Fonksiyonlar, bir kümenin elemanlarını belirli bir kurala göre başka bir kümenin elemanlarıyla eşleştirir. Tanım ve görüntü kümelerini doğru ayırmak; fonksiyon grafiğini okumak, ters ve bileşke fonksiyon işlemlerini çözmek için temel adımdır.
Önceki Kümeler ve Küme Problemleri yazısında kümeler arasındaki ilişkileri inceledik. Bu konuda iki küme arasındaki özel eşlemeleri ele alacağız. Sıradaki Faktöriyel ve Sayma Yöntemleri konusu ise sayma yöntemlerine geçiş yapacaktır.
FONKSİYON KAVRAMI VE GÖSTERİMİ
Her Tanım Elemanına Tek Bir Görüntü Atama
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanıyla eşleyen bağıntıya A’dan B’ye fonksiyon denir. f:A→B gösterimi “A’dan B’ye f fonksiyonu” biçiminde okunur. y=f(x) eşitliğinde x bağımsız değişken, y ise x’e bağlı olarak belirlenen bağımlı değişkendir.
Bir fonksiyon sıralı ikililerle, eşleme şemasıyla, cebirsel kuralla veya grafikle gösterilebilir. Örneğin f(x)=2x+1 kuralı, seçilen her x değerine yalnız bir sonuç verir.
TANIM, DEĞER VE GÖRÜNTÜ KÜMELERİ
Girdileri, Olası Çıktıları ve Gerçekleşen Çıktıları Ayırma
f:A→B fonksiyonunda A tanım kümesi, B değer kümesidir. A’daki elemanların f altındaki gerçek görüntülerinin oluşturduğu küme ise görüntü kümesidir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin alt kümesidir; ikisinin eşit olması zorunlu değildir.
| Kavram | Anlamı | Şemadaki karşılığı |
|---|---|---|
| Tanım kümesi | Fonksiyona giren bütün x değerleri | A={1,2,3} |
| Değer kümesi | Çıktıların seçilebileceği küme | B={a,b,c} |
| Görüntü kümesi | Gerçekte ulaşılan çıktılar | f(A)={a,b} |
B) {1,2,3} ve {4,5}
C) {1,2,3} ve {1,2,3}
D) {4,5} ve {1,2,3}
E) {4} ve {5}
FONKSİYON OLMA KOŞULLARI
Tanım Kümesinde Açıkta veya Çift Görüntülü Eleman Bırakmama
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü bulunmalı ve hiçbir tanım elemanı birden fazla görüntüye gönderilmemelidir. Buna karşılık farklı tanım elemanları aynı görüntüye gidebilir; değer kümesinde kullanılmayan eleman kalabilir.
B) {(1,a),(1,b),(2,a),(3,b)}
C) {(1,a),(2,a),(3,b)}
D) {(1,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
E) {(1,a),(2,b),(4,a)}
FONKSİYON DEĞERİ HESAPLAMA
Verilen Girdiyi Kuraldaki Değişkenin Yerine Yazma
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için fonksiyon kuralındaki x yerine istenen değer yazılır. f(x+1) isteniyorsa kuraldaki her x yerine parantez içinde x+1 yazılmalıdır. İşaret ve parantez hatalarını önlemek için negatif girdiler mutlaka paranteze alınır.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
PARÇALI VE ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
Girdinin Bulunduğu Aralığa Uygun Kuralı Seçme
Parçalı fonksiyonlarda farklı aralıklar için farklı kurallar kullanılır. Önce verilen x değerinin hangi koşulu sağladığı belirlenir, ardından yalnız o satırdaki işlem yapılır. Mutlak değer, işaret ve tam değer fonksiyonları da parçalı düşünmeyle yorumlanabilir.
| Fonksiyon | Temel özellik | Örnek |
|---|---|---|
| Mutlak değer | Sonucu negatif olmayan uzaklık olarak verir. | |−4|=4 |
| İşaret fonksiyonu | Negatifte −1, sıfırda 0, pozitifte 1 değerini alır. | sgn(7)=1 |
| Tam değer | Sayıdan büyük olmayan en büyük tam sayıyı verir. | ⌊3,8⌋=3 |
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölmeyi Aynı Girdide Uygulama
f ve g fonksiyonları için (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f−g)(x)=f(x)−g(x) ve (f·g)(x)=f(x)·g(x) biçiminde işlem yapılır. Bölme işleminde ayrıca paydanın sıfır olmaması gerekir: (f/g)(x)=f(x)/g(x) ve g(x)≠0.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
FONKSİYON GRAFİĞİ VE DÜŞEY DOĞRU TESTİ
Her x Değerinin Grafikte Yalnız Bir y Değerine Karşılık Geldiğini Denetleme
Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediği düşey doğru testiyle anlaşılır. Grafiğe çizilen herhangi bir düşey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa aynı x değeri için birden fazla y değeri vardır ve grafik fonksiyon değildir. Bir fonksiyon grafiğinin x eksenindeki izdüşümü tanım kümesini, y eksenindeki izdüşümü görüntü kümesini verir.
