KPSS analitik geometri konusu, geometrik ilişkileri koordinat ve denklem diliyle çözmeyi sağlar. Nokta, doğru, uzaklık, orta nokta, eğim, alan ve doğru denklemi aynı soruda birlikte kullanılabilir; işaret kontrolü bu konuda belirleyicidir.
KOORDİNAT DÜZLEMİ VE BÖLGELER
İşaretlerden Bölgeyi Belirleme
(x,y) noktasında x yatay, y düşey konumu gösterir. Bölgelerde işaretler sırasıyla (+,+), (−,+), (−,−), (+,−) biçimindedir. Eksen üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
İKİ NOKTA ARASINDA UZAKLIK VE ORTA NOKTA
Yatay ve Düşey Farklardan Dik Üçgen Kurma
A(x₁,y₁) ile B(x₂,y₂) arasındaki uzaklık √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]dir. Orta nokta koordinatları ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2) olur. Bir doğru parçasını belli oranda bölen noktada ağırlıklı ortalama kullanılır.
B) 14/3
C) 5
D) 16/3
E) 17/3
B) 2/3
C) 4/3
D) 7/3
E) 8/3
DOĞRUNUN EĞİMİ
Dikey Değişimi Yatay Değişime Bölme
A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)’dir. Soldan sağa yükselen doğrunun eğimi pozitif, alçalanın negatiftir. Yatay doğrunun eğimi 0; düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
DOĞRU DENKLEMİ
Nokta–Eğim ve Genel Denklem Biçimlerini Dönüştürme
Eğimi m olan ve (x₁,y₁)’den geçen doğru y−y₁=m(x−x₁) biçimindedir. ax+by+c=0 doğrusunun eğimi −a/b’dir. x eksenini a, y eksenini b noktasında kesen doğru x/a+y/b=1 olarak yazılabilir.
| Biçim | Kullanım |
|---|---|
| y−y₁=m(x−x₁) | Bir nokta ve eğim |
| ax+by+c=0 | Genel denklem |
| x/a+y/b=1 | Eksenleri kesen doğru |
B) 10
C) 12
D) 16
E) 24
B) 2x+y−6=0
C) 2x−y−8=0
D) x+2y+1=0
E) 4x−2y−16=0
PARALEL VE DİK DOĞRULAR
Eğimlerin Eşitliğini ve Çarpımını Kullanma
Paralel farklı doğruların eğimleri eşittir. Eğimi tanımlı iki dik doğrunun eğimleri çarpımı −1’dir. Genel denklemlerde eğimleri bulmadan katsayı oranlarıyla da kontrol yapılabilir.
B) −5
C) −3
D) 3
E) 7
NOKTADAN DOĞRUYA UZAKLIK
Dik Uzaklık Formülünü Uygulama
P(x₀,y₀) noktasının ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)dir. Paralel iki doğru arasındaki uzaklık için x ve y katsayıları eşitlenir, sabit terim farkı aynı paydaya bölünür.
B) 6/5
C) 8/5
D) 2
E) 12/5
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
KOORDİNATLARLA ÜÇGEN ALANI
Determinant ya da Taban–Yükseklik Seçme
Üç noktanın oluşturduğu alan 1/2·|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)| ile bulunur. Bir kenar eksene paralelse taban–yükseklik yöntemi çoğu zaman daha kısadır.
B) k=2
C) k=3
D) k=4
E) Her pozitif k
ANALİTİK GEOMETRİDE TEMEL NOKTALAR
Geometrik Bilgiyi Denklem Koşuluna Çevirme
Koordinat sorusunda önce geometrik ifadenin cebirsel karşılığını yazılır: eşit uzaklık iki uzaklık karesinin eşitliği, orta nokta koordinat ortalaması, doğrusal olma eşit eğim, paralellik eşit eğim ve diklik negatif ters eğim demektir. Karekök içeren uzaklıklarda iki taraf da pozitif olduğundan çoğu zaman kareleri eşitlemek işlemi kısaltır.
Eğim hesabında noktaların sırasını iki farkta da aynı tutmak gerekir. Payda sıfırsa doğru düşeydir ve eğim tanımsızdır; bu durumda m formülüne zorlamak yerine x=sabit denklemini kullanmak gerekir. Genel doğru denkleminde x ve y katsayıları ortak bir sayıyla çarpılsa da doğru değişmez; karşılaştırmadan önce katsayıları aynı ölçeğe getirmek yararlıdır.
Bir doğru denklemi kurulurken sonucun verilen noktayı sağlayıp sağlamadığı mutlaka denenmelidir. Paralel doğru için yalnız sabit terim değişebilir; dik doğru için eğim negatif tersine döner. Eksenleri kestiği noktalar isteniyorsa sırayla y=0 ve x=0 yazmak, denklemi grafik üzerinde hızlıca kontrol etmeyi sağlar.
Alan sorularında determinant genel yöntemdir; fakat bir kenar yatay ya da düşeyse taban–yükseklik daha kısa olabilir. Üç noktanın alanı sıfır çıkarsa noktalar doğrusaldır. Bir köşenin koordinatı değişirken taban ve tabana dik uzaklık sabit kalıyorsa alan da sabit kalabilir; her bilinmeyenin sonucu değiştireceğini varsayılmamalıdır.
Sonuç kontrolünde uzaklık ve alanın negatif olamayacağını, orta noktanın iki koordinat arasında kalmasını ve eğimin çizimin yükselme–alçalma yönüyle uyuşmasını denetlenir. Mutlak değer, özellikle noktadan doğruya uzaklık ve determinant alanında işareti geometrik büyüklüğe dönüştürür.