ÇEMBER VE DAİRE

KPSS çember ve daire konu anlatımı kapsamında çemberin temel elemanları, merkez ve çevre açı ilişkileri, içte ve dışta kesişen kirişlerde açı bağıntıları, teğet ve yarıçap ilişkileri, kiriş ve kesen uzunluk bağıntıları ile dairede çevre, yay uzunluğu ve alan hesapları işlenecektir.
KPSS Matematik konularının tamamına KPSS konu anlatımı arşivinden ulaşabilirsiniz.

ÇEMBERİN TEMEL ELEMANLARI

Yarıçap, Çap, Kiriş, Yay ve Keseni Ayırt Etme

Merkezden çembere çizilen doğru parçası yarıçap, merkezden geçen kiriş çap, uçları çember üzerinde olan doğru parçası kiriştir. Çap en uzun kiriştir ve uzunluğu 2r’dir. Bir doğru çemberi iki noktada keserse kesen, tek noktada değerse teğettir.

Merkezden Kirişe İndirilen Dikme

Merkez O’dan kiriş AB’ye indirilen OH dikmesinin ayağı H olsun. OA = OB yarıçap olduğundan OAB üçgeni ikizkenardır. OHA ve OHB dik üçgenlerinde OA = OB hipotenüsleri, OH ortak dik kenarıdır; bu nedenle üçgenler eştir ve AH = HB olur. Böylece merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar.

Örnek - 1

Yarıçapı 13 birim olan bir çemberde merkezin bir kirişe uzaklığı 5 birimdir. Kirişin uzunluğu kaç birimdir?

A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28

Cevabı Göster

Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar. Yarım kiriş √(13²−5²)=12; kiriş 24’tür.

Cevap: C

MERKEZ AÇI VE ÇEVRE AÇI

Görülen Yayı Doğru Belirleme

Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın yarısıdır. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir; çapı gören çevre açı 90°dir.

Örnek - 2

Aynı AB yayını gören merkez açı 7x−10°, çevre açı 3x+5° olduğuna göre AB yayının ölçüsü kaç derecedir?

A) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 130

Cevabı Göster

Merkez açı çevre açının iki katıdır: 7x−10=2(3x+5), x=20. Yay ölçüsü 7*20−10=130°dir.

Cevap: E

Örnek - 3

AB bir çap ve C çember üzerinde bir nokta olmak üzere ∠CAB=32°dir. ∠ABC kaç derecedir?

A) 48
B) 52
C) 56
D) 58
E) 62

Cevabı Göster

Çapı gören ∠ACB=90°dir. Üçgenin diğer açıları toplamı 90° olduğundan ∠ABC=58°dir.

Cevap: D

İÇTE VE DIŞTA KESİŞEN KİRİŞLERDE AÇI

Yayların Toplamını ya da Farkını Kullanma

Çember içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının ölçüsü, gördüğü iki yayın ölçüleri toplamının yarısıdır. Çember dışında iki kesen, iki teğet veya bir teğet–bir kesen arasında kalan açıda büyük yaydan küçük yay çıkarılır ve sonuç ikiye bölünür.

Örnek - 4

Çember içinde kesişen AB ve CD kirişlerinin oluşturduğu açının gördüğü yaylar 124° ve 68°dir. Açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 86
B) 92
C) 96
D) 102
E) 108

Cevabı Göster

124+682=96°dir.

Cevap: C

TEĞET VE YARIÇAP

Değme Noktasında Dik Üçgen Kurma

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Aynı dış noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir. Bu iki özellik çoğu uzunluk sorusunu Pisagor ve eş üçgen ilişkisine dönüştürür.

Örnek - 6

Merkezi O, yarıçapı 15 olan çembere P noktasından PT teğeti çiziliyor. OP=25 olduğuna göre PT kaç birimdir?

A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24

Cevabı Göster

OT⊥PT olduğundan OPT dik üçgendir. PT=√(25²−15²)=20’dir.

Cevap: C

Örnek - 7

P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor. PA=3x−4, PB=x+10 ve ∠APB=76° ise ∠AOB kaç derecedir?

A) 96
B) 100
C) 104
D) 108
E) 112

Cevabı Göster

PA=PB’den x=7 olsa da açı için teğetler arasındaki açı ile merkez açı bütünlerdir: ∠AOB=180−76=104°.

Cevap: C

ÇEMBERDE UZUNLUK BAĞINTILARI

Kiriş–Kiriş ve Kesen–Teğet Çarpımlarını Kurma

İçte kesişen kirişlerde parça çarpımları eşittir. Dış noktadan çıkan iki kesende dış parça*bütün kesen değerleri eşittir. Teğet–kesen durumunda teğetin karesi dış parça*bütün kesene eşittir.

Örnek - 8

İçte kesişen iki kirişin birindeki parçalar 6 ve 14, diğerindeki parçalar x ve x+5 birimdir. x kaçtır?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Cevabı Göster

6*14=x(x+5). x²+5x−84=0 olduğundan pozitif kök x=7’dir.

Cevap: B

Örnek - 9

P dış noktasından çizilen teğetin uzunluğu 12, kesenin dış parçası 8 birimdir. Kesenin çember içinde kalan parçası kaç birimdir?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14

Cevabı Göster

12²=8*(8+x). 18=8+x, buradan x=10’dur.

Cevap: C

DAİREDE ÇEVRE, YAY VE ALAN

Merkez Açı Oranını Tam Daireye Uygulama

Çember, düzlemde merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu sınırdır; daire ise bu sınırla birlikte iç bölgesidir.

Daire dilimi (sektör), iki yarıçap ve bu yarıçapların uçları arasındaki yayla sınırlanan bölgedir.

Daire parçası, bir kiriş ile kiriş uçları arasındaki yaylardan biri arasında kalan bölgedir. Küçük yay küçük, büyük yay büyük daire parçasını sınırlar.

Çember uzunluğu 2πr, daire alanı πr²dir. α derecelik yayın uzunluğu α360*2πr; sektör alanı α360*πr² olur. Merkez açısı 0°<α<180° olan küçük daire parçasının alanı bulunurken sektörden iki yarıçapın ve kirişin oluşturduğu ikizkenar üçgenin alanı çıkarılır. α=180° olduğunda daire parçası yarım dairedir; alanı πr²2 olur. Merkez açısı 180°<α<360° olan büyük daire parçasının alanı için önce 360°−α açısına karşılık gelen küçük daire parçası hesaplanır; bu küçük parçanın alanı tüm daire alanından çıkarılır.

Örnek - 10

Yarıçapı 12 olan bir dairede 150°lik sektörün alanından, sektörün iki yarıçapının oluşturduğu üçgenin alanı çıkarılıyor. sin150°=12 olduğuna göre kalan alan kaç birimkaredir?

A) 48π−36
B) 60π−36
C) 60π−72
D) 72π−36
E) 72π−72

Cevabı Göster

Sektör alanı 150360*π*144=60π. Üçgen alanı 12*12*sin150°2=36. Daire parçası 60π−36’dır.

Cevap: B