KPSS dörtgenler ve özel dörtgenler konusu; dörtgenin açı toplamını, paralelkenar ailesinin ortak ve ayırıcı özelliklerini, yamuk ile deltoidi ve alan bağıntılarını birlikte kullanmayı gerektirir. Bir şeklin yalnız görünüşüne değil, verilen kenar, açı ve köşegen koşullarına göre sınıflandırılması özellikle önemlidir.
Önceki Çokgenler konusu genel n-gen bağıntılarını kurar. Sonraki Çember ve Daire konusu, dörtgenlerin çemberle ilişkisini de içeren yeni bir geometri aşamasıdır.
DÖRTGENİN AÇILARI VE KÖŞEGENLERİ
360 Derecelik Toplamı Kullanma
Her dörtgen bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır; bu nedenle iç açılar toplamı 360°dir. Dışbükey dörtgende iki köşegen iç bölgede kesişir. Açı ifadeleri verildiğinde tüm iç açılar toplanıp 360°ye eşitlenir.
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
PARALELKENAR
Karşı Kenar, Karşı Açı ve Köşegen İlişkileri
Paralelkenarda karşı kenarlar paralel ve eş, karşı açılar eş, komşu açılar bütünlerdir. Köşegenler birbirini ortalar; fakat genel bir paralelkenarda köşegenlerin eş ya da dik olduğu söylenemez. Alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımıdır.
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
DİKDÖRTGEN VE KARE
Eş Köşegenleri ve Dikliği Ayırt Etme
Dikdörtgen, bütün açıları 90° olan paralelkenardır; köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir: bütün kenarları eş, açıları dik, köşegenleri eş ve diktir; ayrıca köşegenleri köşe açılarını ortalar.
| Şekil | Köşegenler eş | Köşegenler dik | Köşe açılarını ortalar |
|---|---|---|---|
| Paralelkenar | Her zaman değil | Her zaman değil | Her zaman değil |
| Dikdörtgen | Evet | Her zaman değil | Her zaman değil |
| Kare | Evet | Evet | Evet |
B) 30
C) 32
D) 34
E) 46
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
EŞKENAR DÖRTGEN
Dik Köşegenlerle Dört Dik Üçgen Kurma
Eşkenar dörtgende bütün kenarlar eşittir. Köşegenler birbirini dik keser ve köşe açılarını ortalar; ancak genel durumda köşegenler eş değildir. Köşegen uzunlukları d₁ ve d₂ ise alan d₁·d₂/2’dir.
B) 64
C) 68
D) 72
E) 76
YAMUK
Orta Taban ve Alan Bağıntılarını Birleştirme
Yamukta yalnız bir çift karşı kenar paraleldir. Taban uzunlukları a ve b, yükseklik h ise orta taban m=(a+b)/2 ve alan (a+b)·h/2=m·h olur. İkizkenar yamukta yan kenarlar, aynı tabana komşu açılar ve köşegenler eşittir.
B) 198
C) 216
D) 234
E) 252
B) 384
C) 400
D) 408
E) 425
DELTOİD
Simetri Köşegenini Belirleme
Deltoid, ikişer komşu kenarı eş olan dörtgendir. Eş kenar çiftlerinin ortak köşelerini birleştiren simetri köşegeni diğer köşegeni dik keser ve ortalar; ayrıca uçlarındaki açıları ikiye böler. Diğer köşegenin simetri köşegenini ortalaması gerekmez.
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
DİK KÖŞEGENLİ DÖRTGENLERDE ALAN
Köşegen Çarpımının Yarısını Alma
Köşegenleri dik olan her dörtgende alan, köşegen uzunlukları çarpımının yarısıdır. Bu bağıntı kare, eşkenar dörtgen ve deltoidde doğrudan kullanılabilir; köşegenlerin birbirini ortalaması alan için zorunlu değildir.
B) 15
C) 16
D) 20
E) 24
KARMA DÖRTGEN SORULARINDA TEMEL NOKTALAR
Verilen Koşullardan Şeklin Ailesine Ulaşma
Bir soruda şeklin adı verilmemişse önce karşı kenarların paralelliğini, sonra kenar eşitliklerini, açıları ve köşegenleri kontrol edilir. Köşegenlerin birbirini ortalaması paralelkenar ailesini işaret eder. Buna eş köşegen eklenirse dikdörtgen, dik köşegen eklenirse eşkenar dörtgen; iki özellik birlikte verilirse kare sonucuna ulaşılır. Yalnız tek bir özelliğe bakarak sınıflandırma yapmak çoğu çeldiricinin temelidir.
Alan sorularında yüksekliğin hangi kenara ait olduğunu ayrıca işaretlenir. Paralelkenarda eğik kenarın uzunluğu yükseklik değildir; tabanla dik açı yapan uzaklık kullanılmalıdır. Yamukta orta taban hem iki tabanın aritmetik ortalaması hem de alanın yüksekliğe bölümüdür. Bu iki yorum, uzunluk ve alanın birlikte verildiği sorularda yeni denklem kurmadan sonuca götürebilir.
Köşegenler dikse dörtgen dört dik üçgene ayrılır. Eşkenar dörtgen ve karede köşegenler birbirini de ortaladığı için yarım köşegenler bir kenarın dik bileşenlerini oluşturur. Deltoidde ise yalnız simetri köşegeni diğer köşegeni ortalar; parçaları gelişigüzel eşitlemek doğru değildir. Şekil çizimini ölçekli yapmak zorunlu olmasa da eş ve dik parçaları sembolle göstermek işlem hatasını azaltır.
İkizkenar yamuk sorularında üst tabanın uçlarından alt tabana dikmeler indirildiğinde ortada bir dikdörtgen, kenarlarda eş iki dik üçgen oluşur. Taban farkının yarısı bu üçgenlerin yatay kenarıdır. Böylece yan kenar ve yükseklik Pisagor ile; alan da taban ortalamasıyla bulunur. Köşegenlerin eşliği ise özellikle çember ve açı bağlantılı sorularda ikinci bir yol sağlar.
Son kontrolde bulunan uzunlukların pozitif, açıların 0° ile 180° arasında ve alanın seçilen tabanla yüksekliğin çarpımına uyumlu olduğundan emin olun. Sonucun şeklin çizimdeki görünüşüne uygun çıkması tek başına kanıt değildir; bütün verilen koşullar bağıntılarda kullanılmış olmalıdır.