B) Evet, çünkü yarıçap sabittir.
C) Evet, çünkü her y için bir x vardır.
D) Hayır, çünkü bazı x değerleri iki farklı y değeri verir.
E) Hayır, çünkü grafik x eksenini kesmez.
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Bire Bir, Örten, İçine, Birim ve Sabit Fonksiyonları Tanıma
Farklı tanım elemanlarının görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. Görüntü kümesi değer kümesine eşitse örten, eşit değilse içine fonksiyondur. Hem bire bir hem örten olan fonksiyonlara bire bir ve örten ya da bijektif fonksiyon denir.
| Fonksiyon türü | Ayırt edici özellik | Tipik kural |
|---|---|---|
| Birim fonksiyon | Her elemanı kendisine götürür. | f(x)=x |
| Sabit fonksiyon | Bütün girdileri aynı sayıya götürür. | f(x)=c |
| Sıfır fonksiyonu | Sabit fonksiyonun c=0 özel durumudur. | f(x)=0 |
| Doğrusal fonksiyon | Grafiği bir doğrudur. | f(x)=ax+b |
Bir grafiğin bire bir olup olmadığı yatay doğru testiyle incelenir. Her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Sonlu kümelerde bire bir bir fonksiyon için tanım kümesinin eleman sayısı görüntü kümesinin eleman sayısına eşittir.
B) İçinedir fakat bire bir değildir.
C) Bire birdir fakat örten değildir.
D) Hem bire bir hem örtendir.
E) Fonksiyon değildir.
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR
f(−x) Değerini f(x) ile Karşılaştırma
Tanım kümesi sıfıra göre simetrik olan bir fonksiyonda f(−x)=f(x) ise fonksiyon çift, f(−x)=−f(x) ise tektir. Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine, tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. Her fonksiyon tek veya çift olmak zorunda değildir.
B) Tektir.
C) Sabittir.
D) Birim fonksiyondur.
E) Ne tek ne çifttir.
TERS FONKSİYON
Girdi ve Çıktının Rollerini Değiştirme
Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi geriye çeviren fonksiyona ters fonksiyon denir ve f⁻¹ ile gösterilir. Ters fonksiyonun fonksiyon olabilmesi için f’nin bire bir ve örten olması gerekir. Cebirsel olarak y=f(x) yazılır, x ile y yer değiştirilir ve yeni y yalnız bırakılır.
f⁻¹(f(x))=x ve f(f⁻¹(x))=x bağıntıları geçerlidir. f ile tersinin grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir. f⁻¹(x) gösterimi 1/f(x) anlamına gelmez.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
BİLEŞKE FONKSİYON
Bir Fonksiyonun Çıktısını Diğerine Girdi Yapma
g fonksiyonunun çıktısı f fonksiyonuna girdi oluyorsa oluşan fonksiyon (f∘g)(x)=f(g(x)) biçiminde gösterilir. İşleme içteki fonksiyondan başlanır. Genel olarak f∘g ile g∘f eşit değildir; bu nedenle sıra korunmalıdır.
Bileşkenin tanımlı olması için g’nin görüntüleri f’nin tanım kümesinde bulunmalıdır. Uygun fonksiyonlarda (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹ olur; ters alınırken işlem sırası değişir.
B) 16
C) 18
D) 19
E) 25
FONKSİYONLAR TEMEL NOKTALAR
- Tanım, değer ve görüntü kümelerini birbirinden ayrılır.
- Tanım kümesindeki her elemanın tam bir görüntüsü olduğunu kontrol etmek gerekir.
- Fonksiyon değerini hesaplarken negatif girdileri paranteze almak gerekir.
- Parçalı fonksiyonda önce girdinin hangi aralığa ait olduğunu belirlemek gerekir.
- Bölme işleminde paydayı sıfır yapan değerleri tanım kümesinden çıkarmak gerekir.
- Grafiklerde fonksiyon olma koşulu için düşey doğru testini uygulamak gerekir.
- Bire birliği farklı girdilerin farklı görüntülere gitmesiyle, örtenliği görüntü ve değer kümelerinin eşitliğiyle denetlenir.
- Tek ve çift fonksiyonlarda f(−x) ifadesini dikkatle hesaplanır.
- f⁻¹(x) ile 1/f(x) ifadelerini karıştırmamak gerekir.
- Bileşke fonksiyonda işlemi içteki fonksiyondan başlatın.
- Bileşkenin tersinde fonksiyonların sırasının değiştiğini göz önünde bulundurulur.