesri alındığında, kesir doğrudan başlangıç miktarıyla çarpılır. İkinci işlem kalanın bir kesri üzerinde yapılıyorsa taban değişmiştir; iki kesir doğrudan toplanamaz. Önce ilk işlemden sonra kalan oran bulunmalı, sonraki işlem bu kalan üzerinden hesaplanmalıdır.
Kesir problemlerinde bütünü 1 veya uygun bir ortak kat olarak seçmek işlemleri sadeleştirir. Son durumda verilen miktarın başlangıcın hangi kesrine karşılık geldiği bulunursa başlangıç değeri tek denklemle hesaplanabilir.
Çok Adımlı Kesir Modeli
Çok adımlı sorularda geriye doğru işlem yapmak çoğu zaman daha hızlıdır. Son kalan miktar biliniyorsa, bu miktarın bir önceki aşamadaki ve başlangıçtaki karşılığı sırayla belirlenir. Her aşamada kullanılan kesir ile kalan kesrin birbirine karıştırılmaması gerekir.
Rasyonel Sayılarda Sonuç Kontrolü
İşleme başlamadan önce sonucun işaretini ve yaklaşık büyüklüğünü tahmin etmek güçlü bir hata denetimidir. İki basit kesrin çarpımının mutlak değeri her iki çarpandan da küçük olmalı; pozitif bir sayıyı 0 ile 1 arasındaki kesre bölmek sonucu büyütmelidir. Sıralamada negatif sayıların yönü, problemde ise kullanılan ve kalan kesirlerin toplamı kontrol edilmelidir.
Sonuç kesir biçimindeyse sadeleştirme yapılmalı, payda sıfır olmamalı ve bulunan değer sorunun başlangıç koşullarında yeniden denenmelidir. Bu kısa kontroller, özellikle iç içe kesirler ve çok adımlı kalan problemlerinde işlem hatalarını belirgin biçimde azaltır.